高中數(shù)學(xué)解題思想 辦法大全

千里之行，始于足下。第2頁/共2頁精品文檔推薦高中數(shù)學(xué)解題思想辦法大全名目

前言(2)

第一章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想(3)

一、數(shù)形結(jié)合思想(3)

二、分類討論思想(9)

三、函數(shù)與方程思想(15)

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想(22)

第二章高中數(shù)學(xué)解題基本辦法(23)

一、配辦法(23)

二、換元法(27)

三、待定系數(shù)法(34)

四、定義法(39)

五、數(shù)學(xué)歸納法(43)

六、參數(shù)法(48)

七、反證法(52)

八、消去法(54)

九、分析與綜合法(55)

十、特別與普通法(56)

十一、類比與歸納法(57)

十二、觀看與實(shí)驗(yàn)法(58)

第三章高考熱點(diǎn)咨詢題和解題策略(59)

一、應(yīng)用咨詢題(59)

二、探究性咨詢題(65)

三、挑選題解答策略(71)

四、填空題解答策略(77)

附錄………

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析…………

二、兩套高考模擬試卷…………

三、參考答案……

前言

美國聞名數(shù)學(xué)教育家波利亞講過，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一具新咨詢題，總想用熟悉的題型去“套”，這不過滿腳于解出來，惟獨(dú)對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)辦法明白透徹及融會(huì)貫穿時(shí)，才干提出新看法、巧解法。高考試題十分重視關(guān)于數(shù)學(xué)思想辦法的考查，特殊是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想辦法。我們要故意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想辦法去分析咨詢題解決咨詢題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使自個(gè)兒具有數(shù)學(xué)頭腦和眼光。

高考試題要緊從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想辦法舉行考查：

①常用數(shù)學(xué)辦法：配辦法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯辦法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維辦法：觀看與分析、概括與抽象、分析與綜合、特別與普通、類比、歸納和

演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想

等。

數(shù)學(xué)思想辦法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，能夠用文字和符號(hào)來記錄和描述，隨著時(shí)刻的推移，經(jīng)歷力的減退，未來也許不記得。而數(shù)學(xué)思想辦法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只可以領(lǐng)略和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)咨詢題的認(rèn)識(shí)、處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想辦法，別是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)不記得了，數(shù)學(xué)思想辦法也依然對(duì)你起作用。

數(shù)學(xué)思想辦法中，數(shù)學(xué)基本辦法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作性的特征，能夠選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本辦法常常在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的并且獲得。

能夠講，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“辦法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心算是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想辦法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的綜合體現(xiàn)算是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想辦法，本書先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)基本辦法：配辦法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與綜合法、特別與普通法、類比與歸納法、觀看與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最終談?wù)劷忸}中的有關(guān)策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)咨詢題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)辦法或者咨詢題舉行綜合性的敘述，再以三種題組的形式浮現(xiàn)。再現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的挑選填空題舉行辦法的再現(xiàn)，示范性題組舉行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)辦法和咨詢題舉行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題的選取，又盡可能綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

第一章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想

一、數(shù)形結(jié)合思想辦法

中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、別等式（組）、函數(shù)等；一類是對(duì)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是對(duì)于數(shù)形結(jié)合的知識(shí)，要緊體現(xiàn)是解析幾何。

數(shù)形結(jié)合是一具數(shù)學(xué)思想辦法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致能夠分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地講明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。

恩格斯曾講過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合算是依照數(shù)學(xué)咨詢題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋覓解題思路，使咨詢題化難為易、化繁為簡(jiǎn)，從而得到解決。“數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾，宇宙間萬物無別是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生講過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。

數(shù)形結(jié)合的思想，事實(shí)上質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)咨詢題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它能夠使代數(shù)咨詢題幾何化，幾何咨詢題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決咨詢題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要完全理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就能夠看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。

Ⅰ、再現(xiàn)性題組：

1.設(shè)命題甲：01

D.b>a>1

3.假如|x|≤π

4

,這么函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)

A.21

2

-

B.－

21

2

+

C.－1

D.

12

2

-

4.假如奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，這么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)

A.增函數(shù)且最小值為－5

B.增函數(shù)且最大值為－5

C.減函數(shù)且最小值為－5

D.減函數(shù)且最大值為－5

5.設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|y

x

-

-

3

2

＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那

么MN

∪等于_____。(90年全國)

A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

6.假如θ是第二象限的角，且滿腳cosθ

2

－sin

θ

2

＝1-sinθ,這么

θ

2

是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.也許第一象限角，也也許第三象限角

D.第

二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ乙，選A;2小題：由已知畫出對(duì)數(shù)曲線，選B；

3小題：設(shè)sinx＝t后借助二次函數(shù)的圖像求f(x)的最小值，選D；

4小題：由奇函數(shù)圖像對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱畫出圖像，選B；

5小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來，選B；

6小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B；

7小題：利用單位圓，選A；

8小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B；

9小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的歪率范圍咨詢題；選D；

10小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解,答案－3

2

＋

3

2

ｉ。

【注】以上各題是歷年的高考客觀題，都能夠借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關(guān)的咨詢題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。

Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x2＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)

有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

【分析】將對(duì)數(shù)方程舉行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程

在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的咨詢題，再利用二次函數(shù)的圖像舉行解決。

【解】原方程變形為

30

33

2

->

-+-=-?

?

?

x

xxmx

即：

30

21

2

->

-=-?

?

?

x

xm()

設(shè)曲線y

1＝(x－2)2,x∈(0,3)和直線y

2

＝1－m，圖像如圖所示。由圖可知：

y

4y=1-m

1

O23x

①當(dāng)1－m＝0時(shí)，有唯一解，m＝1;

②當(dāng)1≤1－m0),橢圓中心D(2＋p2

,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。咨詢p在啥范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)別同的點(diǎn)，它們中每一具點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？

【分析】由拋物線定義，可將咨詢題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)咨詢題（研究方程組解的事情）。

【解】由已知得：a＝2，b＝1,A(p2

,0)，設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有：ypxxpy22222241=-++=?????

??[()]，消y得：x2－(4－7p)x＋(2p＋p24)＝0因此△＝16－64p＋48p2>0,即6p2－8p＋2>0，解得：p1。結(jié)合范圍(p2,4+p2)內(nèi)兩根，設(shè)f(x)＝x2－(4－7p)x＋(2p＋p2

4

)，因此p20、f(4+p2

)>0即p>－4＋32。結(jié)合以上，因此－4＋320,故③式不會(huì)有實(shí)數(shù)解。因此別存在a、b，使得A∩B≠φ與(a,b)∈C并且成立

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則xy22+的最小值是_____。A.6013B.135C.1312D.1

2.已知集合P＝{(x,y)|y＝92-x}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b||x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，這么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。

6.設(shè)z＝cosα＋12ｉ且|z|≤1,這么argz的取值范圍是____________。

7.若方程x2－3ax＋2a2

＝0的一具根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

8.sin220°＋cos280°＋3sin20°·cos80°＝____________。

9.解別等式：--xx22>b－x

10.設(shè)A＝{x|0、a＝0、a2時(shí)分

a>0、a＝0和aq

D.當(dāng)a>1時(shí)，p>q；當(dāng)00、a＝0、a1、00、x0且a≠1，比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小。

【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，因此對(duì)底數(shù)a分兩類事情舉行討論。

【解】∵01

①當(dāng)00，loga(1＋x)0;②當(dāng)a>1時(shí)，loga(1－x)0，因此

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)>0；由①、②可知，|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|。

【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax的單調(diào)性的兩種事情十分熟悉，即當(dāng)a>1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)00，使得lg()lg()ScScnn-+-+22

＝lg（Sn+1－c）成立？并證明結(jié)論。(95年全國理)

【分析】要證的別等式和討論的等式能夠舉行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種事情。