2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)課2第四章數(shù)列高頻考題實戰(zhàn)Word版含解析

2第四章數(shù)列高頻考題實戰(zhàn)實戰(zhàn)一：根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式1．（2019·浙江·溫州中學(xué)高二開學(xué)考試）已知數(shù)列的前4項為：1，，，，則數(shù)列的通項公式能為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】正負相間用表示，∴．故選：D2．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））數(shù)列，，，，，…的一個通項公式為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題可知，數(shù)列，，，，，…，每項的分母是項數(shù)的平方，奇數(shù)項為負，故可得數(shù)列的一個通項公式為.故選：A實戰(zhàn)二：數(shù)列的單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用1．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）已知為遞增數(shù)列，前n項和，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，由為遞增數(shù)列，只需滿足，即8>4+λ，解得，則實數(shù)的取值范圍是，故選：D.2．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且其通項公式為，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】解法1：由是遞增數(shù)列且，得對恒成立，所以，即.解法2：由是遞增數(shù)列得，解得.故選：D3．（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列為遞增數(shù)列，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】∵數(shù)列為遞增數(shù)列，∴對任意的，，即，即恒成立，∴故選：A.4．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬密云中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以，所以，則，解得：，故選：C實戰(zhàn)三：求數(shù)列中的最大(小)項1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則中的最大項為（）A．第6項B．第12項C．第24項D．第36項【答案】C【詳解】因為令，得，解得．所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，因此當(dāng)時，最大．故選：C.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，則中的最大項為（）A．第6項B．第12項C．第24項D．第36項【答案】C【詳解】因為令，得，解得．所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，因此當(dāng)時，最大．故選：C.3．（2021·山西·高二階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的最小項的值是（）A．B．8C．D．【答案】C【詳解】解：，令，函數(shù)在處有最小值，因為為正整數(shù)，且，所以的最小項的值是.故選：C.實戰(zhàn)四：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2023·重慶璧山·高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．150B．120C．75D．60【答案】D【詳解】因為也成等差數(shù)列，故，同理因為，所以，故所以.故選：D2．（2021·廣東·中山紀(jì)念中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前11項和等于（）A．66B．55C．44D．33【答案】D【詳解】因為，所以.故選：D．3．（2022·江蘇·常州市北郊高級中學(xué)高二期中）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（）A．8B．12C．15D．24【答案】B【詳解】，故，.故選：B4．（2022·四川省遂寧市教育局模擬預(yù)測（理））設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是數(shù)列的前n項和，，，則等于（）A．10B．15C．20D．25【答案】B【詳解】因數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)知：，而，則，等差數(shù)列公差，首項，則.故選：B.5．（2022·云南省楚雄天人中學(xué)高二階段練習(xí)）記的前項和為，若，且，則當(dāng)取最小值時（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【詳解】因為，即，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因為，所以，，所以前和最小.故選：B.6．（2022·重慶南開中學(xué)高二階段練習(xí)）等差數(shù)列共2n+1個項，且奇數(shù)項和為165，偶數(shù)項和為150，則n=（）A．10B．13C．11D．22【答案】A【詳解】等差數(shù)列共2n+1個項，其中奇數(shù)項有個，偶數(shù)項有個，設(shè)等差數(shù)列的公差為，奇數(shù)項和①，偶數(shù)項和②，①-②得，則.故選：A7．（2022·江蘇省蘇州第十中學(xué)校高二階段練習(xí)）一個等差數(shù)列共有偶數(shù)項,偶數(shù)項之和為84,奇數(shù)項之和為51,最后一項與第一項之差為63,則該數(shù)列公差為________.【答案】3【詳解】解:由題知不妨設(shè)等差數(shù)列為,首項為,公差為,項數(shù)為,故有,兩式相減,因為,故,故.故答案為:3實戰(zhàn)五：等差數(shù)列前項和的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：等差數(shù)列片段和性質(zhì)1．（2021·陜西·無高二期中（理））已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為為等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，因為，設(shè)，由，即，則，所以，所以，所以.故選：B.2．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)高三期中（文））設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則_________【答案】27【詳解】.故答案為：.3．（2022·江蘇省蘇州實驗中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前項和為，若，則的值為__________.【答案】0【詳解】依題可知成等差，所以，解得：．故答案為：0．4．（2022·江蘇·海安縣實驗中學(xué)高二期中）已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則______．【答案】12【詳解】由題意得成等差數(shù)列，則，得故答案為：12角度2：比值問題（含同角標(biāo)和不同角標(biāo)）1．（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由．故選：D2．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）兩個等差數(shù)列則=（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為所以，故選：A3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若等差數(shù)列和的前n項的和分別是和，且，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為等差數(shù)列和的前n項的和分別是和，且，所以.故選：B.4．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項和為，等差數(shù)列的前n項和為，，求______．【答案】【詳解】因為等差數(shù)列的前n項和為，等差數(shù)列的前n項和為，，所以設(shè)，，∴．故答案為：.5．（2021·重慶市第七中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知數(shù)列與均為等差數(shù)列，其前項和分別為與，若，則________；________．【答案】

【詳解】．∵數(shù)列、均為等差數(shù)列，其前項和分別為、，∴可設(shè)，，則.故答案為：；．實戰(zhàn)六：等差數(shù)列前項和的最值問題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項和為，若，，則此數(shù)列中絕對值最小的項所在的項數(shù)為（）．A．第5項B．第6項C．第7項D．無法確定【答案】C【詳解】因為，，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以該數(shù)列的公差，所以絕對值最小的項在0附近的項中取得，因為，所以，所以絕對值最小的項為，故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項和為，若，則數(shù)列的通項公式可能是（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】因為是等差數(shù)列，且，得，對于A，，故錯誤；對于B，，故正確；對于C，，故錯誤；對于D，，故錯誤.故選：B.3．（2023·陜西西安·高三期末（理））已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求的最小值．【答案】(1)(2)-21【詳解】（1）∵成等比數(shù)列，∴，又，∴，解得，∴；（2），∴．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)易知，當(dāng)或時，取得最小值；∴的最小值為；綜上，，的最小值為.4．（2021·山東·日照青山學(xué)校高三階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和的最小值.【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)等比數(shù)列的首項為a，公比為q>0，由，得，所以.(2).數(shù)列是首項為-5，公差為1的等差數(shù)列.方法一：因為公差1>0，數(shù)列是首項為負的遞增等差數(shù)列.由，得，所以.方法二：利用等差數(shù)列求和公式得.根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì).5．（2021·福建省平和第一中學(xué)高二期中）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比q∈(0，1)．若，，，數(shù)列的前n項和為Sn．(1)求和的通項公式；(2)求當(dāng)取最大值時n的值．【答案】(1)，；(2)或8.(1)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，，所以，由于公比q∈(0，1)，解得，所以，解得．所以，．(2)由（1）可知：數(shù)列是以4為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)，時，；當(dāng)時，；當(dāng)，時，，故當(dāng)或8時，數(shù)列取得最大值．實戰(zhàn)七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1．（2022·廣東廣州·高三期中）已知等比數(shù)列，滿足，且，則數(shù)列的公比為（）A．2B．C．D．【答案】B【詳解】令公比為，由，故且，所以，則，又，，則，所以，綜上，.故選：B.2．（多選）（2022·福建三明·高二階段練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則（）A．B．C．有最大值25D．有最大值【答案】AD【詳解】等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最大值是.故選：.3．（2022·上海市大同中學(xué)高一期末）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則______．【答案】100【詳解】因為為等比數(shù)列,所以,所以,所以,故答案為：.4．（2022·江西贛州·高三期中（理））設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【詳解】當(dāng)時，則，不合乎題意；當(dāng)時，對任意的，，且有，可得，可得，此時，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯誤；對任意的，，且有，可得，此時，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯誤故選：B.5．（2022·云南·昆明市第三中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項和為，前項積為，并滿足條件，，，下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．是數(shù)列中的最大值D．【答案】D【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴，，∴，∴，又，∴，有：或，當(dāng)時，，有：，此時：，與矛盾，所以不成立，當(dāng)時，，有：，綜上：，∴數(shù)列是，的正項遞減數(shù)列，∴，所以A錯誤；∵，，則有，，，，∴，所以B錯誤；為前項的積，，，，所以C錯誤；∵又：∴，所以D正確.故選：D.6．（2019·河北唐山·高一期中）已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為341，偶數(shù)項之和為682，則這個數(shù)列的項數(shù)為（）A．4B．6C．8D．10【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為2n項,所有奇數(shù)項之和為S奇,所有偶數(shù)項之和為S偶，則S奇=341,S偶=682,所以，∴，解得n=5，這個等比數(shù)列的項數(shù)為10，本題選擇D選項.7．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知數(shù)列、滿足，其中是等差數(shù)列，且，則=_______．【答案】【詳解】因為是等差數(shù)列，為定值，所以是等比數(shù)列.由已知故答案為：8．（2021·河南·高二期中（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，，則________．【答案】##1.5【詳解】由題意得.故答案為：.9．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為341，偶數(shù)項之和為682，則這個數(shù)列的項數(shù)為_________【答案】10【詳解】設(shè)等比數(shù)列項數(shù)為項，公比為，則，，由，解得，因為是公比為的等比數(shù)列，則，即，解得，故答案為:10.10．（2021·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，若，，成等差數(shù)列，則______，最小值為______．【答案】

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8【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，又因為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，所以，，成等比數(shù)列，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取“＝”．故答案為：；.實戰(zhàn)八：數(shù)列求通項五類1．（2022·湖南·邵陽市第二中學(xué)高二期中）已知數(shù)列的前項和為(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)當(dāng)時，求的前項和．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)，也滿足上式，所以.（2）由（1）知所以=（3）①②由②-①得==2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題，當(dāng)時，，即.①當(dāng)時，②①-②得，所以.當(dāng)時，也適合，綜上，.（2）由（1）知，，則.3．（2022·甘肅·白銀市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列，，，求.【答案】.【詳解】由，，得，所以，，，，，將以上個等式累加，得，所以.當(dāng)時，顯然符合上式，故.4．（2022·黑龍江·海林市朝鮮族中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列滿足，．(1)求，；(2)求數(shù)列的通項公式．【答案】(1)，(2)（1），，，.（2）由得：，，又滿足，.5．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知為等差數(shù)列，.(1)求的通項公式；(2)若為的前項和，求.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵.∴，∴，∴；當(dāng)時，滿足上式，所以；（2）由（1）可得，∴.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.【答案】.【詳解】由題意得，當(dāng)時，，又也滿足上式，所以.故.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，若，求．【答案】(1)(2)．（1）解：由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時，，兩式相減得到，即，即，所以，令，可得，解得，可得，所以數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，可得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）解：由，可得，則，所以，兩式相減，可得所以.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.【答案】.【詳解】由兩邊同除以得，令，則，設(shè)，解得，，而，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，得9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式，且首項，求數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】令.先求出數(shù)列的不動點，解得.將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴.令，∴，.∴數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列.∴的通項公式為.將代入，得.∴.10．（2021·全國·模擬預(yù)測）在①，，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.已知為正項數(shù)列的前項和，___________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)(1)解：（1）若選條件①因為，，所以，即，所以是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，故.若選條件②.對于，令，得，解得.因為，所以①，當(dāng)時，②，①②得，所以.因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.若選條件③.因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，則，當(dāng)時，，又滿足上式，所以，，即的通項公式為.(2)解：由（1）知，所以，得，兩式相減得，故.實戰(zhàn)九：數(shù)列求和六類1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.【答案】【詳解】因為，所以.因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即.設(shè)①，又＋…＋②，①+②，得，所以.2．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在已知定義在上的函數(shù)上的函數(shù)滿足①，②，由此可歸納出一個結(jié)論“★”，使得數(shù)列滿足，則此結(jié)論★為_____．并求的通項公式．【答案】．或；.【詳解】∵，，，即從中得啟發(fā)：可歸納得：．或．★可驗證．由，即，兩式相加得：共有個中括號，結(jié)合★即有，即得．3．（湖南省常德市五校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列，的通項公式(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2).【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，，，所以數(shù)列是以為首項，公比的等比數(shù)列，所以，即數(shù)列的通項公式為，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得，所以，即數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可知，所以數(shù)列的前項和，即．4．（2022·四川省隆昌市第七中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項和為，.(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，則，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）解：由題意可知，，因為，則，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項和為，所以，.5．（2023·山東省實驗中學(xué)高三階段練習(xí)）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足的前項和為，求證:．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）設(shè)的首項為，公差為，根據(jù)，，成等比數(shù)列，可得，又，可得方程組，即，又，解得，故．（2），所以因為，所以．所以．6．（2022·山東·濟寧市育才中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，a1＝1．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以.兩式相減，得，即所以當(dāng)時，，在中，令，得，所以，又滿足，所以所以，故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，且.（2），所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.7．（2022·甘肅·西北師大附中高二期中）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，，成等差數(shù)列，且.(1)求的通項公式；(2)若，的前n項和為，若對任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，，成等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，即，由，得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，則，即，所以，所以；（2）解：，則，因為恒成立，所以，所以的最小值.8．（2022·江西九江·高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證；數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由已知得，又，所以作差得，故所以又當(dāng)時，，又，故故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列（2）由（1）可知：，故所以綜上可知：9．（2022·江蘇南通·高二期中）已知數(shù)列滿足且，．(1)求通項；(2)求數(shù)列的前項之和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)為奇數(shù)時，由知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，，∴，為奇數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時，由知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，∴，為偶數(shù)∴；（2）記，相減得：∴10．（2022·安徽·蒙城第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，則有，兩邊同時除以得：，，所以數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，則，當(dāng)時，，符合，故.（2），①②①②得：即，得.11．（2022·山東臨沂·高二期末）在①，；②公差為1，且成等比數(shù)列；③，，三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足___________(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)(1)解：選①設(shè)等差數(shù)列中，公差為，因為，，所以，解得，所以，選②因為等差數(shù)列中，公差為1，且成等比數(shù)列，所以，即，解得所以.選③因為等差數(shù)列中，，，所以，即