2019版數(shù)學（文）高分計劃一輪高分講義：第9章統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 9.3　變量間的相關關系與統(tǒng)計案例

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精9。3變量間的相關關系與統(tǒng)計案例［知識梳理]1．相關關系與回歸方程(1)相關關系的分類①正相關：從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內,如圖1;②負相關：從散點圖上看，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內，如圖2.（2）線性相關關系：從散點圖上看,如果這些點從整體上看大致分布在一條直線附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(3）回歸方程①最小二乘法:使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回歸方程：兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1），（x2，y2)，…，(xn,yn），其回歸方程為eq\o(y，\s\up14(^)）＝eq\o(b，\s\up14(^)）x＋eq\o(a,\s\up14(^）），則eq\o(b，\s\up14（^））＝eq\f（\i\su（i＝1，n,）xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)，\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to（x）2)＝eq\f(\i\su（i＝1，n，x）iyi－n\x\to(x）\x\to(y)，\i\su(i＝1，n，x）\o\al(2，i)－n\x\to（x）2),eq\o（a,\s\up14(^）)＝eq\x\to(y）－eq\o(b,\s\up14（^)）eq\x\to(x）.其中,eq\o(b，\s\up14(^)）是回歸方程的斜率，eq\o（a,\s\up14（^）)是在y軸上的截距，eq\o(x，\s\up14（－)）＝eq\f(1,n)eq\o（∑，\s\up14(n）,\s\do10(i＝1))xi，eq\o(y，\s\up14(－））＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up14（n),\s\do10(i＝1）)yi，（eq\o（x，\s\up14（－)），eq\o（y，\s\up14（－）））稱為樣本點的中心．說明：回歸直線eq\o(y,\s\up14(^））＝eq\o（b,\s\up14(^))x＋eq\o（a,\s\up14(^））必過樣本點的中心(eq\o（x,\s\up14(－）），eq\o（y,\s\up14（－))）,這個結論既是檢驗所求回歸直線方程是否準確的依據(jù)，也是求參數(shù)的一個依據(jù)．(4)樣本相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1，n，)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y)，\r(\i\su(i＝1，n，）xi－\x\to（x)2\i\su(i＝1，n,)yi－\x\to(y)2）)，用它來衡量兩個變量間的線性相關關系．①當r>0時，表明兩個變量正相關；②當r〈0時，表明兩個變量負相關；③r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近于0,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常當|r｜〉0。75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系．2．獨立性檢驗(1)分類變量:變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：列出兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為｛x1，x2｝和{y1,y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表）為2×2列聯(lián)表y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d構造一個隨機變量K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d),其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．（3)獨立性檢驗利用隨機變量K2來判斷“兩個分類變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．［診斷自測]1．概念思辨(1）利用散點圖可以直觀判斷兩個變量的關系是否可以用線性關系表示．()（2）通過回歸方程eq\o（y，\s\up14(^）)＝eq\o（b,\s\up14(^）)x＋eq\o(a，\s\up14(^))可以估計和觀測變量的取值和變化趨勢．（)(3）事件X,Y關系越密切，則由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值越大．（)（4)由獨立性檢驗可知,有99％的把握認為物理成績優(yōu)秀與數(shù)學成績有關，某人數(shù)學成績優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀．()答案（1）√(2)√（3）√（4）×2．教材衍化(1）（必修A3P94A組T3)某種產品的廣告費用支出x(單位:萬元）與銷售額y（單位：萬元）x24568y3040605070由最小二乘法得到線性回歸直線方程eq\o（y,\s\up14(^））＝eq\o（b,\s\up14(^))x＋eq\o(a，\s\up14(^))，則此直線一定經(jīng)過點（）A．（5,60）B．（5,50）C．(6,50）D．（8,70）答案B解析回歸直線樣本點的中心為（eq\o（x，\s\up14（－))，eq\o（y,\s\up14（－)))，而eq\o（x,\s\up14(－））＝eq\f(1,5）×(2＋4＋5＋6＋8)＝5,eq\o（y，\s\up14（－)）＝eq\f(1,5）×（30＋40＋60＋50＋70）＝50，所以回歸直線一定經(jīng)過點(5,50)．故選B。(2）(選修A1－2P96T2)通過隨機詢問72名不同性別的大學生在購買食物時是否看生產日期，得到如下列聯(lián)表：女男總計讀生產日期162844不讀生產日期20828總計363672則有________的把握認為性別與是否讀生產日期有關．答案99。5%解析由表中數(shù)據(jù)得k＝eq\f（72×16×8－20×282,36×36×44×28)≈8。416〉7。879，所以可知有99.5％的把握認為性別與是否讀生產日期有關．3．小題熱身（1）設回歸方程為eq\o（y,\s\up14(^))＝3－5x，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加3個單位B．y平均減少5個單位C．y平均增加5個單位D．y平均減少3個單位答案B解析因為－5是斜率的估計值，說明x每增加一個單位，y平均減少5個單位．故選B。（2)（2018·西安模擬）某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸方程eq\o（y,\s\up14（^）)＝0。67x＋54.9。零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y（min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________．答案68解析由eq\o（x，\s\up14（－）)＝30，得eq\o（y,\s\up14(－)）＝0.67×30＋54.9＝75.設表中的“模糊數(shù)字”為a，則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68。題型1相關關系的判斷eq\o（\s\up7(）,\s\do5(典例1）)對變量x，y有觀測數(shù)據(jù)（xi,yi)（i＝1,2，…,10），得散點圖①；對變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi）(i＝1,2，…，10），得散點圖②，由這兩個散點圖可以判斷()A．變量x與y正相關，u與v正相關B．變量x與y正相關，u與v負相關C．變量x與y負相關,u與v正相關D．變量x與y負相關，u與v負相關散點分布向右上升為正相關，反之為負相關．答案C解析題圖①的散點分布在斜率小于0的直線附近，y隨x的增大而減小，故變量x與y負相關；題圖②的散點分布在斜率大于0的直線附近，u隨v的增大而增大，故變量u與v正相關，故選C。eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量的線性相關性做試驗,并用回歸分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780。690。85m106115124103則哪位同學的試驗結果體現(xiàn)A，B兩變量有更強的線性相關性()A．甲B．乙C．丙D．丁考查r的取值與1的關系．答案D解析在驗證兩個變量之間的線性相關關系時，相關系數(shù)的絕對值越接近1，相關性越強，在四個選項中只有丁的相關系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關性越強,只有丁的殘差平方和最小,綜上可知丁的試驗結果體現(xiàn)了A，B兩個變量有更強的線性相關性，故選D.方法技巧判定兩個變量正、負相關性的方法1．畫散點圖：點的分布從左下角到右上角，兩個變量正相關；點的分布從左上角到右下角，兩個變量負相關．見典例1。2．相關系數(shù):r>0時，正相關；r〈0時,負相關．3．線性回歸直線方程中：eq\o(b,\s\up14（^））>0時，正相關;eq\o（b,\s\up14(^））<0時，負相關．沖關針對訓練下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數(shù)據(jù)(單位：千克/畝）:施化肥量15202530354045水稻產量320330360410460470480（1)將上述數(shù)據(jù)制成散點圖；（2）你能從散點圖中發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增長嗎?解（1)散點圖如下:（2)從圖中可以發(fā)現(xiàn)施化肥量與水稻產量具有線性相關關系，當施化肥量由小到大變化時,水稻產量由小變大，圖中的數(shù)據(jù)點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系,但水稻產量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增長。題型2線性回歸分析角度1線性回歸方程及應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2014·全國卷Ⅱ)某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表:（1）求y關于t的線性回歸方程;（2)利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o（b,\s\up14（^））＝eq\f（\i\su(i＝1，n,)ti－\x\to（t）yi－\x\to(y)，\i\su(i＝1,n，)ti－\x\to(t）2)，eq\o（a，\s\up14(^)）＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up14(^))eq\x\to(t）.收集相關數(shù)據(jù)，代入公式．解（1)由所給數(shù)據(jù)計算得eq\x\to（t)＝eq\f(1，7）×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，eq\x\to（y)＝eq\f（1，7)×(2。9＋3.3＋3.6＋4.4＋4。8＋5。2＋5。9）＝4。3，eq\i\su（i＝1,7,)（ti－eq\x\to(t)）2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，eq\i\su（i＝1，7，)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to（y）)＝（－3)×(－1.4)＋(－2)×（－1)＋(－1）×(－0。7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0。9＋3×1.6＝14，eq\o(b,\s\up14（^)）＝eq\f（\i\su(i＝1，7，)ti－\x\to（t)yi－\x\to（y）,\i\su（i＝1,7,）ti－\x\to（t）2)＝eq\f（14，28）＝0。5，eq\o（a,\s\up14(^))＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up14（^))eq\x\to(t）＝4。3－0。5×4＝2.3,所求回歸方程為eq\o（y,\s\up14（^)）＝0。5t＋2.3。（2)由（1)知，eq\o(b,\s\up14(^))＝0。5>0，故2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．將2015年的年份代號t＝9代入（1）中的回歸方程，得eq\o（y，\s\up14（^）)＝0.5×9＋2.3＝6。8，故預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入為6。8千元．角度2非線性回歸模型的應用eq\o(\s\up7（)，\s\do5(典例))（2015·全國卷Ⅰ）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t)和年利潤z(單位：千元）的影響．對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i＝1，2，…,8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．表中wi＝eq\r（xi)，eq\x\to（w）＝eq\f（1，8)eq\o（∑，\s\up14(8），\s\do10（i＝1））wi.（1）根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r（x)哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由)(2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（3）已知這種產品的年利潤z與x,y的關系為z＝0。2y－x.根據(jù)（2）的結果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)（u1,v1），（u2，v2)，…，（un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up14（^））＝eq\f(\o（∑,\s\up14(n）,\s\do10（i＝1））ui－\x\to(u)vi－\x\to（v),\o(∑，\s\up14(n)，\s\do10(i＝1）)ui－\x\to（u)2)，eq\o（α,\s\up14(^))＝eq\x\to(v）－eq\o(β，\s\up14（^))eq\x\to(u)。(1）散點圖趨勢是曲線，推斷y＝c＋deq\r(x）適宜;（2）將非線性回歸方程y＝c＋deq\r(x)用換元法w＝eq\r（x）轉化為線性回歸方程y＝c＋dw，進而求解．解(1）由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x）適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型．（2)令w＝eq\r（x)，先建立y關于w的線性回歸方程．由于eq\o(d,\s\up14(^))＝eq\f(\o（∑,\s\up14（8),\s\do10（i＝1)）wi－\x\to（w)yi－\x\to（y)，\o(∑，\s\up14（8)，\s\do10(i＝1))wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8，1。6)＝68，eq\o（c，\s\up14(^））＝eq\x\to(y）－eq\o(d，\s\up14（^））eq\x\to（w)＝563－68×6。8＝100。6,所以y關于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up14（^))＝100。6＋68w,因此y關于x的回歸方程為eq\o（y，\s\up14(^）)＝100。6＋68eq\r(x）。(3)①由（2)知，當x＝49時,年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up14(^))＝100。6＋68eq\r（49)＝576。6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up14(^）)＝576.6×0.2－49＝66。32。②根據(jù)（2）的結果知,年利潤z的預報值eq\o（z,\s\up14（^)）＝0。2（100。6＋68eq\r（x)）－x＝－x＋13。6eq\r(x）＋20.12.所以當eq\r（x）＝eq\f(13.6，2）＝6.8,即x＝46。24時,eq\o（z,\s\up14（^)）取得最大值．故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．方法技巧1．利用線性回歸方程時的關注點(1)正確理解計算eq\o(b，\s\up14(^）),eq\o（a，\s\up14（^))的公式和準確的計算是求線性回歸方程的關鍵．（2)回歸直線方程eq\o(y,\s\up14（^))＝eq\o(b，\s\up14(^))x＋eq\o（a，\s\up14(^))必過樣本點中心（eq\o(x，\s\up14（－)），eq\o(y,\s\up14（－)）)．（3)在分析兩個變量的相關關系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回歸方程來估計和預測．見角度1典例．2．非線性回歸方程的求法(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)（x,y）作出散點圖．（2)根據(jù)散點圖選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)．(3）作恰當?shù)淖儞Q,將其轉化成線性函數(shù),求線性回歸方程．(4)在（3）的基礎上通過相應變換，即可得非線性回歸方程．見角度2典例．沖關針對訓練（2016·全國卷Ⅲ）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸)的折線圖．（1）由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數(shù)加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數(shù)精確到0。01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．附注:參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑，\s\up14(7）,\s\do10(i＝1))yi＝9。32，eq\o(∑,\s\up14（7），\s\do10（i＝1）)tiyi＝40.17,eq\r(\o(∑,\s\up14(7）,\s\do10(i＝1））yi－\x\to（y）2)＝0.55，eq\r(7）≈2.646。參考公式：相關系數(shù)r＝eq\f（\o（∑，\s\up14（n)，\s\do10（i＝1)）ti－\x\to(t）yi－\x\to（y）,\r（\o(∑,\s\up14(n），\s\do10（i＝1）)ti－\x\to（t）2\o（∑，\s\up14（n),\s\do10(i＝1））yi－\x\to(y)2)），回歸方程eq\o(y,\s\up14（^）)＝eq\o（a,\s\up14（^))＋eq\o(b，\s\up14（^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up14（^))＝eq\f(\o（∑，\s\up14（n）,\s\do10(i＝1）)ti－\x\to（t)yi－\x\to（y）,\o(∑,\s\up14（n）,\s\do10(i＝1）)ti－\x\to（t)2），eq\o(a，\s\up14（^）)＝eq\x\to（y)－eq\o(b,\s\up14（^))eq\x\to（t）.解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\x\to（t)＝4，eq\o（∑,\s\up14（7),\s\do10(i＝1))(ti－eq\x\to（t))2＝28,eq\r(\o（∑，\s\up14(7），\s\do10(i＝1））yi－\x\to（y）2）＝0。55，eq\o（∑，\s\up14（7)，\s\do10(i＝1）)(ti－eq\x\to（t)）(yi－eq\x\to(y）)＝eq\o（∑，\s\up14(7）,\s\do10(i＝1））tiyi－eq\x\to（t)eq\o（∑，\s\up14(7)，\s\do10(i＝1))yi＝40.17－4×9.32＝2。89,r≈eq\f(2。89，0.55×2×2.646)≈0。99。因為y與t的相關系數(shù)近似為0。99，說明y與t的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系．(2）由eq\x\to(y)＝eq\f（9。32,7）≈1。331及（1）得eq\o（b，\s\up14（^）)＝eq\f(\o（∑,\s\up14（7)，\s\do10(i＝1)）ti－\x\to（t）yi－\x\to（y),\o（∑,\s\up14(7）,\s\do10(i＝1））ti－\x\to（t）2)＝eq\f（2.89，28）≈0。103,eq\o(a，\s\up14（^）)＝eq\x\to(y)－eq\o(b，\s\up14（^））eq\x\to(t）≈1.331－0。103×4≈0。92.所以，y關于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up14(^))＝0.92＋0。10t。將2016年對應的t＝9代入回歸方程得eq\o（y,\s\up14(^))＝0。92＋0。10×9＝1.82。所以預測2016年我國生活垃圾無害化處理量約為1。82億噸．題型3獨立性檢驗eq\o（\s\up7（），\s\do5(典例))（2018·廣州測試)某企業(yè)生產的某種產品被檢測出其中一項質量指標存在問題．該企業(yè)為了檢查生產該產品的甲、乙兩條流水線的生產情況，隨機從這兩條流水線上生產的大量產品中各抽取50件產品作為樣本，測出它們的這一項質量指標值．若該項質量指標值落在(195，210]內，則為合格品，否則為不合格品．下表是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表,下圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)上圖，估計乙流水線產品的該項質量指標值的中位數(shù)；(2)若將頻率視為概率,某個月內甲、乙兩條流水線均生產了5000件產品，則甲、乙兩條流水線分別生產出不合格品約多少件?(3)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,并回答能否有85％的把握認為“該企業(yè)生產的這種產品的該項質量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關”？附：K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)（其中n＝a＋b＋c＋d)．解（1)設乙流水線產品的該項質量指標值的中位數(shù)為x,因為0。48＝(0。012＋0。032＋0.052）×5<0。5〈(0。012＋0。032＋0.052＋0.076）×5＝0.86，所以（0.012＋0.032＋0。052)×5＋0。076×(x－205)＝0.5，解得x＝eq\f（3900,19).(2）由甲、乙兩條流水線各抽取50件產品可得,甲流水線生產的不合格品有15件，則甲流水線生產的產品為不合格品的概率為eq\f（15,50）＝eq\f(3,10)，乙流水線生產的產品為不合格品的概率為(0。012＋0。028)×5＝eq\f(1,5).所以某個月內甲、乙兩條流水線均生產了5000件產品，則甲、乙兩條流水線生產的不合格品件數(shù)分別為5000×eq\f（3，10）＝1500,5000×eq\f(1，5)＝1000。(3）2×2列聯(lián)表：甲流水線乙流水線合計合格品354075不合格品151025合計5050100則K2＝eq\f（100×350－6002,50×50×75×25)＝eq\f(4，3)≈1。3，因為1。3<2。072，所以沒有85%的把握認為“該企業(yè)生產的這種產品的該項質量指標值與甲、乙兩條流水線的選擇有關"．方法技巧獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表;(2）計算隨機變量K2的觀測值k，查表確定臨界值k0；(3）如果k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P（K2≥k0)；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關系”．見典例．沖關針對訓練（2017·洛陽模擬)某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．(說明:圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．）(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表．主食蔬菜主食肉類總計50歲以下50歲以上總計（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關？并寫出簡要分析．(3）能否說有99%的親屬的飲食習慣與年齡有關？附:K2＝eq\f（nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0）0.0500.0100。001k03.8416.63510。828解（1）2×2列聯(lián)表如下：主食蔬菜主食肉類總計50歲以下481250歲以上16218總計201030（2)因為K2的觀測值k＝eq\f(30×8－1282，12×18×20×10)＝10〉6。635,所以能在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關．（3)這種說法不正確．能在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關，是這個論斷成立的可能性大小的結論，與是否有“99％的親屬的飲食習慣與年齡有關”無關．1．(2017·山東高考）為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位:厘米）的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為eq\o（y，\s\up14（^））＝eq\o（b,\s\up14(^））x＋eq\o(a，\s\up14(^))。已知eq\i\su(i＝1，10,x）i＝225，eq\i\su(i＝1,10，y)i＝1600，eq\o(b,\s\up14(^））＝4.該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A．160B．163C．166D．170答案C解析∵eq\i\su(i＝1,10，x）i＝225,∴eq\x\to（x）＝eq\f（1,10)eq\i\su（i＝1,10，x）i＝22。5?！遝q\i\su(i＝1，10，y）i＝1600，∴eq\x\to(y)＝eq\f(1,10）eq\i\su(i＝1，10,y）i＝160.又eq\o(b,\s\up14(^））＝4，∴eq\o（a，\s\up14(^）)＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up14(^）)eq\x\to（x）＝160－4×22.5＝70.∴回歸直線方程為eq\o（y，\s\up14(^）)＝4x＋70。將x＝24代入上式得eq\o（y，\s\up14(^）)＝4×24＋70＝166.故選C.2．（2015·福建高考)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x（萬元）8.28。610.011。311.9支出y（萬元）6。27.58。08。59。8根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y，\s\up14（^))＝eq\o（b,\s\up14(^））x＋eq\o（a,\s\up14（^）)，其中eq\o（b，\s\up14（^))＝0.76，eq\o（a，\s\up14（^））＝eq\x\to（y）－eq\o（b,\s\up14（^))eq\x\to(x）。據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()A．11。4萬元B．11。8萬元C．12。0萬元D．12。2萬元答案B解析由統(tǒng)計數(shù)據(jù)表可得eq\o(x，\s\up14（－）)＝eq\f（8.2＋8.6＋10.0＋11。3＋11.9，5)＝10。0，eq\o（y,\s\up14（－))＝eq\f（6。2＋7.5＋8。0＋8。5＋9.8，5)＝8.0,則eq\o（a,\s\up14(^)）＝8.0－0.76×10.0＝0.4，所以回歸直線方程為eq\o(y，\s\up14(^）)＝0。76x＋0。4，當x＝15時，eq\o（y,\s\up14（^)）＝0。76×15＋0。4＝11。8,故估計年收入為15萬元家庭的年支出為11。8萬元．故選B.3．(2018·江西南城一中、高安中學聯(lián)考)隨著國家二孩政策的全面放開,為了調查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿，某機構用簡單隨機抽樣方法從不同地區(qū)調查了100位育齡婦女，結果如下表．非一線城市一線城市總計愿生452065不愿生132235總計5842100由K2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）,得K2＝eq\f（100×45×22－20×132,65×35×58×42)≈9。616.參照下表，P（K2≥k0）0。0500.0100.001k03。8416。63510。828正確的結論是(）A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“生育意愿與城市級別有關”B．在犯錯誤的概率不超過0。1％的前提下，認為“生育意愿與城市級別無關”C．有99％以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關”D．有99％以上的把握認為“生育意愿與城市級別無關”答案C解析K2≈9.616＞6.635，∴有99％以上的把握認為“生育意愿與城市級別有關"，故選C.4．(2018·廣東廣州檢測）某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系,隨機抽查了52名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表1至表4,則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是（）A．成績B．視力C．智商D．閱讀量答案D解析K2＝eq\f（52×6×22－10×142,16×36×20×32）,令eq\f(52，16×36×20×32)＝m，則Keq\o\al(2，1）＝82m,同理，Keq\o\al（2,2)＝m×（4×20－12×16）2＝1122m，Keq\o\al（2，3)＝m×(8×24－8×12）2＝962m,Keq\o\al(2,4）＝m×（14×30－6×2)2＝4082m,∴Keq\o\al(2,4）＞Keq\o\al（2,2)＞Keq\o\al(2,3)＞Keq\o\al(2,1)，則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量,故選D.［重點保分兩級優(yōu)選練］A級一、選擇題1．四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關關系,并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論:①y與x負相關且eq\o(y，\s\up14（^）)＝2。347x－6。423;②y與x負相關且eq\o（y,\s\up14(^））＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關且eq\o(y,\s\up14（^))＝5。437x＋8。493;④y與x正相關且eq\o（y,\s\up14（^））＝－4.326x－4。578.其中一定不正確的結論的序號是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案D解析由回歸直線方程eq\o（y,\s\up14（^））＝eq\o(b，\s\up14（^))x＋eq\o（a，\s\up14（^))，知當eq\o(b，\s\up14（^））〉0時，y與x正相關；當eq\o(b，\s\up14(^))<0時，y與x負相關．∴①④一定錯誤．故選D.2．對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是(）A．r2<r4〈0〈r3<r1B．r4<r2〈0<r1〈r3C．r4<r2<0<r3<r1D．r2<r4<0〈r1<r3答案A解析易知題中圖（1）與圖（3）是正相關,圖(2)與圖（4)是負相關,且圖(1)與圖（2)中的樣本點集中分布在一條直線附近，則r2<r4〈0<r3<r1。故選A。3．（2018·遼寧沈陽二中一模)某考察團對全國10大城市居民人均工資水平x（千元）與居民人均消費水平y(tǒng)（千元)進行統(tǒng)計調查，y與x具有相關關系，回歸方程為eq\o(y,\s\up14（^））＝0。66x＋1。562，若某城市居民人均消費水平為7.675(千元)，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為()A．83%B．72％C．67％D．66％答案A解析由7.675＝0.66x＋1.562,得x≈9。262，所以eq\f(7.675，9。262）×100％≈83％.故選A。4．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后在生產A產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y(噸）的幾組對應數(shù)據(jù)：x3456y2。5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up14（^))＝0。7x＋0.35，那么表中t的精確值為()A．3B．3.15C．3.5D．4。5答案A解析∵eq\o(x,\s\up14（－）)＝eq\f(3＋4＋5＋6，4)＝4.5，代入eq\o(y,\s\up14(^）)＝0。7x＋0.35,得eq\o(y，\s\up14（^））＝3.5，∴t＝3.5×4－(2。5＋4＋4。5)＝3.故選A.5．（2018·長春檢測）已知變量x與y正相關,且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x）＝3,eq\x\to(y）＝3。5，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是（)A.eq\o（y,\s\up14（^))＝0.4x＋2.3B.eq\o（y,\s\up14(^）)＝2x－2。4C.eq\o(y,\s\up14（^))＝－2x＋9。5D。eq\o（y，\s\up14（^))＝－0。3x＋4。4答案A解析由變量x與y正相關知C、D均錯誤,又回歸直線經(jīng)過樣本點的中心(3，3.5），代入驗證得A正確，B錯誤．故選A.6．(2018·湖南邵陽調研）假設有兩個分類變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下：YXy1y2總計x1a10a＋10x2c30c＋30總計6040100對同一樣本，以下數(shù)據(jù)能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為()A．a＝45,c＝15B．a＝40，c＝20C．a＝35，c＝25D．a＝30，c＝30答案A解析根據(jù)2×2列聯(lián)表與獨立性檢驗可知，當eq\f（a，a＋10)與eq\f（c,c＋30）相差越大時，X與Y有關系的可能性越大，即a、c相差越大，eq\f（a，a＋10)與eq\f(c，c＋30）相差越大，故選A.7．某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元)456789銷量y（件）908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up14（^）)＝－4x＋a。若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線左下方的概率為（)A。eq\f（1，6）B.eq\f(1,3)C.eq\f(1，2)D。eq\f（2,3)答案B解析由題意可知eq\o(x,\s\up14（－))＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8＋9，6)＝eq\f（13,2)，eq\o（y,\s\up14（－））＝eq\f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6）＝80.又點eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（13,2)，80）)在直線eq\o（y,\s\up14（^））＝－4x＋a上，故a＝106。所以回歸方程為y＝－4x＋106。由線性規(guī)劃知識可知，點(5,84),(9,68)在直線y＝－4x＋106的左下方．故所求事件的概率P＝eq\f(2,6）＝eq\f(1,3).故選B.8．(2018·安徽皖南一模）下列說法錯誤的是（)A．回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x，\s\up14（－）)，eq\o(y，\s\up14(－）))B．兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)的絕對值就越接近1C．在回歸直線方程eq\o(y,\s\up14(^））＝0。2x＋0。8中,當解釋變量x每增加1個單位時,預報變量eq\o（y,\s\up14（^))平均增加0。2個單位D．對分類變量X與Y,隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越小答案D解析回歸直線過樣本點的中心（eq\o（x,\s\up14（－))，eq\o（y,\s\up14(－))），A正確；兩個隨機變量相關性越強，則相關系數(shù)的絕對值越接近1，B正確；在線性回歸方程eq\o(y，\s\up14（^))＝0.2x＋0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報量平均增加0。2個單位，C正確；對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說,k越大，“X與Y有關系"的把握程度越大，因此D不正確．故選D.9．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o（y，\s\up14(^)）＝eq\o（b，\s\up14(^）)x＋eq\o(a,\s\up14（^)).若某同學根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)（1,0)和（2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結論正確的是（)A.eq\o(b，\s\up14(^）)>b′，eq\o（a,\s\up14（^）)〉a′B.eq\o（b，\s\up14(^））>b′,eq\o（a，\s\up14（^）)<a′C.eq\o（b,\s\up14(^）)〈b′，eq\o（a,\s\up14(^））>a′D.eq\o(b，\s\up14(^)）<b′,eq\o（a,\s\up14（^))〈a′答案C解析eq\x\to（x）＝eq\f(21,6）＝eq\f（7,2），eq\x\to（y)＝eq\f（13，6），代入公式求得eq\o（b，\s\up14（^)）＝eq\f(58－6×\f（7，2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（7,2)））2)＝eq\f（5，7）,eq\o(a，\s\up14(^))＝eq\x\to(y）－eq\o（b,\s\up14(^））eq\x\to(x)＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7）×eq\f（7，2)＝－eq\f（1,3),而b′＝2，a′＝－2,∴eq\o（b，\s\up14(^）)<b′，eq\o（a，\s\up14(^)）>a′，故選C.二、填空題10．x和y的散點圖如圖所示，則下列說法中所有正確命題的序號為________．①x,y是負相關關系；②在該相關關系中，若用y＝c1ec2x擬合時的相關指數(shù)為Req\o\al(2，1)，用eq\o（y,\s\up14（^))＝eq\o(b,\s\up14（^）)x＋eq\o(a,\s\up14（^))擬合時的相關指數(shù)為Req\o\al（2,2)，則Req\o\al（2，1）>Req\o\al（2，2）；③x,y之間不能建立線性回歸方程．答案①②解析在散點圖中，點散布在從左上角到右下角的區(qū)域,因此x，y是負相關關系,故①正確;由散點圖知用y＝c1ec2x擬合比用eq\o(y，\s\up14(^))＝eq\o（b,\s\up14（^))x＋eq\o(a,\s\up14（^)）擬合效果要好，則Req\o\al（2，1）＞Req\o\al(2,2），故②正確;x，y之間可以建立線性回歸方程,但擬合效果不好，故③錯誤．11．(2017·贛州模擬）在一組樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2，y2)，…，（x6，y6）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi)（i＝1,2，…,6）都在曲線y＝bx2－eq\f(1，3)附近波動．經(jīng)計算eq\o（∑，\s\up14(6），\s\do10(i＝1））xi＝11，eq\o(∑,\s\up14（6），\s\do10（i＝1)）yi＝13，eq\o(∑,\s\up14(6),\s\do10(i＝1)）xeq\o\al(2，i）＝21，則實數(shù)b的值為________．答案eq\f（5,7)解析令t＝x2，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程,即y＝bt－eq\f（1,3)，此時eq\x\to(t)＝eq\f（\o(∑，\s\up14(6),\s\do10(i＝1）)x\o\al(2,i）,6)＝eq\f(7，2)，eq\x\to(y)＝eq\f(\o(∑，\s\up14（6）,\s\do10(i＝1)）yi，6)＝eq\f(13，6），代入y＝bt－eq\f(1,3），得e