2021版高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)第九章 第5講 第1課時(shí) 橢圓及其性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b2標(biāo)準(zhǔn)方程a2 b2x2＋y2＝1(a＞b＞0)a2 b2y2＋x2＝1(a＞b＞0)圖形范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：x軸、y軸對(duì)稱中心：(0，0)性質(zhì)頂點(diǎn)軸焦距A1A2B1B2|F1F2|＝2c性質(zhì)離心率e＝a，e∈(0，1)c一、知識(shí)梳理1．橢圓的定義條件條件12平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)F，F(xiàn)12F、F為橢圓的焦點(diǎn)M點(diǎn)的軌跡為橢圓12|MF1|＋|MF2|＝2a |F1F2|為橢圓的焦距2a＞|F1F2|[注意] 若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段若則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)aa，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2常用結(jié)論0 P(x，y0 x2 y2(1)點(diǎn)P(x，y)在橢圓內(nèi)?0＋0<1.0 0 a2 b2x2 y2(2)點(diǎn)P(x，y)在橢圓上?0＋0＝1.0 0 a2 b2x2 y2(3)點(diǎn)P(x，y)在橢圓外?0＋0>1.0 0 a2 b2橢圓的常用性質(zhì)(1)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為a＋c，最小值為a－c.(2)

2b2a.F1AB，則△ABF24a.是橢圓上不同的三點(diǎn)，其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線斜率存在的斜率之積為定值－.且不為0，則直線與PB b2的斜率之積為定值－.a2二、習(xí)題改編1選修11P40例4改橢圓12＋22400的長(zhǎng)軸的長(zhǎng) 離心率 ．5答案：10 352．(選修1-1P41練習(xí)T3改編)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等1于2，則C的方程是 ．x2 y243＝13．(1-1P36T3改編)

x2 y2＝1

，F(xiàn)，過(guò)F：25＋16

1 2 2的直線交橢圓C于AB兩點(diǎn)，則△F1AB的周長(zhǎng)為 ，△AF1F2的周長(zhǎng)為 ．答案：20 16一、思考辨析(1 (1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓1 橢圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形)y2 x2＋＝1(a≠b)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓)a2 b2x2 y2 y2 x2＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相同)a2 b2 a2 b2答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)(1)忽視橢圓定義中的限制條件；(2)忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置的討論．平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，－9)，F(xiàn)2(0，9)的距離之和等于18，則點(diǎn)M的軌跡是 ．|MF1|＋|MF2|＝18，但|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是一條線段．答案：線段F1F2已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，其焦點(diǎn)到中心的距離為 4，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方為 ．答案： 1或 1x2 y2 答案： 1或 125＋9＝ 25＋9＝第1課時(shí)橢圓及其性質(zhì)橢圓的定義及應(yīng)用(典例遷移)(1)(2020·設(shè)橢圓C4x2＋y2＝1F＝kx(k≠0)與橢圓C(1)(2020·設(shè)橢圓C4x2＋y2＝1FA．2C．4(2)(2020·)F、

B．2333x2 y2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C1 2 a2 b2上的一點(diǎn)，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝ ．【解析】(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F1，連接AF1，BF1，因?yàn)镺A＝OB，OF＝OF1，所以四邊形AFBF1是平行四邊形．所以|BF|＝|AF1|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故選C.(2PF1＝1，PF2＝2，則r1＋r2＝2a，r2＋r2＝4c2，1 22rr＋r12 1 2 1 2所以PF

121F2＝2

2＝9，所以b＝3.(1)C(2)31F218求該橢圓的方程．解：由原題得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故橢圓的方程為259橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2PF1·PF2，通過(guò)整體代入可求其面積等．1 已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F3，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)F1 2516的距離( A．2C．5

B．3D1 2 a2＝25，2a＝101 2 1－PF1＝7.2(2020FF2分別為橢圓C：4＋31的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P在橢圓C上，且1PF2＝60°，則S△F1PF2＝ ．1 2 1 2 1 2 12 1 PF＋PF＝，PF2＋PF2－2PFPFcos6°FF，得3PFPF1 2 1 2 1 2 12 1 1 12 1PF1PF2＝4，則F1PF2＝PF1PF2|snF1PF＝×4sin0＝3.2 答案：3橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(師生共研)(1)(一題多解(1)(一題多解過(guò)點(diǎn)( 3，－5)，且與橢圓y2 x2＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方25＋9A.x2 y2A.20＋4＝1C.y2 x2C.20＋4＝1

x2 y2B.2 5＋4＝1B.．4＋ D ．4＋ 2 5(2)若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方為 ．25 【解析】(1)法一(定義法)：橢圓y2＋x2＝1的焦點(diǎn)為(0，－4)，(0，4)，即c＝4.25 由橢圓的定義解得a＝2 5.

（3－0）2＋（－5＋4）2＋（3－0）2＋（－5－4）2，由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＋x2＝1.20 4法二(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為y2

＋x2

將( 5)的坐標(biāo)代25－k 9－k， （－）2 （3）＝1解得＝5或21舍所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2可得 ＋25－k 9－k 20＋x2＝1.4

5＋3＝1法三(待定系數(shù)法)：設(shè)所求橢圓方程為y2＋x2＝1(a>b>0)．由題意得a2

，解得a2 b2

－b

＝162＝20

a2 2 ，2＝4所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＋x2＝1.20 4(2)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0，1)，(－2，0)，由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.5當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＋x2＝1.5 4x2 x2 y2【答】(1)C (2)5＋y2＝1或4＋5＝1用定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程先根據(jù)橢圓的定義確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置求出橢圓的方程．其中常用的關(guān)系有：①b2＝a2－c2；②橢圓上任意一點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a；③橢圓上一短軸頂點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離等于長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟x2 y2[提醒] 當(dāng)橢圓焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，可設(shè)為＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可設(shè)為Ax2m n＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為( )x2A.9＋y2＝1y2C.9＋x2＝1

y2 x2B.9＋5＝1Dx2 y2D．9＋5＝1解析：選D.由題意有6>2＋2＝4，故點(diǎn)M的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故橢圓的方程為x2＋y2＝1.故選D.9 5設(shè)橢圓

x2 y2＋＝1(m>0，n>0)的右焦點(diǎn)為(2，0)，離心率為

2，則此橢圓的方程m2 n2 2為 ．2 ，所以2 8 n2＝4，得n2＝4，所以橢圓方程為x2＋y2＝1.8

2＝2所以m＝2 代入m2－84＝1已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2∶則橢圓C的方程是 ．＋＝1(a>b>0)．＋＝1(a>b>0)．解析：設(shè)橢圓C的方程為a2 b2由題意知∶c＝2，解得a2＝16，b2＝12.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.1612答案：＋＝11612橢圓的幾何性質(zhì)(多維探究)角度一橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距(2020泉州質(zhì)已知橢圓 ＋ 1的長(zhǎng)軸在x軸上，焦距為，則mm－210－m等于( A．8C．6＋＋【解析】因?yàn)闄E圓

B．7D＝1的長(zhǎng)軸在x軸上，m－210－mm－2>0，所以10－m>0， 解得6<mm－2>10－m，4，所以－2－10＋m＝4，解得m＝8.【答案】AF2是橢圓C是CPF1PF2，且PF2F＝60，則C的離心率( )32A．1－ B．2－332C.(2)

3－12 D．3－1y2 x2xOyPC：＋＝1(a>b>0)在橢a2 b2

π 圓上，若四邊形OPMN為平行四邊形，α為直線ON的傾斜角，若α∈6，4，則橢圓C的離心率的取值范圍( ) 6 3A.0，3 B.0，2 6 3 6 2 2C.3

，2

D．3，3【解析】(1)由題設(shè)知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝＝1 由橢圓的定義得|PF|＋|PF|＝2a，即3c＋c＝2a，1 所以( 3＋1)c＝2a，Ce＝c＝

＝3－1.故選D.a 3＋1OPMN所以MN∥OP且MN＝OP，2 故y＝a 3b2 N所以k

x＝2，＝3a＝tanα.ON 3b又α∈π π 3 3a6，4

<

<1，0<< ，故選a 所以a< 3b，a2<3(a2－c2)，解得 c 0<< ，故選a 【答】(1)D (2)A求橢圓離心率或其取值范圍的方法c2 a2－b2 b2a，ba，ce2＝a2

a2 ＝1－a直接求．()b2＝a2－c2(aa2ee2的方程(不等式e(e)．PP在橢圓4＋x2y2＝1上，A(0，4)，則|PA|的最大值為()3A. 2183C．5

76B.3D．2 50 【解析】設(shè)P(x，y)，則由題意得x2＝4(1－y2)0 所以|PA|2＝x2＋(y

－4)2＝4(1－y2)＋y2－8y＋160 0＝－3y

0 0 0y＋42＋76 02－8y0＋20＝－30 3 3，01又－1≤y≤，100所以當(dāng)y＝－1時(shí)，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值為5.故選C.0【答案】C求解最值、取值范圍問(wèn)題的技巧想到一個(gè)圖形．在求橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．最值問(wèn)題，將所求列出表達(dá)式，構(gòu)造基本不等式或利用函數(shù)單調(diào)性求解．x2 y2．已知橢圓＋＝1(a>b>0)x2＋y2－6x＋8＝08，a2 b2則橢圓的左頂點(diǎn)( A．(－3，0)C．(－10，0)

B．(－4，0)D．(－5，0)選D.(x－3)2＋y2＝1，所以圓心坐標(biāo)為(3，0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝b2＋c2＝5.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的左頂點(diǎn)為(－5，0)．x2 y2OF分別為橢圓43＝1P為橢圓上的任意一點(diǎn)，→→則OP·FP的最大值( )A．2C．6

B．3D．84 選C.x2＋y2＝1F(－1，0)，O(0，0)，P(x，y)(－2≤x≤2)，4 則P→＝x＋＋yx·FP

2 2

44 FP當(dāng)且僅當(dāng)＝2時(shí)·→取得最大值6.4 FPx2 y2．已知橢圓＋

＝1(a>b>0)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，PFa2 b21⊥x軸，|PF|＝4|AF|，則橢圓的離心率為 ．a(chǎn)解析：因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，且PF⊥x軸，所以|PF|＝b2，a|AF|，又因?yàn)閨AF|＝a＋c，|PF||AF|，4所以4(a2－c2)＝a(a＋c)，即4(a－c)＝a，則3a＝4c，.即c＝3.a 43答案：4[基礎(chǔ)題組練]y21．已知正數(shù)m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋m＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)( )A．(± 3，0)C．(± 3，0)或(±

B．(0，±3)D．(0，±或(± 5，0)4解析：選B.因?yàn)檎龜?shù)m是2和8的等比中項(xiàng)，所以m2＝16，即m＝4，所以橢圓x2＋y24＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±3)，故選B.2．(2019·高考北京卷)已知橢圓x2＋y2＝1(a＞b＞0)

1 ( )a2 b2

的離心率為2，則A．a(chǎn)2＝2b2 B．3a2＝4b2C．a(chǎn)＝2b D．3a＝4bc＝1 c2＝1

＝b

a2－b2＝1 b2＝3選B.

，所以

又a2 2 所以

，所以4b2＝3a2.故選B.

a 2

4 a2 43．曲線x2

＋

＝1與曲線x2

＋y2

＝1(k<144)的( )169 144 169－k 144－kC．離心率相等選D.曲線

＋y2

D．焦距相等＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以兩169－k 144－k曲線的焦距相等．4．(2020·鄭州模擬)

x2 y2

1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F

，F(xiàn)，離心率已知橢圓C：＋＝ 1 2a2 b22為3，過(guò)F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則C的方程( )x2A.3＋y2＝1x2 y2C.9＋4＝1

x2 y2B.3＋2＝1Dx2 y2D．9＋5＝1解析：選D.由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長(zhǎng)為|AF1

|＋|AF

2|＋|BF1

|＋|BF

|＝4a＝12，所以a＝3.因?yàn)闄E圓的離心率e＝c＝2

所以c＝2，a 32所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為x2＋y2＝1，故選a 329 55．(2020·昆明市診斷測(cè)試)已知F，F(xiàn)

x2＋y2

＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，B1 2 a2 b2

|AF1|為C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線BF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為A，若△BAF2為等腰三角形，則|AF|2＝( )21A.32C.3

1B.2D．3A.By|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF|＋|AF

|＝2a，由題意知|AB|＝|AF

|，所以|BF|＝|BF

|＝a，|AF

|＝a |AF|＝3a所以1 2|AF1|＝1

2 1

1 2， 2 2.|AF2

| 3.故選A.6

x2＋y2

＝1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)等于焦距，則橢圓的離心率為 ．a(chǎn)2 b2b2＝a2－c2＝c2，a＝2c，e＝c＝2a 2答案：227．(2020·貴陽(yáng)模擬)

.若橢圓＋＝x2 若橢圓＋＝

1(a>b>0)的離心率為3

4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)a2方程為 ．e＝c＝

b2 22b＝4，得b＝2，，c＝3，

a 2，a＝4，所a 2

解得a2＝b2＋＝2，

＝2 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1.16 4x2 y2答案：164＝18．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)

x2 y2F F FF

1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且21設(shè)，為橢圓C：36＋20＝21在第一象限．若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為 ．36 Cx2y236

a2－b2＝4

分別為左、右1 12 1 2 |MF|＝|FF|＝2c＝8|MF|＋|MF|＝12，所以|1 12 1 2 |FF|－1MF|2＝122 2|21 1|FF|－1MF|2＝122 2|21 12 2 1

|h＝1FF|y，即1

4×2 15＝1 8×yy＝2| 2

2|12 M

2× M MM 得x＝－3(舍去)或x＝3，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，15)．M 1 2 1 1優(yōu)解：不妨設(shè)F，F(xiàn)分別為左、右焦點(diǎn)，則由題意，得|MF|＝|FF|＝1 2 1 1半徑公式得|MF

|＝ex

＝M的1 M 3M M M坐標(biāo)為(3，15)．答案：(3，15)10F1，F(xiàn)2(3，0)和(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求△F1PF2的面積．解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝1(a>b>0)，2a＝1，

a2 b2依題意 因此＝3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2＝1.25 16P(2)易知|＝4c＝3，PS△F

＝1 11 2 2|yP|×2c＝2×4×6＝12.分別求出滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)

x2 y2與橢圓43＝1(2，－3)；(2)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，且P，過(guò)P與長(zhǎng)軸垂直的直線恰過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)．解：(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為x2＋y2＝t

或y2＋x2＝t

(t

＞0)，因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2，4 3 1 4 3

21 2－3)

22 （－3）2＝＋ ＝2

（－3）2＋22＝251 4 3

2＝ 4 3 12.x2＋y2＝1或y2x2＝1.8 6 25 253 4(2)由于焦點(diǎn)的位置不確定，所以設(shè)所求的橢圓方程為x2＋y2＝1(a＞b＞0)或y2＋x2＝1(a

2a＝＋3，

a2 b2

a2 b2由已知條件得（2）＝522，解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.故橢圓的方程為x2y2＝1或y2x2＝1.16 12 16 12[綜合題組練]1．(2020·合肥市第二次質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓x2＋y2＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F，a2 b2 12 1 1 F，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，以線段FA為直徑的圓交線段FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，若2 1 1 ∥AP，則該橢圓的離心率( )3A.32C. 32

B. 232D．232D.F1AF2B1 2 1 2 12 ∥APFB.又B|＝|FB|，所以△BFF|OB|＝|OF1 2 1 2 12 a 2a2＝b2＋c2＝2c2a＝2ce＝c＝2a 2

故選D.2．(2019·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程( )x2A.2＋y2＝1x2 y2C.4＋3＝1

x2 y2B.3＋2＝1Dx2 y2D．5＋4＝1解析：選B.由題意設(shè)橢圓的方程為x2＋y2＝1(a>b>0)，連接F

A，令|FB|＝m，則|AF|a2 b2

1 2 2＝2m，|BF

|＝3m.由橢圓的定義得m＝a 故A|＝a＝|F則點(diǎn)A為橢圓C1 2， 2 1

＝θ(Osinθ＝1

中，cos2θa2 . 1aa＝21＝1－2(1

得3 2＝3.又c2＝1，