2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：基本初等函數(shù)函數(shù)與方程

2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

［考情分析I1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不

等式是常見題型.2.函數(shù)零點的個數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考熱點，常以壓軸題的形式出現(xiàn).

考點一基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)

I核心提煉】

1.指數(shù)函數(shù)丁=出3>0,且。W1)與對數(shù)函數(shù)y=logd(〃>0,且互為反函數(shù)，其圖象關(guān)

于y=x對稱，它們的圖象和性質(zhì)分第>1兩種情況，著重關(guān)注兩個函數(shù)圖象的異同.

2.薪函數(shù)y=Y的圖象和性質(zhì)，主要掌握a=l,2,3,一1五種情況.

例1(1)(2021?茂名水東中學(xué)模擬)函數(shù)負(fù)x)="與函數(shù)g(x)=log］在同一坐標(biāo)系中的圖象可能

是()

答案D

解析g(x)=log?!=~log?x,則函數(shù)7(x)與函數(shù)g(x)單調(diào)性相反，排除選項B,C；

再由g(l)=0可排除選項A.

(2)(2020?全國1【)若2'—2'<3r—3->,則()

A.ln(y—x+1)>0B.ln(j—x+1)<0

C.ln|x—y|>0D.ln|x-y|<0

答案A

解析設(shè)函數(shù)?r)=2*—3".

因為函數(shù)y=2'與>=-3「在R上均單調(diào)遞增，

所以式x)在R上單調(diào)遞增.

原式等價于2'—3r即兀0勺W),

所以x<y,即y—x>0,所以A正確，B不正確；

因為卜一乂與1的大小關(guān)系不能確定，所以C,D不正確.

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規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響，解決與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函

數(shù)問題時，首先要看底數(shù)a的取值范圍.

(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的，在解題中可相互轉(zhuǎn)化.

跟蹤演練1⑴(2021?新高考全國H)已知a=logs2,b—\og?3,c—^,則下列判斷正確的是

()

A.c<b<aB.b<a<c

C.a<c<bD.a<txc

答案C

解析a=log52clogc3=]=log82吸<log83=6,即a<c<b.

logd，x>0,

⑵(2021?濟南模擬)已知函數(shù)兀c)=,.I—(a>0且aWl),若函數(shù)/(x)的圖象上有

卜+2|,-3WxW0

且僅有兩個點關(guān)于y軸對稱，則。的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,3)

C.(0,l)U(3,+8)D.(0,l)U(l,3)

答案D

解析y=k>g融的圖象關(guān)于y軸對稱的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=log“(一x),函數(shù)4x)的圖象上有

且僅有兩個點關(guān)于y軸對稱，等價于y=log.(一x)與y=|x+2|,-3WxW0的圖象有且僅有一

個交點.當(dāng)0<“<1時，顯然符合題意(圖略)；當(dāng)。>1時，只需log“3>l,綜上所述，

a的取值范圍是(0,l)U(l,3).

考點二函數(shù)的零點

I核心提煉】

判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法

⑴利用函數(shù)零點存在定理判斷.

(2)代數(shù)法：求方程犬x)=0的實數(shù)根.

⑶幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出

零點或利用兩個函數(shù)圖象的交點求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

考向1函數(shù)零點的判斷

例2(2021.滄州聯(lián)考)已知於)是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，且當(dāng)xG[0,l]時，式防=2,

-1,則函數(shù)g(X)=/(X)-10g5|x|的零點個數(shù)是()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析當(dāng)xe[0,l]時，1犬)=2'-1,函數(shù)y=/u)的周期為2且為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，

可作出函數(shù)y(x)的圖象.函數(shù)y=log5|x|的圖象關(guān)于y軸對稱，函數(shù)y=g(x)的零點，即為兩函

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數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，當(dāng)x>5時，y=log5|x|>l,此時兩函數(shù)圖象無交點，如圖,

2-

-5-^4-3-2-hp2345x

又兩函數(shù)的圖象在x>0上有4個交點，由對稱性知它們在x<0上也有4個交點，且它們關(guān)于

y軸對稱，可得函數(shù)g(x)=?t)—logsixl的零點個數(shù)為8.

考向2求參數(shù)的值或范圍

[|lnx|,x>0,

例3(多選)設(shè)函數(shù)八x)=“一、…若函數(shù)g(x)=/(x)一匕有三個零點，則實數(shù)人可取

[e(x?1),xWO.

的值可能是()

A.0B.1C.gD.1

答案BCD

解析函數(shù)g(x)=fl,x)—h有三個零點等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=h的圖象有三個不

同的交點，

當(dāng)xWO時，<x)=(x+l)e\則/(x)=e'+(x+l)e*=(x+2)e*,

所以7U)在(-8,一2)上單調(diào)遞減，在(-2,0]上單調(diào)遞增，

且八一2)=一±，八0)=1,lim/(x)=0,

c.r--oo

從而可得大x)的圖象如圖所示，

^3~~-1o123X

通過圖象可知，若函數(shù)y=?r)的圖象與函數(shù)y=b的圖象有三個不同的交點，則6G(0,1].

規(guī)律方法利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法

跟蹤演練2(1)(2021?北京順義區(qū)模擬)已知函數(shù)火x)=3"—『.若存在xoG(-8,-1),使

得兀吟=0，則實數(shù)。的取值范圍是()

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C1-，8O

宵

案B

,1+axr/口1

解析由人x)=3,一二一=0,可得。=3'一：

令g(x)=3"—1其中尤G(—8,—1),

由于存在x()W(-8,-1),使得人xo)=o,

則實數(shù)a的取值范圍即為函數(shù)g(x)在(一8,—1)上的值域.

由于函數(shù)y=3「y=—1在區(qū)間(-8,一］)上均單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在(一8,一1)上單

調(diào)遞增.

1_4

當(dāng)xe(-8,—1)時，^(x)=3'--<3''+1=j,

又g(x)=3'—：>0,

所以函數(shù)g(X)在(一8,

因此實數(shù)a的取值范圍是(0,

(2)函數(shù)1*)=9不+2cos［(x+2021)用在區(qū)間［—3,5］上所有零點的和等于()

11

A.2B.4C.6D.8

答案D

)］［021)兀］=言

解析??VU=&+2COS(X+22cos71X,

令/(x)=0,則［」］|=2COS7LT,

11

則函數(shù)的零點就是函數(shù))，=苦彳的圖象和函數(shù)y=2cos心的圖象交點的橫坐標(biāo)，

可得y=j匕和y=2cos7tx的函數(shù)圖象都關(guān)于直線x=i對稱，則交點也關(guān)于直線x—i對稱,

R-*I

畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示.

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觀察圖象可知，函數(shù)丫==7］的圖象和函數(shù))'=2＜：0$兀1的圖象在［-3,5］上有8個交點，

即7(x)有8個零點，且關(guān)于直線x=l對稱，故所有零點的和為4X2=8.

考點三函數(shù)模型及其應(yīng)用

【核心提煉】

解函數(shù)應(yīng)用題的步驟

(1)審題：縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相

應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)反饋：將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的意義.

例4(1)(2020?新高考全國I)基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參

數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時

間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：&)=e”描述累計感染病例數(shù)/⑺隨時間f(單

位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與Ro,T近似滿足Ro=l+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出

Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為

(In2弋0.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

答案B

解析由Ro=l+rT,R)=3.28,T=6,

Ro—13.28-1

得，二”一=6-=0.38.

由題意知，累計感染病例數(shù)增加1倍,

貝U/出)=2/5)，即e°.2=26°胸，

所以e°38%F)=2,即0.38(/2-ri)=ln2,

所以t—ti=

20.380.38

(2)(2021?阜陽模擬)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗

預(yù)定區(qū)域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈

跳式返回彈道，實現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示).現(xiàn)

將石片扔向水面，假設(shè)石片第一次接觸水面的速率為11.2m/s,這是第一次“打水漂”，然

后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%,若要使石片的速

率低于7.84m/s,則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取In0.72—0.357,In0.93七

-0.073)()

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A.4B.5C.6D.7

答案C

解析設(shè)石片第〃次“打水漂”時的速率為匕，

則%=11.2X0.93"-1.

由11.2X0.93n~I<7.84,0.93n-'<0.7,

則（〃一l）ln0.93<ln0.7,

??In0.7—0.357?,

即〃-1>帚麗T司而^489,則〃>5-89,

故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.

規(guī)律方法（1）構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的失分點

①不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型.

②構(gòu)建的函數(shù)模型有誤.

③忽視函數(shù)模型中變量的實際意義.

⑵解決新概念信息題的關(guān)鍵

①仔細(xì)審題，明確問題的實際背景，依據(jù)新念進行分析.

②有意識地運用轉(zhuǎn)化思想，將新問題轉(zhuǎn)化為我們所熟知的問題.

跟蹤演練3（1）（2021?濟南質(zhì)檢）把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是仇。C,空氣

的溫度是仇0C,那么tmin后物體的溫度外單位：。C）滿足公式。=%+（仇一枷把一，其中k為

常數(shù)）.現(xiàn)有52℃的物體放在12℃的空氣中冷卻,2min后物體的溫度是32°C.則再經(jīng)過4min

該物體的溫度可冷卻到（）

A.12℃B.14.5℃C.17℃D.22℃

答案C

解析由題意得32=12+40e2〃，則尸=；,

則再經(jīng)過4min該物體的溫度可冷卻到

0=12+40e/=12+40X&=17（"C）.

（2）（2021?武漢模擬）物理學(xué)規(guī)定音量大小的單位是分貝（dB）,對于一個強度為/的聲波，其音

量的大小〃可由如下公式計算：〃=101g3其中/o是人耳能聽到聲音的最低聲波強度）.我們

人類生活在一個充滿聲音的世界中，人們通過聲音交換信息、交流情感，人正常談話的音量

介于40dB與60dB之間，飛機起飛時的音量約為120dB,則120dB聲音的聲波強度人是

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40dB聲音的聲波強度/2的()

A.3倍B.103倍c106倍口.1()8倍

答案D

解析依題意知〃=101g

故120=101g40=101g

12=*4=咪

10>2=A104=1

/]=/o,lO12,/2=/04104,

所以6=等'=10s-

專題強化練

一、單項選擇題

1.幕函數(shù)兀V）滿足式4）=3_A2）,則等于（）

A.1B.3C.一；D.—3

答案A

解析設(shè)得函數(shù)?r）=P,

則4"=3X2”,

解得a=log23,

所以述X）=M%3,

所以/（｝）=2-臃23=/

2.（2021?濰坊模擬）在一次數(shù)學(xué)實驗中，某同學(xué)運用圖形計算器采集到如下一組數(shù)據(jù):

X-2-1123

y0.240.512.023.988.02

在以下四個函數(shù)模型3,6為待定系數(shù)）中，最能反映x,），函數(shù)關(guān)系的是（）

A.y=a+bxB.y=a+"

,yx

C.y=a+\ogbXD.y=a+bx

答案D

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解析作出散點圖（圖略），由圖知其圖象與指數(shù)函數(shù)圖象相似，故選D.

3.（2021.太原模擬）在同一直角坐標(biāo)系中，指數(shù)函數(shù)），=6〉,二次函數(shù)）二加一法的圖象可

解析指數(shù)函數(shù)了=e＞的圖象位于x軸上方，據(jù)此可區(qū)分兩函數(shù)圖象.二次函數(shù)y=o?—for

—（ax-b）x,有零點今0.A,B選項中，指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故與＞1，故A錯

誤，B正確.C,D選項中，指數(shù)函數(shù)尸牌在R上單調(diào)遞減，故0§1,故C,D錯誤.

4.教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化

碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳日平

均最高容許濃度應(yīng)小于等于0.1%.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.2%的二氧化碳，若開窗

通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為），％,且y隨時間*單位:分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=0.05

+幾屋萬QGR）描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為（）

（參考數(shù)據(jù)ln3?l.l）

A.10分鐘B.14分鐘

C.15分鐘D.20分鐘

答案B

解析由題意知，當(dāng)t=0時，＞,=0.2,所以0.05+〃°=0.2,2=0.15.所以y=0.05+

-L1t

0.15e12^0.1,解得e12W§,所以一五W—ln3,r2121n3213.2.故該教室內(nèi)的二氧化碳濃

度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)至少需要的時間為14分鐘.

5.若函數(shù)y=logXf一ax+1）有最小值，則。的取值范圍是（）

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A.\<a<2B.0<〃<2,

C.0<r/<1D.

答案A

解析令〃（無）=/—辦+1,?函數(shù)y=log，/—ar+1）有最小值，.且?（x）min>0,.*.J

=tz2—4<0,

：.a的取值范圍是\<a<2.

e*x<0

二二，、，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)g(x)=3[/(x)]2—

{4X5—6A-+LX20,

10/(x)+3的零點個數(shù)為()

A.4B.5C.6D.3

答案A

解析當(dāng)x20時，兀0=4/—6f+l的導(dǎo)數(shù)為/a)=12?—12x,

當(dāng)0<r<l時，f(x)<0,4彳)單調(diào)遞減；當(dāng)尤>1時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，可得/笛在x=l

處取得最小值，最小值為-1,且10)=1,

作出函數(shù)凡r)的圖象，如圖所示.

......#

g(x)=3[A刈2—1Q/W+3,

可令g(X)=0,/=兀T),

可得3戶一10/+3=0,

解得t—3或r=g,

當(dāng)/=；,即於)=/時，g(x)有三個零點;

當(dāng)t=3時，g(x)有一個零點，

綜上，g(x)共有四個零點.

7.(2020?全國I)若2"+log2a=#+210g2，則()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<tr

答案B

解析由指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)可得

2"+log2t/=4"+210gs=22,?+logzfe.

令/(X)=2x+log2X,則人幻在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又22h+\og2b<22h+log2/?+1=2勸+log22b,

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，2〃+log2a<22%+log226,即刎勺(2b),：.a<2b.

'X2+4X,XWO,

8.(2021?贛州模擬)已知函數(shù)/(x)=1et方程40一奴=0有4個不同的實數(shù)根,

《，x>0,

則a的取值范圍是()

答案A

解析因為方程/U)一分=0有4個不同的實數(shù)根,

所以函數(shù))，=/(x)的圖象與直線y=or有4個交點，

..eA,eA(x-1)

當(dāng)x>0時，f(x)=―7—

當(dāng)xG(0,l)時,f(x)<0,式x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x《(l,+8)時，f(X)>O,兀0單調(diào)遞增，且當(dāng)六*0+時，兀r)f+8,

則函數(shù)/(x)的圖象如圖，

當(dāng)xWO時，式x)=f+4x,

/(x)=2x+4,

所以y(x)在(0,0)處的切線人的斜率k尸f(0)=4；

當(dāng)x>0時，.加0=￡，f(x)=e(51),

(爐八

設(shè)火X)過原點的切線，2的切點為X,---,

IQxoJ

e^(x-l)x2

則/2的斜率"=/(%0)=0=0解得xo=2,依=疝e,

若要使函數(shù)產(chǎn)危)的圖象與直線尸辦有4個交點，數(shù)形結(jié)合可得。6住4).

二、多項選擇題

9.已知函數(shù)?￥)=e'-X—2,則下列區(qū)間中含/U)零點的是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

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答案AD

解析*/y（—2）=e2+2—2=e2>0,/（—1）—e^+1—2=e'—1<0,

y（0）=e°-0-2=-l<0,五1）=9-1-2=e-3<0,

X2）=e2-2-2=e2-4>0,

根據(jù)零點的存在性定理可知（一2,—1）和（1,2）存在零點.

10.（2021?濰坊模擬）已知2020"=2021,202僅=2020,c=ln2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.10goe<log〃cB.log4>logc/?

C.ac<bcD.c0<?

答案AD

解析2020"=2021,；.aG（l,2）,

2021*^2020,.?.6G（0,l）,

c=ln2,.*.cC（O,l）,

.*.lognc<0,log*c>0,A正確；

又y=log（x為減函數(shù)，且a>b,

.'.logciivlog力,/.B不正確;

y=/在（0,+8）上單調(diào)遞增，且

<f>bc,.IC不正確;

y=F在R上單調(diào)遞減，且〃>6,：.^<ch,；.D正確.

11.（2021?北京市豐臺區(qū)模擬）為了預(yù)防某種病毒，某商場需要通過噴灑藥物對內(nèi)部空間進行全

面消毒，出于對顧客身體健康的考慮，相關(guān)部門規(guī)定空氣中這種藥物的濃度不超過0.25毫克

/立方米時，顧客方可進入商場.已知從噴泗藥物開始，商場內(nèi)部的藥物濃度y（毫克/立方米）

’0.17,OWfWlO,

與時間/（分鐘）之間的函數(shù)關(guān)系為y=<（1（a為常數(shù)），函數(shù)圖象如圖所示.如

果商場規(guī)定10：00顧客可以進入商場，那么開始噴灑藥物的時間可以是（）

A.9：40B.9：30C.9：20D.9：10

答案BCD

解析根據(jù)函數(shù)的圖象，可得函數(shù)的圖象過點（10,1）,

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代入函數(shù)的解析式，可得解得。=1,

ro.iz,owtwio,

所以y=《(1^-1

IN

(1\io

令yW0.25,可得O.lfWO.25或W0.25,

解得0VW2.5或自30,

所以如果商場規(guī)定10：00顧客可以進入商場，那么開始噴灑藥物的時間最遲是9：30.

12.(2021?南京模擬)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，并是構(gòu)成一般不

動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾(L.EJ.Brouwer),簡單的講就是對于

滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)火x),存在一個點xo,使得兀嶗=如那么我們稱該函數(shù)為“不動點”

函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是()

A.y(jc)=2A+xB.g(x)=f—彳-3

c.於)=/+1D.危)=|年利一1

答案BCD

解析選項A,若人xo)=xo,則2&=0,該方程無解，故A中函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；

選項B,若g(xo)=xo,則看一lx。-3=0,解得％o=3或xo=-1,故B中函數(shù)是"不動點"

函數(shù)；

選項C,若/(xo)=xo,則腐+1=即，可得高一3沏+1=0,且必21,

解得X0=安6,故C中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；

選項D,若火加=孫則|k>g2Xo|—1=XO,即［k)g2Ml=冽+1,

作出y=|log2*與y=x+l的函數(shù)圖象，如圖，

由圖可知，方程|lOg2X|=x+l有實數(shù)根治，

即|10g2Xo|=w+l,

故D中函數(shù)是“不動點”函數(shù).

三、填空題

13.若函數(shù)段)滿足當(dāng)x>0時，危)=3久當(dāng)xvO時?，於)=%+1),則/(1。83號=.

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