2019-2020學(xué)年廣西南寧市第三高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2019-2020學(xué)年廣西南寧市第三高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先化簡集合A,再求.【詳解】由得：，所以，因此，故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡和運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.2．已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的組成方式為（）A．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱 B．上面為圓臺(tái)，下面為棱柱C．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱 D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱【答案】A【解析】觀察三視圖判斷上面和下面幾何體的形狀即可.【詳解】結(jié)合圖形分析知上面為圓臺(tái)，下面為圓柱.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用三視圖判斷幾何體的形狀，考查學(xué)生的空間想象能力，是基礎(chǔ)題．3．下面說法正確的是（）.A．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B．不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程表示C．經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示【答案】D【解析】根據(jù)點(diǎn)斜式、截距式、斜截式法、兩點(diǎn)式方程特征逐一分析判斷.【詳解】經(jīng)過定點(diǎn)且斜率存在的直線才可用方程表示，所以A錯(cuò)；不經(jīng)過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線才可以用方程表示，所以B錯(cuò)；經(jīng)過定點(diǎn)且斜率存在的直線才可用方程表示，所以C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線可以用方程即表示，當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)的直線可以用方程，即表示，因此經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示，所以D對(duì)；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線幾種方程的辨析，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.4．角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸正半軸上，且終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意結(jié)合任意角的三角函數(shù)值的定義運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了任意角三角函數(shù)值的定義，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在數(shù)列中，，（，），則（）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】通過遞推式求出數(shù)列前幾項(xiàng)可得數(shù)列為周期數(shù)列，利用數(shù)列的周期性可得答案.【詳解】解：，，，可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性，關(guān)鍵是通過遞推式求出前幾項(xiàng)觀察出周期，是基礎(chǔ)題.6．，，且，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，然后化簡得，而，由不等式的性質(zhì)給兩邊同除以不等號(hào)方向不變，可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)椋?，所以故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7．已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由向量投影的概念可求得向量在向量方向上的投影.【詳解】由于單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，考查平面向量投影概念的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．著名物理學(xué)家李政道說：“科學(xué)和藝術(shù)是不可分割的”.音樂中使用的樂音在高度上不是任意定的，它們是按照嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法確定的.我國明代的數(shù)學(xué)家、音樂理論家朱載填創(chuàng)立了十二平均律是第一個(gè)利用數(shù)學(xué)使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精確規(guī)定八度的比例，把八度分成13個(gè)半音，使相鄰兩個(gè)半音之間的頻率比是常數(shù)，如下表所示，其中表示這些半音的頻率，它們滿足.若某一半音與的頻率之比為，則該半音為（）頻率半音CDEFGABC（八度）A． B．G C． D．A【答案】B【解析】先根據(jù)已知條件求得公比，結(jié)合題目所求半音與的頻率之比，求得該半音.【詳解】依題意可知.由于滿足，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比，對(duì)應(yīng)的頻率為，題目所求半音與的頻率之比為，所以所求半音對(duì)應(yīng)的頻率為.即對(duì)應(yīng)的半音為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9．已知，，，且，，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由，化簡，，得到，再用基本不等式求解.【詳解】由知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為4故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．在銳角三角形中，已知，則的范圍是()A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)正弦定理得到，計(jì)算，得到答案.【詳解】，又，，銳角三角形，∴，故，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，三角恒等變換，三角函數(shù)范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11．若函數(shù)的圖象與直線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．． C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)變形為，表示的是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓的下半部分，與直線有公共點(diǎn)，一個(gè)臨界是相切，一個(gè)臨界是過點(diǎn)（-1，0），列式求值即可.【詳解】函數(shù)可化簡為：，表示的是以（1，0）為圓心，2為半徑的圓的下半部分，與直線有公共點(diǎn)，根據(jù)題意畫出圖像：一個(gè)臨界是和圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑，正值舍去；另一個(gè)臨界是過點(diǎn)（-1，0）代入得到m=1.故答案為B.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理．12．已知A、B是單位圓O上的兩點(diǎn)（O為圓心），∠AOB=120°，點(diǎn)C是線段AB上不與A、B重合的動(dòng)點(diǎn).MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（）A．[，0） B．[，0] C．[，1） D．[，1]【答案】A【解析】【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，到直線的距離，則，的取值范圍是，故選A.二、填空題13．已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則______.【答案】120【解析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，可得關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，解方程組求得首項(xiàng)與公差，再代入前項(xiàng)和公式即可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得解得，，所以.故答案為：120.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_______.【答案】【解析】作出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)，其截距最大時(shí)，有最大值.【詳解】解：作出可行域如圖：由解得，由得，平移直線，結(jié)合圖像知，直線過點(diǎn)A時(shí)，，故答案為：4.【點(diǎn)睛】考查線性規(guī)劃中求目標(biāo)函數(shù)的最大值，其關(guān)鍵是平移目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合圖像即可求解；基礎(chǔ)題.15．已知，則的值為_______.【答案】【解析】首先分子和分母上下同時(shí)除以，求得，再利用二倍角公式求解.【詳解】時(shí)，等式不成立，當(dāng)時(shí)，分子和分母上下同時(shí)除以，得，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正切公式，已知的齊次方程求，重點(diǎn)考查公式和計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓，若圓上存在以為中點(diǎn)的弦，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】(或)【解析】由于圓存在以為中點(diǎn)的弦，且，所以,如圖，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，圓上要存在滿足題意的點(diǎn)，只需，即，連接，，由于，，，解得.【點(diǎn)睛】已知圓的圓心在直線上，半徑為，若圓存在以為中點(diǎn)的弦，且，說明，就是說圓上存在兩點(diǎn)，使得.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，圓上要存在滿足題意的點(diǎn)，只需，即，則只需，列出不等式解出的范圍.三、解答題17．已知某曲線的方程C：x2(1)若此曲線是圓，求a的取值范圍，并指出圓心和半徑；(2)若a=1，且與直線l：x-y+1=0相交于M，N兩點(diǎn)，求弦長|MN|．【答案】（1）a<5，C?1,2,r=5?a【解析】（1）把曲線方程配方變形，由曲線為圓可得5﹣a＞0，得a＜5，從而得到圓的圓心坐標(biāo)與半徑；（2）把a(bǔ)=1代入曲線方程，可得圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理得答案．【詳解】解：(1)C：x2+y若曲線是圓，則5-a>0，得a<5．圓心坐標(biāo)為C(-1,2)，半徑(2)a=1時(shí)，圓C為(x+1)圓心C(-1,2)，半徑圓心到直線的距離d=|-1-2+1|∴弦長|MN|=2r【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18．在數(shù)列中，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）把原數(shù)列遞推式變形，可證得是等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式后可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入，整理后運(yùn)用分組求和法求．【詳解】（1）證明：，或者又，是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，，；（2），所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了分組成等比數(shù)列或等差數(shù)列求數(shù)列的和，屬中檔題．19．如圖所示，在中，點(diǎn)在線段上，，，，.（1）求的值；（2）判斷是否為等腰三角形.【答案】（1）；（2）為等腰三角形.【解析】（1）首先由的值得出的值，然后在中運(yùn)用正弦定理即可；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論求出，運(yùn)用余弦定理求出，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，即：解?（2）在中因?yàn)椋运?，得，所以為等腰三角?【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20．在中，角，，所對(duì)的邊分別是，若，.（1）求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）4；（2）.【解析】（1）先利用二倍角公式化簡，再用誘導(dǎo)公式化簡，然后利用正弦定理把角統(tǒng)一成邊，再結(jié)合可求出的值；（2）由余弦定理得，從而可得，再利用三角形面積公式，結(jié)合基本不等式可求出面積的最大值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，?）由余弦定理可得，即，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的二倍角公式、誘導(dǎo)公式，考查了正余弦定理，利用了基本不等式求三角形面積的最大值，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.21．設(shè)不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的值；（2）當(dāng)以為直徑的圓的面積最小時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）由以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，若設(shè)，則，直線方程與拋物線方程聯(lián)立成方程組，消元后，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合直線方程，解方程可求出的值，（2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則圓的半徑，所以當(dāng)時(shí)取得最小值2，由此可得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立消去得.設(shè)，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橐詾橹睆降膱A過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，得，由于兩點(diǎn)在直線上，所以所以或當(dāng)時(shí)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，不符合條件，故；（2）由（1）知，，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以圓的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值2，此時(shí)，直線的方程為.【點(diǎn)睛】此題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的有關(guān)知識(shí)，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題.22．對(duì)定義域的函數(shù)，，規(guī)定：函數(shù)（1）若函數(shù)，，寫出函數(shù)的解析式；（2）求問題（1）中函數(shù)的值域；（3）若