2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷試題數(shù)：21，總分：1001.（單選題，3分）下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A.x-y+1=0B.y=-2x+1C.y=1D.x=22.（單選題，3分）已知{an}為等差數(shù)列，且a1=1，a3+a4+a5=15，則a7=（）A.12B.9C.6D.33.（單選題，3分）拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為（）A.16B.8C.4D.24.（單選題，3分）已知平面α，β的法向量分別為=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，則x+y=（）A.B.1C.-3D.-55.（單選題，3分）已知△ABC的三個頂點(diǎn)是A（-3，0），B（6，2），C（0，-6），則邊AC上的高所在的直線方程為（）A.x+2y-2=0B.x-2y-2=0C.x-2y-4=0D.2x+y-14=06.（單選題，3分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=7，an+1=an-4，n∈N*，則S1，S2，S3，S4中，最大的是（）A.S1B.S2C.S3D.S47.（單選題，3分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，B1C1上，||，，則=（）A.1B.C.2D.8.（單選題，3分）“a=2”是“圓（x-a）2+（y-b）2=4與y軸相切”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件9.（單選題，3分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線過拋物線C的焦點(diǎn)F，則點(diǎn)B與原點(diǎn)O間的距離的最小值為（）A.B.2C.D.310.（單選題，3分）均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象．在平面直角坐標(biāo)系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），若將曲線C縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為．同理，若將曲線C橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線C上點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為．若將單位圓x2+y2=1先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A.B.C.4x2+9y2=1D.9x2+4y2=111.（填空題，4分）若過點(diǎn)O（0，0）和M（1，3）的直線與直線ax-y-2=0平行，則a=___．12.（填空題，4分）寫出一個離心率e=2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程___，并寫出該雙曲線的漸近線方程___．13.（填空題，4分）已知數(shù)列{an}滿足，n∈N*，若，則a1=___．14.（填空題，4分）已知點(diǎn)M（-1，2，0），平面α過A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1）三點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面α的距離為___．15.（填空題，4分）1970年4月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點(diǎn)的橢圓．已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面的高度約為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面的高度約為2384km，且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為6371km，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為___km．16.（填空題，4分）如圖，在棱長都為1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，，，兩兩夾角均為，則=___；請選擇該平行六面體的三個頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個頂點(diǎn)的平面與直線AC1垂直．這三個頂點(diǎn)可以是___．17.（問答題，8分）已知圓C的方程為x2+y2-2x-2y-23=0．

（Ⅰ）求圓C的圓心及半徑；

（Ⅱ）是否存在直線l滿足：經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），且____？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：被圓C所截得的弦長最長；

條件②：被圓C所截得的弦長最短；

條件③：被圓C所截得的弦長為8．18.（問答題，9分）某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實驗，飛機(jī)模型在第一分鐘時間內(nèi)上升了10米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的75%．

（Ⅰ）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？

（Ⅱ）這個飛機(jī)模型上升的最大高度能超過50米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過50米；如果不能，請說明理由．19.（問答題，10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為PA，AB，BC的中點(diǎn)，平面EFGM∩棱PC=M．

（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）求平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值．20.（問答題，10分）已知橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)，且離心率．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)T（-3，m），過點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q，連接OT與PQ交于點(diǎn)H．

①若，求|PQ|；

②求的值．21.（問答題，9分）設(shè)等差數(shù)列{an}的各項均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得a1+a2+?+an=am，則稱這樣的數(shù)列{an}具有性質(zhì)P．

（Ⅰ）若數(shù)列{an}的通項公式為an=2n，數(shù)列{an}是否具有性質(zhì)P？并說明理由；

（Ⅱ）若a1=3，求出具有性質(zhì)P的數(shù)列{an}公差的所有可能值；

（Ⅲ）對于給定的a1，具有性質(zhì)P的數(shù)列{an}是有限個，還是可以無窮多個？（直接寫出結(jié)論）

2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析試題數(shù)：21，總分：1001.（單選題，3分）下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A.x-y+1=0B.y=-2x+1C.y=1D.x=2【正確答案】：A【解析】：根據(jù)斜率的正負(fù)判斷其傾斜角的范圍即可．

【解答】：解：對于A：k=1，是銳角，

對于B：k=-2，是鈍角，

對于C：k=0，是0°角，

對于D：k不存在，是直角，

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題考查了直線的傾斜角問題，是一道基礎(chǔ)題．2.（單選題，3分）已知{an}為等差數(shù)列，且a1=1，a3+a4+a5=15，則a7=（）A.12B.9C.6D.3【正確答案】：B【解析】：由已知先求a4，再由等差中項的概念求解a7．

【解答】：解：在等差數(shù)列{an}中，由a3+a4+a5=15，得3a4=15，即a4=5，

又a1=1，且a1+a7=2a4，

∴a7=2a4-a1=10-1=9．

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3.（單選題，3分）拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為（）A.16B.8C.4D.2【正確答案】：C【解析】：直接利用拋物線的性質(zhì)，求解即可．

【解答】：解：拋物線y2=-8x，可得p=4，

拋物線y2=-8x的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為：4．

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．4.（單選題，3分）已知平面α，β的法向量分別為=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，則x+y=（）A.B.1C.-3D.-5【正確答案】：D【解析】：由α||β，得，列出方程組，能求出結(jié)果．

【解答】：解：∵平面α，β的法向量分別為=（x，1，-1），=（6，y，3），且α||β，

∴，

∴，

解得x=-2，y=-3，

∴x+y=-5．

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查面面平行的運(yùn)算，考查面面平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.（單選題，3分）已知△ABC的三個頂點(diǎn)是A（-3，0），B（6，2），C（0，-6），則邊AC上的高所在的直線方程為（）A.x+2y-2=0B.x-2y-2=0C.x-2y-4=0D.2x+y-14=0【正確答案】：B【解析】：先求出直線AC的斜率，再根據(jù)兩直線垂直時斜率相乘等于-1求出邊AC上的高所在的直線斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求出結(jié)果．

【解答】：解：∵A（-3，0），C（0，-6），

∴直線AC的斜率為=-2，

∴邊AC上的高所在的直線斜率為，

又∵B（6，2），

∴邊AC上的高所在的直線方程為y-2=（x-6），即x-2y-2=0，

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題主要考查了直線的一般方程，考查了兩直線垂直時的斜率關(guān)系，是基礎(chǔ)題．6.（單選題，3分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2=7，an+1=an-4，n∈N*，則S1，S2，S3，S4中，最大的是（）A.S1B.S2C.S3D.S4【正確答案】：C【解析】：根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差d=-4，就可求出結(jié)果．

【解答】：解：∵an+1=an-4，

∴an+1-an=-4，故數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差d=-4，

∴a3=3，a4=-1＜0，

∴S3最大．

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7.（單選題，3分）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=4，AA1=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱BB1，B1C1上，||，，則=（）A.1B.C.2D.【正確答案】：D【解析】：直接利用向量的共線和向量的模的應(yīng)用求出結(jié)果．

【解答】：解：根據(jù)題意，如圖所示：

連接AD1和BC1，

根據(jù)，||，

所以點(diǎn)F為B1C1的三等分點(diǎn)；

故=，

故選：D．

【點(diǎn)評】：本題考查的知識要點(diǎn)：平線性的性質(zhì)，向量的共線，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8.（單選題，3分）“a=2”是“圓（x-a）2+（y-b）2=4與y軸相切”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【正確答案】：A【解析】：圓（x-a）2+（y-b）2=4與y軸相切，則a=±2，即可判斷．

【解答】：解：圓（x-a）2+（y-b）2=4與y軸相切，

則a=±2，

故“a=2”是“圓（x-a）2+（y-b）2=4與y軸相切”的充分不必要條件．

故選：A．

【點(diǎn)評】：本題主要考查圓與直線相切的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．9.（單選題，3分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，2），點(diǎn)B為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線過拋物線C的焦點(diǎn)F，則點(diǎn)B與原點(diǎn)O間的距離的最小值為（）A.B.2C.D.3【正確答案】：B【解析】：求出B的軌跡方程，利用B的軌跡，判斷點(diǎn)B與原點(diǎn)O間的距離的最小值即可．

【解答】：解：拋物線C：y2=2px（p＞0）過點(diǎn)A（2，2），

可得4=4P，解得p=1，拋物線方程y2=2x，F(xiàn)（，0），

點(diǎn)B為平面直角坐標(biāo)系平面內(nèi)一點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線過拋物線C的焦點(diǎn)F，

可知|AF|=|BF|==．

可知B的軌跡是以F為圓心，以為半徑的圓，

當(dāng)BOF在一條直線上時，點(diǎn)B與原點(diǎn)O間的距離取得最小值：=2．

故選：B．

【點(diǎn)評】：本題考查軌跡方程的判斷，拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．10.（單選題，3分）均勻壓縮是物理學(xué)一種常見現(xiàn)象．在平面直角坐標(biāo)系中曲線的均勻壓縮，可用曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)來描述．設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），若將曲線C縱向均勻壓縮至原來的一半，則點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為．同理，若將曲線C橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線C上點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為．若將單位圓x2+y2=1先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A.B.C.4x2+9y2=1D.9x2+4y2=1【正確答案】：C【解析】：設(shè)曲線x2+y2=1上的點(diǎn)為（x，y），對應(yīng)壓縮后點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），則，進(jìn)而可得（2x′）2+（3y′）2=1，化簡即可得出答案．

【解答】：解：設(shè)曲線x2+y2=1上的點(diǎn)為（x，y），對應(yīng)壓縮后點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），

所以，則，

所以（2x′）2+（3y′）2=1，

所以4x′2+9y′2=1，

所以得到的曲線的方程為4x2+9y2=1．

故選：C．

【點(diǎn)評】：本題考查曲線的方程，解題中需要理清思路，屬于中檔題．11.（填空題，4分）若過點(diǎn)O（0，0）和M（1，3）的直線與直線ax-y-2=0平行，則a=___．【正確答案】：[1]3【解析】：利用直線與直線平行的性質(zhì)、斜率公式直接求解．

【解答】：解：過點(diǎn)O（0，0）和M（1，3）的直線與直線ax-y-2=0平行，

∴，

則a=3．

故答案為：3．

【點(diǎn)評】：本題考查直線的斜率的求法，考查直線與直線平行的性質(zhì)、斜率公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12.（填空題，4分）寫出一個離心率e=2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程___，并寫出該雙曲線的漸近線方程___．【正確答案】：[1]x2-=1（答案不唯一）;[2]y=x【解析】：利用離心率，推出a，b關(guān)系，然后寫出有關(guān)雙曲線方程，然后寫出漸近線方程．

【解答】：解：離心率e=2且焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，可知=2，所以==，

不妨取a=1，則b=，

所以滿足條件的雙曲線方程可以為：x2-=1，

漸近線方程為：y=x，

故答案為：x2-=1（答案不唯一）；y=x．

【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，漸近線方程的求法，是中檔題．13.（填空題，4分）已知數(shù)列{an}滿足，n∈N*，若，則a1=___．【正確答案】：[1]【解析】：利用數(shù)列的遞推關(guān)系式逐步求解即可得到數(shù)列的首項．

【解答】：解：數(shù)列{an}滿足，n∈N*，若，

=，可得a2=，

=，a1=．

故答案為：．

【點(diǎn)評】：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列項的求法，是基礎(chǔ)題．14.（填空題，4分）已知點(diǎn)M（-1，2，0），平面α過A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1）三點(diǎn)，則點(diǎn)M到平面α的距離為___．【正確答案】：[1]【解析】：先求得平面ABC的一個法向量，然后由求解．

【解答】：解：因為M（-1，2，0），A（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，1），

所以，

設(shè)平面ABC的一個法向量為，

則，即，

令x=1，則，

所以則點(diǎn)M到平面α的距離為，

故答案為：．

【點(diǎn)評】：本題主要考查點(diǎn)面距離的計算，屬于基礎(chǔ)題．15.（填空題，4分）1970年4月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點(diǎn)的橢圓．已知衛(wèi)星的近地點(diǎn)（離地面最近的點(diǎn)）距地面的高度約為439km，遠(yuǎn)地點(diǎn)（離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）距地面的高度約為2384km，且地心、近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)三點(diǎn)在同一直線上，地球半徑約為6371km，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為___km．【正確答案】：[1]15565【解析】：由題意這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道為橢圓，可得橢圓上任意兩點(diǎn)的最大距離為長軸長，由題意可得a+c，a-c的值，求出2a的值．

【解答】：解：這顆衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點(diǎn)的橢圓，則衛(wèi)星運(yùn)行軌道是上任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為2a，

由題意可得a+c=2384+6371，a-c=439+6371，所以可得2a=15565，

故答案為：15565．

【點(diǎn)評】：本題考查橢圓的定義的應(yīng)用及橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.（填空題，4分）如圖，在棱長都為1的平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，，，兩兩夾角均為，則=___；請選擇該平行六面體的三個頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個頂點(diǎn)的平面與直線AC1垂直．這三個頂點(diǎn)可以是___．【正確答案】：[1]0;[2]A1，B，D和D1，B1，C【解析】：根據(jù)向量數(shù)量積的定義及其運(yùn)算性質(zhì)計算即可．

【解答】：解：=（++）?（-）=（+）?（-）+?（-）=+?-?=1-1+1?1?cos-1?1?cos=0，

所以AC1⊥BD，同理AC1⊥A1B，

因為BD∩A1B=B，所以AC1⊥平面A1BD，

同理AC1⊥平面D1B1C，

所以選擇該平行六面體的三個頂點(diǎn)，使得經(jīng)過這三個頂點(diǎn)的平面與直線AC1垂直．這三個頂點(diǎn)可以是A1，B，D和D1，B1，C，

故答案為：0；A1，B，D和D1，B1，C．

【點(diǎn)評】：本題考查了空間向量數(shù)量積的運(yùn)算及其運(yùn)算，屬于中檔題．17.（問答題，8分）已知圓C的方程為x2+y2-2x-2y-23=0．

（Ⅰ）求圓C的圓心及半徑；

（Ⅱ）是否存在直線l滿足：經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），且____？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由．

從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：

條件①：被圓C所截得的弦長最長；

條件②：被圓C所截得的弦長最短；

條件③：被圓C所截得的弦長為8．【正確答案】：

【解析】：（I）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓C的圓心坐標(biāo)和半徑可求；

（II）選條件①，直線l過圓心C（1，1），可求直線l的方程；條件②，最短弦為過A且與直徑垂直的直線與圓相交的弦，故kl?kAC=-1，可求直線方程；選條件③，先求得過A的最短弦長，可得不存在這樣的直線l．

【解答】：解：（I）圓C的方程x2+y2-2x-2y-23=0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+（y-1）2=25，

則圓C的圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=5；

（II）因為（2-1）2+（-1-1）2=5＜25，

所以點(diǎn)A（2，-1）在圓C內(nèi)，

選條件①，所以直線l過圓心C（1，1），所以kAC==-2，所以直線的方程為y-1=-2（x-1），即2x+y-3=0．

選條件②，最短弦為過A且與直徑垂直的直線與圓相交的弦，

故kl?kAC=-1，所以kl=，所以直線l的方程為y+1=（x-2），即x-2y-4=0．

選條件③，|A|C|==，可得最短弦長為2=4＞8，

故不存在直線l滿足：經(jīng)過點(diǎn)A（2，-1），且被圓C所截得的弦長為8的直線．

【點(diǎn)評】：本題考查圓的方程的性質(zhì)，以及考查直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．18.（問答題，9分）某學(xué)校一航模小組進(jìn)行飛機(jī)模型飛行高度實驗，飛機(jī)模型在第一分鐘時間內(nèi)上升了10米高度．若通過動力控制系統(tǒng)，可使飛機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的75%．

（Ⅰ）在此動力控制系統(tǒng)下，該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是多少米？

（Ⅱ）這個飛機(jī)模型上升的最大高度能超過50米嗎？如果能，求出從第幾分鐘開始高度超過50米；如果不能，請說明理由．【正確答案】：

【解析】：（I）根據(jù)已知條件，即可直接求得該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是10×75%×75%=5.625．

（II）根據(jù)已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式，即可求解．

【解答】：解：（I）∵飛機(jī)模型在第一分鐘時間內(nèi)上升了10米高度，且機(jī)模型在以后的每一分鐘上升的高度都是它在前一分鐘上升高度的75%，

∴該飛機(jī)模型在第三分鐘內(nèi)上升的高度是10×75%×75%=5.625米．

（II）不能超過，

由題意可得，飛機(jī)模型每分鐘上升的高度構(gòu)成a1=10，q=0.75的等比數(shù)列，

則Sn==＜40×1=40，

故這個飛機(jī)模型上升的最大高度不能超過50米．

【點(diǎn)評】：本題主要考查函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握等比數(shù)列的前n項和公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19.（問答題，10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為PA，AB，BC的中點(diǎn)，平面EFGM∩棱PC=M．

（Ⅰ）試確定的值，并證明你的結(jié)論；

（Ⅱ）求平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值．【正確答案】：

【解析】：（I），利用線面平行的判定和性質(zhì)可得答案；

（II）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面EFGM的法向量和平

面PAD的法向量由向量夾角公式可得答案．

【解答】：證明：（I）．

證明如下：

在△APB中，因為點(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，

所以EF||PB．

又EF?平面PBC，PB?平面PBC，

所以EF||平面PBC．

因為EF?平面EFG，平面EFG∩平面PBC=GM，

所以EF||GM．

所以PB||GM．

在△PBC中，因為點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，即．

解：（II）因為底面ABCD為正方形，所以AD⊥CD．

因為PD⊥底面ABCD，

所以PD⊥AD，PD⊥CD．

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），

因為E，F(xiàn)，G分別為PA，AB，BC的中點(diǎn)，

所以E（1，0，1），F(xiàn)（2，1，0），G（1，2，0）．

所以．

設(shè)平面EFGM的法向量，則

即

令x=1，y=1，z=2，于是=（1，1，2）．

又因為平面PAD的法向量為=（0，1，0），

所以．

所以平面EFGM與平面PAD夾角的余弦值為．

【點(diǎn)評】：本題考查利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．20.（問答題，10分）已知橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)，且離心率．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，點(diǎn)T（-3，m），過點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q，連接OT與PQ交于點(diǎn)H．

①若，求|PQ|；

②求的值．【正確答案】：

【解析】：（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于a，b，c的方程組，解方程可得a，b的值，從而求得橢圓方程；

（Ⅱ）①聯(lián)立直線PQ的方程與橢圓的方程，解得P，Q坐標(biāo)可得|PQ|；

②依題意顯然斜率存在，kTF=-m，分m=0和m≠0兩種情況分別求解即可．

【解答】：解：（I）由題意得

解得a2=6，b2=2．

所以橢圓C的方程為．

（II）①當(dāng)時，直線TF的斜