2018版高中數(shù)學(xué)第三章不等式341基本不等式證明學(xué)案蘇教版

3．4.1基本不等式的證明學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明

.2.

能嫻熟運(yùn)用基本不等式來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小.3.能初步運(yùn)用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式．知識(shí)點(diǎn)一算術(shù)均勻數(shù)與幾何均勻數(shù)思慮如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)Q是AB上任一點(diǎn)，AQ＝a，BQ＝b，過(guò)點(diǎn)Q作PQ垂直AB于Q，連接AP，PB.怎樣用a，b表示PO，PQ的長(zhǎng)度？a＋b梳理一般地，關(guān)于正數(shù)a，b，2為a，b的________均勻數(shù)，ab為a，b的________平即ab≤a＋b均數(shù)．兩個(gè)正數(shù)的幾何均勻數(shù)不大于它們的算術(shù)均勻數(shù)，2.其幾何意義如圖中的PO≥PQ.知識(shí)點(diǎn)二基本不等式及其常有推論a＋b思慮怎樣證明不等式ab≤(a>0，b>0)?2梳理ab≤a＋b(>0，>0)．2ab當(dāng)對(duì)正數(shù)a，b給予不一樣的值時(shí)，可得以下推論：＋b2a2＋2(1)ab≤(2)≤2(a，b∈R)；baa＋b≥2(a，b同號(hào))；baba當(dāng)ab>0時(shí)，a＋b≥2；當(dāng)ab<0時(shí)，a＋b≤－2；a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．種類(lèi)一常有推論的證明例1證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．引申研究證明不等式(a＋b)2≤a2＋b2(a，b∈R)．22反省與感悟

(1)本例證明的不等式建立的條件是

a，b∈R，與基本不等式不一樣．本例使用的作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法．追蹤訓(xùn)練1已知a，b，c為隨意的實(shí)數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.種類(lèi)二用基本不等式證明不等式例2已知x，y都是正數(shù)．x求證：(1)x＋y≥2；(2)(x＋)(x2＋y2)(x3＋y3)≥83y3.yx反省與感悟利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項(xiàng)策略：從已證不等式和問(wèn)題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和相關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐漸的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)變?yōu)樗髥?wèn)題，其特點(diǎn)是以“已知”看“可知”，逐漸推向“未知”．注意事項(xiàng)：①多次使用基本不等式時(shí)，要注意等號(hào)可否建立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時(shí)注意使用；③對(duì)不可以直接使用基本不等式的證明可從頭組合，形成基本不等式模型，再使用．追蹤訓(xùn)練2已知

a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：

(a＋b)(

b＋c)·(c＋a)≥8abc.種類(lèi)三用基本不等式比大小例3某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為，第二年的增加率為a，第三年的增加率為b，A這兩年的均勻增加率為(，，均大于零)，則x與a＋b的大小關(guān)系是________．xabx2＋b反省與感悟基本不等式2≥ab一端為和，一端為積，使用基本不等式比大小要擅于利用這個(gè)橋梁化和為積或許化積為和．追蹤訓(xùn)練3設(shè)a＞b＞1，P＝lga·lglga＋lgbb，Q＝2，＝lga＋b，則，，的大小關(guān)系是________．R2PQRx1．若對(duì)隨意x>0，2≤a恒建立，則a的取值范圍為_(kāi)_______．x＋3x＋1a＋b2．若0<a<b，則a，b，ab，2的大小關(guān)系是________．3．設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且a＋b＝3，則2a＋2b的最小值是________．4．設(shè)a>0，b>0，給出以下不等式：①a2＋1>a；②a＋1b＋1≥；ab4112③(a＋b)a＋b≥4；④a＋9>6a.此中恒建立的是________．(填序號(hào))22a＋b1．兩個(gè)不等式a＋b≥2ab與2≥ab都是帶有等號(hào)的不等式，關(guān)于“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取‘＝’”這句話(huà)的含義要有正確的理解．一方面：當(dāng)a＝ba＋b＝；另一方面：當(dāng)a＋b時(shí)，2ab2＝時(shí)，也有a＝.abb在利用基本不等式證明的過(guò)程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)或恒等式變形配湊成適合的數(shù)、式，以便于利用基本不等式．答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一ABa＋b思慮PO＝2＝2.易證2Rt△APQ∽R(shí)t△PBQ，那么PQ＝AQ·QB，即PQ＝ab.梳理算術(shù)幾何知識(shí)點(diǎn)二思慮∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)建立，a＋b≥2ab，ab≤當(dāng)且僅當(dāng)題型研究

a＋b，a＝b時(shí)，等號(hào)建立．例1證明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.引申研究證明由例1，得a2＋b2≥2ab，2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，兩邊同除以a＋b2a2＋b2＝b時(shí)，取等號(hào)．4，即得()≤，當(dāng)且僅當(dāng)22a追蹤訓(xùn)練1證明∵a2＋b2≥2；2＋c2≥2；c2＋a2≥2，abbbcca222∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)建立．a(chǎn)bc例2證明(1)∵x，y都是正數(shù)，xyy>0，x>0，yxyx∴x＋y≥2x·y＝2，yx即x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)建立．∵x，y都是正數(shù)，∴x＋y≥2xy>0，x2＋y2≥2x2y2>0，x3＋y3≥2x3y3>0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3，即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)建立．追蹤訓(xùn)練2已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.證明∵a，b，c都是正實(shí)數(shù)，a＋b≥2ab>0，b＋c≥2bc>0，c＋a≥2ca>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ca＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)建立．a(chǎn)＋b例3x≤2分析第二年的產(chǎn)量為A＋A·a＝A(1＋a)，第三年產(chǎn)量為(1＋)＋(1＋a)·＝(1＋a)(1＋)．AaAbAb若均勻增加率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1＋x)2.依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，＞0，x＞0，b∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤＋a＋＋b2，22＋＋ba＋b＋∴1＋x≤2＝1＋2，∴x≤2.追蹤訓(xùn)練3P＜Q＜R分析∵a＞b