人教版高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習立體幾何教案2

專題四：立體幾何第二講點、直線、平面之間的位置關(guān)系【最新考綱透析】1．理解空間直線\平面位置關(guān)系的定義。2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。3．認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。4．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題?！竞诵囊c突破】要點考向1：線線、線面的位置關(guān)系考情聚焦：1．空間直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系是最基本的關(guān)系，是高考中重點考查的內(nèi)容，幾乎年年都考。2．題目基本上以柱體、錐體為背景，重點考查異面直線及線面關(guān)系。3．三種題型均可出現(xiàn)，屬較容易或中檔題?？枷蜴溄樱?．解決此類問題時要特別注意線線平行與垂直、線在平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉(zhuǎn)化。2．證明線線平行的常用方法：（1）利用定義，證兩線共面且無公共點；（2）利用公理4，證兩線同時平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行。3．證明線面平行常用方法：（1）利用線面平行的判定定理把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；（2）利用性質(zhì)4．證明線面垂直的方法有：（1）定義；（2）判定定理；例1：（2022·天津高考文科·Ｔ１9）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=1，AD=，∠BAD＝∠CDA＝45°.（Ⅰ）求異面直線CE與AF所成角的余弦值；（Ⅱ）證明CD⊥平面ABF；（Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力。【思路點撥】（1）∠CED即為異面直線CE與AF所成角；（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB、FA;（3）做輔助線構(gòu)造二面角的平面角?！疽?guī)范解答】(I)解：因為四邊形ADEF是正方形，所以FA為異面直線CE與AF所成的角.因為FA平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==.所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.(Ⅱ)證明：過點B作BG,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF.(Ⅲ)解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點.取EF的中點N，連接GN，則GNEF,因為BC點N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值為.要點考向2：面面位置關(guān)系考情聚焦：1．在高考中，本部分內(nèi)容幾乎年年考查，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。2．題目基本上以棱柱、棱錐為背景，考查面面平行或垂直。3．選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，題目難度為低檔或中檔?？枷蜴溄樱?．證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可。從而將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行。2．證明面面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決。例2：（2022·遼寧高考文科·Ｔ19） 如圖，棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B. (Ⅰ)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1; （Ⅱ)設(shè)D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D:DC1的值.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力。【思路點撥】（I）先證明B1C⊥平面A1BC1.再證明平面AB1C⊥平面A1BC1;（II）利用線面平行的性質(zhì)，得到DEBE∥CD,BE=CD.所以FG∥BE,FG=BE.故四邊形BEGF為平行四邊形,所以BF∥EG因為平面，BF平面，所以BF2a平面A′DE⊥平面BCD,可知A′M⊥平面BCD,A′M⊥CE.取A′E的中點N，連線NM、NF，所以NF⊥DE,NF⊥A′M.因為DE交A′M于M,所以NF⊥平面A′DE,則∠FMN為直線FM與平面A′DE所成的角.在Rt△FMN中，NF=a,MN=a,FM=a,則cos=.所以直線FM與平面A′DE所成角的余弦值為.【方法技巧】找線面所成角時，可適當?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線夾角。注：（1）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口。（2）在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形?！靖呖颊骖}探究】1．（2022·山東高考理科·Ｔ3）在空間，下列命題正確的是（）（A）平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個平面平行（C）垂直于同一平面的兩個平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行【命題立意】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.【思路點撥】可利用特殊圖形進行排除.【規(guī)范解答】選D，在正方體中，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面與平面相交，故C選項不正確；而由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以證明選項D正確.2．（2022·浙江高考理科·Ｔ6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（）（A）若，，則（B）若，，則（C）若，，則（D）若，，則【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系，考查空間想象能力?！舅悸伏c撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理?！疽?guī)范解答】選B。如圖（1），選項A不正確；如圖（2），選項B正確；如圖（3）選項C不正確；如圖（4）選項D不正確。3．（2022·廣東高考理科·Ｔ18）如圖5，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為的中點，點B和點C為線段AD的三等分點。平面AEC外一點F滿足FB=FD=a，F(xiàn)E=a證明：EB⊥FD；已知點Q,R分別為線段FE,FB上的點，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值?！久}立意】本題考察空間點、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計算.【思路點撥】（1）點E為的中點，AC為直徑是，又面EB⊥FD.作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求、【規(guī)范解答】（1）證明：連結(jié).因為是半徑為a的半圓，為直徑，點E為的中點，所以，在中，，在中，，所以是等腰三角形，且點是底邊的中點，所以在中，，所以是，所以.由，，且，所以面又面，所以，所以平面，而平面，所以（2）過點作，F(xiàn)Q=FE,FR=FB，，，與共面且與共面，為平面BED與平面RQD的棱.由（1）知，平面，平面，而平面，平面，，，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.在中，，，=.由余弦定理得：又由正弦定理得：，即所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為4．（2022·北京高考理科·Ｔ１6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDE；（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小?！久}立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法。一般的，運用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運用向量法（方法二）思路簡單，但運算量較大，熟練掌握向量的線性運算及數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵?！舅悸伏c撥】立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法：（1）證明AF與面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結(jié)論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于面BDE，再過A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂線，找到二面角的平面角。向量法：利用三個垂直關(guān)系CE，CD，CB，建立空間直角坐標系，利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小?！疽?guī)范解答】方法一：（I）設(shè)AC與BD交點G。因為EF以四邊形AGEF為平行四邊形.所以AF(II)連接FG，，為平行四邊形，又，CEFG為菱形，。在正方形ABCD中，。正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，，，又，。（III）在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB。則AH圖，以C為原點，建立空間直角坐標系C-.則C（0，0，0），，B（0，，0），，，，所以，，.設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，令，得，。，，又面BDE，AF因為，所以平面BDE.(III)設(shè)平面ABE的法向量,由（I）知=，，則，.即所以且令則.所以.從而。所以。因為二面角為銳角，所以二面角的大小為.5．（2022·福建高考文科·Ｔ20）如圖，在長方體ABCD–A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點（點E與B1不重合），且EH2a1C1C1C果一個幾何體的底面積和高較難求解時，我們可考慮利用等體積法求解。等體積法也稱等積轉(zhuǎn)換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對應(yīng)的高，減少運算量，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn)。本題也可利用等體積法求解：連結(jié)AC。設(shè)點A到平面PBC的距離為h。因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。由，，得，故點A到平面PBC的距離等于?！靖櫮M訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.給出以下三個命題：①如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行;②如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面;③如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面.其中真命題的個數(shù)是()(A)3 (B)2 (C)1 (D)02.給定空間中的直線l及平面α,條件“直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面α垂直”的（）(A)充要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)既非充分又非必要條件3.設(shè)有直線m、n和平面α、β.下列四個命題中,正確的是（）(A)若m∥α,n∥α,則m∥n(B)若mα,nα,m∥β,n∥β,則α∥β(C)若α⊥β,mα,則m⊥β(D)若α⊥β,m⊥β,mα,則m∥α4.對于平面α和直線m、n，給出下列命題①若m∥n,則m、n與α所成的角相等；②若m⊥α,m⊥n,則n∥α;③若m與n是異面直線，且m∥α,則n與α相交.其中真命題的個數(shù)是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)35.已知平面α外不共線的三點A、B、C到α的距離都相等，則正確的結(jié)論是（）(A)平面ABC必不垂直于α(B)平面ABC必平行于α(C)平面ABC必與α相交(D)存在△ABC的一條中位線平行于α或在α內(nèi)6．（2022北京模擬）設(shè)A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是（）A．若AC與BD共面，則AD與BC共面B．若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C．若AB=AC，DB=DC，則AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，則AD⊥BC二、填空題（每小題6分，共18分）7.如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內(nèi),MN⊥BC于M，則MN與平面AB1的位置關(guān)系是_______.8.如果一條直線與一個平面垂直,那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是_______.9.設(shè)α、β表示平面，a、b表示不在α內(nèi)也不在β內(nèi)的兩條直線.給出下列四個論斷:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三個作為條件,余下的一個作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題.寫出你認為正確的一個命題________.三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）10.如圖，在四棱錐P-ABCD中.PD⊥平面ABCD,AD⊥平分∠ADC,E為PC的中點,AD=CD.(1)證明PA∥平面BDE;(2)證明AC⊥平面PBD;11.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點.(1)證明：平面PBE⊥平面PAC.(2)在BC上是否存在一點F，使AD∥平面PEF？說明理由.12.(探究創(chuàng)新題)如圖,A、B、C、D為空間四點,在△ABC中,AB=2，AC=BC=，等邊三角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動.（1）當平面ADB⊥平面ABC時，求CD的長;（2）當△ADB轉(zhuǎn)動時,是否總有AB⊥CD?證明你的結(jié)論.參考答案一、選擇題1.【解析】選B.由直線與平面平行的性質(zhì)定理知①正確；由直線與平面垂直的判定定理知②正確；若兩條直線都平行于一個平面,則這兩條直線平行或相交或異面，故③不正確.2.【解析】選C.由直線與平面垂直的定義知,當直線l與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直時,直線l與平面α不一定垂直;反之成立.3.【解析】選∥α,n∥αm∥n或m與n相交或m,n異面,故A不對.mα,nα,m∥β,n∥βα,β相交或平行,故B不對.α⊥β,mαm∥β或m⊥β或m與β斜交,故C不對.α⊥β,m⊥β,mαm∥α正確.故選D.4.【解析】選B.①正確；對②，若m⊥α,m⊥n,則n∥α或nα；對③，若m與n異面，m∥α,則n與α相交或平行或在α內(nèi).5.【解析】選D.如圖，A、B、C三點不共線且到α的距離都相等，可得A、B、C皆錯.6.【解析】選．若AC與BD共面，則A，B，C，D四點共面，則AD與BC共面；B．若AC與BD是異面直線，則A，B，C，D四點不共面，則AD與BC是異面直線；C．若AB=AC，DB=DC，四邊形ABCD可以是空間四邊形，AD不一定等于BC；D．若AB=AC，DB=DC，可以證明AD⊥BC。二、填空題7.【解析】∵MN⊥BC，∴MN∥BB1,而BB1平面AB1，∴MN∥平面AB1.答案：MN∥平面AB18.【解析】∵AB⊥面BCC1B1,AB⊥面ADD1A1，∴AB與面BCC1B1，AB與面ADD1A1各構(gòu)成一個“正交線面對”.這樣的“正交線面對”共有12×2=24個，又A1B⊥面AB1C1D.∴A1B與面AB1C1D構(gòu)成一個“正交線面對”.這樣的“正交線面對”共有12×1=12個，∴共有24+12=36個.答案：369.【解析】由a∥b,a∥β,b⊥α可得α⊥β.答案：①②④③三、解答題10.【證明】(1)設(shè)AC∩BD=H,連結(jié)EH.在△ADC中,因為AD=CD,且DB平分∠ADC,所以H為AC的中點.又由題設(shè),E為PC的中點,故EH∥PA.又EH平面BDE且PA平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)因為PD⊥平面ABCD,AC平面ABCD,所以PD⊥AC.結(jié)合（1）易知DB⊥AC.又PD∩DB=D.故AC⊥平面PBD.11.【解析】(1)∵PA⊥底面ABC，BE平面ABC，∴PA⊥BE.又△ABC是正三角形，E是AC的中點,∴BE⊥AC,而PA∩AC=A.∴BE⊥平面PAC.又BE平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC.(2)存在點F，F(xiàn)是CD的中點.理由：∵E、F分別是AC、CD的中點，∴EF∥AD.而EF平面PEF，AD平面PEF,∴AD∥平面PEF.12.【解析】（1）取AB的中點E,連結(jié)DE、CE，因為△ADB是等邊三角形,所以DE⊥AB,當平面ADB⊥平面ABC時，因為平面ADB∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.又DE=,EC=1.在Rt△DEC中,（2）當△ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動時,總有AB⊥CD.證明：①當D在平面ABC內(nèi)時，