注冊電氣工程師基礎考試線性代數(shù)課件

線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把個不同的元素排成一列，叫做這個元素的全排列（或排列）．個不同的元素的所有排列的種數(shù)用表示，且．1.全排列一、行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．在一個排列中，若數(shù)，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序．一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)．2.逆序數(shù)例1

計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.3.n階行列式的定義例2解方程左端4.n階行列式的性質(zhì)例3

計算階行列式解將第都加到第一列得１）余子式與代代數(shù)余子式5.行列式按行行（列）展開２）關于代數(shù)余余子式的重要性性質(zhì)例46.克拉默法則則定理定理二、矩矩陣1.矩陣的定義義記作簡記為2.幾種特殊矩矩陣(2)只有一行行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩矩陣稱為列矩陣(或列向量).稱為對角矩陣(或對角陣）.（3）形如的方陣,不全為0記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數(shù)的零零矩陣是不相相等的.例如(5)單位陣：對角線上上全為1的對對角陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(6)對稱矩矩陣定義設為階方陣，如果A的元素滿足那末稱為對稱陣.對稱陣的元素素以主對角線線為對稱軸對對應相等等.說明2）兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作例如為同型矩陣.3.同型矩陣陣與矩陣相等等的概念1）兩個矩陣陣的行數(shù)相等等,列數(shù)相等等時,稱為同型矩陣.例5設解1)加法設有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為4.矩陣的運運算2)數(shù)與矩矩陣相乘矩陣相加與數(shù)數(shù)乘矩陣合起起來,統(tǒng)稱為為矩陣的線性運算.并把此乘積記記作3)矩陣與與矩陣相乘設是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中注意只有當?shù)谝粋€個矩陣的列數(shù)數(shù)等于第二個個矩陣的行數(shù)時，兩兩個矩陣才能能相乘.例１注：（1）矩陣乘乘法不滿足交換律(2)矩陣乘乘法不滿足消去律,即（其中為數(shù)）;

若A是階方陣，則為A的次冪，即并且（注：單位矩陣E在矩矩陣乘法中的作用用類似于數(shù)1）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉置矩陣，記作.例4）矩陣的轉置轉置矩陣的運算性性質(zhì)注：若A為對稱陣，則5）方陣的行列式式定義由階方陣的元素所構成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運算性質(zhì)定義行列式的各個元素的代數(shù)余子式所構成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.6）伴隨矩陣7）逆矩陣定義

對于階方陣，如果有一個階方陣

則說方陣是可逆的，并把方陣稱為的逆矩陣.使得定理1

方陣可逆的充要條件是，且

二階矩陣的逆矩陣陣用該公式求，三三階及以上矩陣的的逆矩陣用初等變變換求。逆矩陣的運算性質(zhì)質(zhì)解：矩陣方程解定義1下面三種變換稱為為矩陣的初等行變變換:5.矩陣的初等變變換定義2矩矩陣的初等行變換換與初等列變換統(tǒng)統(tǒng)稱為初等變換．初等變換的逆變換換仍為初等變換,且變換類型相相同．同理可定義矩陣的的初等列變換(所用記號是把““r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換定義由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對應應著三種初等方陣陣.6.初等矩陣

定理設是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當于在的左邊乘以相應的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當于在的右邊乘以相應的階初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣初等矩陣的作用

定理設A為可逆方陣，則存在有限個初等方陣利用初等變換求逆逆陣的方法：6.矩陣的秩例8解求矩陣秩的方法法：把矩陣用初等行行變換變成為行行階梯形矩陣，，行階梯形矩陣陣中非零行的行行數(shù)就是矩陣的的秩.例9解由階梯形矩陣有有三個非零行可可知顯然，3階子式式則這個子式便是的一個最高階非零子式.矩陣A與之對應的三階階子式三、n維向量若干個同維數(shù)的的列向量（或同同維數(shù)的行向量量）所組成的集集合叫做向量組組．1.向量及向量量組的線性相關關性線性組合解：考慮定義2設有有兩個向量組（1）若若向量組組B中每個向向量都能能由向量量組A線性表示示，則稱稱向量組組B能由向量量組A線性表示示。（2）若向向量組A與向量組組B能相互線線性表示示，則稱稱這兩個個向量組組等價。。定義３則稱向量組是線性相關的，否則稱它線性無關．由定義3可得：：1、任一一向量組組不是線線性相關關就是線線性無關關。2、含零向量量的向量量組一定定線性相相關。3、單個個非零向向量一定定是線性性無關。4、兩個個向量線線性相關關的充分分必要條條件是對對應分量量成比例例。定理2解例11定理3（1）部部分相關關整體相相關。（2）m個n維向量，，當維數(shù)數(shù)n小于向量量個數(shù)m時一定線線性相關關。2.最最大無關關組與向向量組的的秩定義１注：只含零向向量的向向量組沒沒有最大大無關組組，規(guī)定定它的秩秩為0.推論1推論21.線性性方程組組的三種種表達方方式若記（1）四、線性性方程組組則上述方方程組（（1）可可寫成矩矩陣方程程如果將矩矩陣A的的列向量量組記為為則方程組組（1））還可表表為向量量方程2.線線性方程程組有解解的判定定條件齊次線性性方程組組解的性性質(zhì)3.線性性方程組組解的性性質(zhì)與結結構基礎解系系的定義義齊次線性方程組組解的結結構非齊次線線性方程程組解的的性質(zhì)其中為對應齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線線性方程程組解的的結構非齊次線線性方程程組Ax=b的通解為為齊次線性性方程組組：系數(shù)矩矩陣化成成行最簡簡形矩陣陣，便可可寫出其其通解；；非齊次線線性方程程組：增廣矩陣陣化成行行階梯形形矩陣，，便可判判斷其是是否有解解．若有有解，化化成行最最簡形矩矩陣，便便可寫出出其通解解；3.線線性方程程組的解解法例11求解齊次次線性方方程組解即得與原方程程組同解的方方程組由此即得例12求解非齊次方方程組的通解解解對增廣矩陣B進行初等變換換故方程組有解解，且有所以方程組的的通解為五、矩陣的特特征值和特征征向量求矩陣特征值值與特征向量量的步驟：特征值、特征征向量性質(zhì)（1）屬于不不同特征值的的特征向量是是線性無關。。解例13

六、矩陣相似似與對角化1、相似矩陣陣與相似變換換的概念2、相似矩陣陣的性質(zhì)（1）相似關關系是等價價關系（5）相似矩矩陣有相同的的特征多項式式，有相同的的特征值。還可證明下列列結論3、方陣可化化為對角陣的的條件4、實對稱矩矩陣的性質(zhì)(1)特征值值為實數(shù)；(2)屬于不不同特征值的的特征向量正正交；(3)特征值值的重數(shù)和與與之對應的線線性無關的特征向量的個個數(shù)相等；(4)必存在在正交矩陣，，