排列組合問(wèn)題之捆綁法

“相鄰問(wèn)題”捆綁法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個(gè)”大元素進(jìn)行排序，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間排列順序的解題策略。例1.若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須站在相鄰位置，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須排在一起，首先將A和B兩個(gè)人“捆綁”，視其為“一個(gè)人”，也即對(duì)“A，B”、C、D、E“四個(gè)人”進(jìn)行排列，有種排法。又因?yàn)槔壴谝黄鸬腁、B兩人也要排序，有種排法。根據(jù)分步乘法原理，總的排法有種。例2.有8本不同的書，其中數(shù)學(xué)書3本，外語(yǔ)書2本，其它學(xué)科書3本。若將這些書排成一列放在書架上，讓數(shù)學(xué)書排在一起，外語(yǔ)書也恰好排在一起的排法共有多少種？【解析】：把3本數(shù)學(xué)書“捆綁”在一起看成一本大書，2本外語(yǔ)書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其它3本書一起看作5個(gè)元素，共有種排法；又3本數(shù)學(xué)書有種排法，2本外語(yǔ)書有種排法；根據(jù)分步乘法原理共有排法種。【王永恒提示】：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題。解題過(guò)程是“先捆綁，再排列”?！安秽弳?wèn)題”插空法，即在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求不相鄰的問(wèn)題時(shí)，先將其它元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問(wèn)題解決的策略。例3.若有A、B、C、D、E五個(gè)人排隊(duì)，要求A和B兩個(gè)人必須不站在一起，則有多少排隊(duì)方法？【解析】：題目要求A和B兩個(gè)人必須隔開(kāi)。首先將C、D、E三個(gè)人排列，有種排法；若排成DCE,則D、C、E“中間”和“兩端”共有四個(gè)空位置，也即是：jD^C^E^，此時(shí)可將A、B兩人插到四個(gè)空位置中的任意兩個(gè)位置，有種插法。由乘法原理，共有排隊(duì)方法：。例4.在一張節(jié)目單中原有6個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去3個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？【解析】：直接解答較為麻煩，可根據(jù)插空法去解題，故可先用一個(gè)節(jié)目去插7個(gè)空位（原來(lái)的6個(gè)節(jié)目排好后，中間和兩端共有7個(gè)空位），有種方法；再用另一個(gè)節(jié)目去插8個(gè)空位，有種方法；用最后一個(gè)節(jié)目去插9個(gè)空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法為二504種。例4.一條馬路上有編號(hào)為1、2、……、9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？【解析】：若直接解答須分類討論，情況較復(fù)雜。故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插7個(gè)空位，共有種方法（請(qǐng)您想想為什么不是），因此所有不同的關(guān)燈方法有種?！就跤篮闾崾尽浚哼\(yùn)用插空法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意插空位置包括先排好元素“中間空位”和“兩端空位”。解題過(guò)程是“先排列，再插空”。練習(xí)：一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這3個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？（國(guó)考2008-57）

A.20B.12A.20B.12C.6D.4插板法是用于解決“相同元素”分組問(wèn)題，且要求每組均“非空”，即要求每組至少一個(gè)元素;若對(duì)于“可空”問(wèn)題，即每組可以是零個(gè)元素，又該如何解題呢?下面先給各位考生看一道題目：②所要分的元素必須分完，決不允許有剩余;③參與分元素的每組至少分到1個(gè)，決不允許出現(xiàn)分不到元素的組。下面再給各位看一道例題：例2.有8個(gè)相同的球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（）種不同方法.【解析】這道題很多同學(xué)錯(cuò)選C，錯(cuò)誤的原因是直接套用上面所講的“插板法”，而忽略了“插板法”的適用條件。例2和例1的最大區(qū)別是：例1的每組元素都要求“非空”，而例2則無(wú)此要求，即可以出現(xiàn)空盒子。其實(shí)此題還是用“插板法”，只是要做一些小變化，詳解如下：夾板定理。10臺(tái)階看錯(cuò)10個(gè)球，10個(gè)球擺成一排，中間共有9