2019-2020學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2019-2020學(xué)年山西省太原市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．命題“若，則”的逆否命題是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】根據(jù)原命題為：若，則；則其逆否命題為若，則；即可得到結(jié)果.【詳解】命題“若，則”的逆否命題是：若，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了原命題和逆否命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題,2．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A．9 B．6 C． D．4【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸的概念，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值分別是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，再根據(jù)充分、必要條件的判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故是的充分條件；又，所以，所以是的必要條件；綜上，是的充要條件.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)則的周長(zhǎng)為（）A． B． C．8 D．16【答案】D【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可求出結(jié)果.【詳解】連接，如下圖所示：由橢圓的定義可知，，又，，所以的周長(zhǎng)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由于命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題；所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，由平行線的傳遞性可得，所以即為所求異面直線與所成角，然后再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，所以即為所求異面直線與所成角；如下圖：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由勾股定理易知，,所以,所以，即異面直線與所成角為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線成角，這類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是找到兩條異面直線中的一條的平行線進(jìn)行平移，構(gòu)造三角形，再利用正弦定理或者余弦定理解決，本題屬于基礎(chǔ)題.8．若雙曲線的離心率是，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的離心率關(guān)系可得，然后再根據(jù)橢圓的離心率為，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率是，所以，所以；因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，故橢圓的離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓和雙曲線的離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.9．已知，，，若共面，則實(shí)數(shù)（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【解析】利用空間向量共面的條件，設(shè)實(shí)數(shù)，使，列出方程組，求出的值即可．【詳解】因?yàn)橄蛄抗裁?，所以存在?shí)數(shù)使得，即，所以；解得．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的共面問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．10．已知直線與拋物線相交于兩個(gè)不同點(diǎn).若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，然后利用點(diǎn)差法，即可求出，再根據(jù)點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，所以又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，所以，所以直線的方程為，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)差法是解題的關(guān)鍵.11．如圖，把邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，若點(diǎn)滿足，則（）A．3 B． C．4 D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，根據(jù)正方形的特點(diǎn)和線面垂直的判定定理，可證平面，進(jìn)而可得；又邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，可知；再根據(jù)向量的減法可得，再利用數(shù)量積和模的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：則，又，所以平面，所以，又邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，所以平面，所以為直角三角形，所以，所以，又，所以，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直二面角的定義，線面垂直的判定定理，向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．12．已知點(diǎn)是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線右支上，且，直線的斜率為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點(diǎn)，連接，由向量的加法法則，進(jìn)而，即，又，所以，在中，由題意易知和，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由向量的加法法則，，又，所以，所以，又，所以，又直線的斜率為，所以在中，，所以，又，所以，在中，，所以，又，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義和平面向量的加法的幾何意義，屬于中檔題.二、填空題13．命題“”的否定是“”．【答案】，【解析】【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以命題“”的否定是，14．已知，，若，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，可知，再根據(jù)垂直的數(shù)量積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量垂直的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15．已知分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，的內(nèi)心為點(diǎn)，過(guò)作平行于軸的直線分別交于點(diǎn)，若橢圓的離心率，則_____.【答案】【解析】根據(jù)橢圓的離心率可知，根據(jù)橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，點(diǎn)，利用（為周長(zhǎng)的一半），可得，再根據(jù)，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由題設(shè)，所以，由橢圓的定義可知，，，的周長(zhǎng)為，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，點(diǎn).又.設(shè)為周長(zhǎng)的一半，則，所以，得，由題意可知，得.所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系和橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題.16．已知是拋物線上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若直線和的傾斜角互補(bǔ)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，用斜率公式可分別表示和，根據(jù)傾斜角互補(bǔ)可知，設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，使用基本不等式求得，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，則，，∵直線和的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)，∴．由在拋物線上，得，∴，∴，∴．設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則．由題意知，，，∴，∴，即，故線段中點(diǎn)的軌跡方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．三、解答題17．已知函數(shù)是增函數(shù)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，若是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】命題函數(shù)是增函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得．命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得．由于為真命題，可得為真命題，為假命題，由此即可求出結(jié)果．【詳解】命題函數(shù)是增函數(shù)，∴；命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，∴；∵為真命題，∴為真命題，為假命題．∴，解得．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一次函數(shù)的單調(diào)性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的準(zhǔn)線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，求的面積.【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)樵趻佄锞€上，可得，由拋物線的性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）由拋物線的定義可知，根據(jù)點(diǎn)斜式可求直線的方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式求出高，進(jìn)而求出面積.【詳解】（1）∵在拋物線上，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為；（2）設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，，∴直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的基本概念，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.19．已知三棱柱中，側(cè)棱底面，記，，.（1）用表示；（2）若，，求證：.【答案】（1），，；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)空間向量的加法和減法的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果；（2）由題意可知，，由，可得；同理由可得即可證明結(jié)果.【詳解】（1），，；（2）證明：∵底面，∴，∴,，，，，即【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的加法（減法）運(yùn)算法則，以及空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.20．已知點(diǎn)是菱形所在平面外一點(diǎn)，，，（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)槭橇庑危傻?，進(jìn)而證明，在由勾股定可證明，根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，∵是菱形，∴，∴，∴，又∴平面，又平面，∴平面平面；（2）由（1）得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴令，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴，令，則，∴又二面角為鈍二面角，∴二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直和面面垂直判定定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間向量在求二面角中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21．如圖，四棱錐的底面是菱形，，是中點(diǎn)，，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）設(shè)，則，由余弦定理可知，再根據(jù)勾股定理可證，由題意易知，又平面平面，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可證明結(jié)果；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式求出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)，則，由題意得，，，是菱形，∵平面平面，平面平面，∴平面（2）由（1）得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴令，則，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，∴，令，則，∴又二面角為鈍二面角，∴二面角的余弦值.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用，同時(shí)考查了空間向量在求二面角中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.22．已知橢圓的離心率為，其右焦點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn).請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)【解析】（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而求出，同理可得，進(jìn)而求出，求出直線的方程，求出必過(guò)的定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知直線過(guò)定點(diǎn)；綜上即可求出結(jié)果.【詳解】解：（1）由題意得，∴，∴橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，①當(dāng)時(shí)，由，得，∴，∴同理，由，可得∴直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，則直線的方程為，∴直線過(guò)定點(diǎn)綜上，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.23．已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)試，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（