第7講命題充分與必要條件

第一章常用邏輯用語知識點網(wǎng)絡(luò)第1講命題、充分條件與必需條件考點1：命題定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，能夠判斷真假的語句叫做命題.（1）命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.命題往常用小寫英文字母表示，如p,q,r,m,n等.2）命題有真假之分，正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題.數(shù)學(xué)中的定義、公義、定理等都是真命題3）命題“”的真假判斷方式：①若要判斷命題“”是一個真命題，需要嚴(yán)格的邏輯推理；有時在推導(dǎo)時加上語氣詞“必定”能幫助判斷。如：必定推出.②若要判斷命題“”是一個假命題，只要要找到一個反例即可.注意：“不必定等于3”不可以判斷真假，它不是命題.例1已知命題p:xR,2x3x;命題q:xR,x31x2,則以下命題中為真命題的是:（）A．pqB．pqC．pqD．pq例2.以下命題中的假命題是．．．A.xR,lgx0B.xR,tanx1C.xR,x30D.xR,2x0【分析】對于C選項x＝1時，x12=0，應(yīng)選C變式1.以下命題是真命題的為A．若11xyB21,x1則則xy．若C．若xy,則xyD．若xy,則x2y2分析由11得xy,而由x21得x1,由xy,x,y不必定存心義,而xyxy得不到x2y2應(yīng)選A.例3.以下4個命題p1:x(0,),(1)x(1)x23p2:x(0,1),㏒1/2x>㏒1/3xp3:x(0,),(1)x㏒1/2x2p4:x(0,1),(1)x㏒1/3x此中的真命題是（）32A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4分析取x＝1,則㏒1/2x＝1,㏒1/3x＝log32＜1,p2正確2當(dāng)x∈(0,1)時,(1)x＜1,而㏒1/3x＞1.p4正確32答案D考點2：四種命題四種命題的形式：用

p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用原命題：若p則q；抗命題：若q則否命題：若p則q；逆否命題：若

p；

p和q則

q分別表示p.

p和

q的否認(rèn)，則四種命題的形式為：四種命題的關(guān)系①原命題逆否命題.它們擁有同樣的真假性，是命題轉(zhuǎn)變的依照和門路之一.②抗命題否命題，它們之間互為逆否關(guān)系，擁有同樣的真假性，是命題轉(zhuǎn)變的另一依照和門路除①、②以外，四種命題中其余兩個命題的真?zhèn)螣o必定聯(lián)系.例4.分別寫出以下命題的抗命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假:

.若q<1，則方程x2＋2x＋q＝0有實根；若ab＝0，則a＝0或b＝0；若x2＋y2＝0，則x、y全為零.解：(1)抗命題：若方程x2＋2x＋q＝0有實根，則q＜1，為假命題．否命題：若≥1，則方程x2＋2＋＝0無實根，為假命題．qxq逆否命題：若方程x2＋2x＋q＝0無實根，則q≥1，為真命題．抗命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0，為真命題．否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0，為真命題．逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0，為真命題．抗命題：若x、y全為零，則x2＋y2＝0，為真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x、y不全為零，為真命題．逆否命題：若x、y不全為零，則x2＋y2≠0，為真命題．例5.“△ABC中,若∠C=90°,則∠A.∠B都是銳角”的否命題為:_______________，否認(rèn)形式是_____________-解：否認(rèn)形式：△ABC中,若∠C=90°,則∠A.∠B不都是銳角”否命題：△ABC中,若∠C90°,則∠A.∠B不都是銳角”例3.以下四個命題中屬于真命題的是________，①“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的抗命題；②“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；③“若q≤1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；④“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。解：①明顯正確；②不正確；③不正確，因△=1-4q未必大于0；④不對。變式2.命題“垂直于同一條直線的兩條直線相互平行”的抗命題是_________.解：假如兩條直線平行，那么它們同時與另一條直線垂直。例6.已知p：x2mx10有兩個不等的負(fù)根，q：4x24(m2)x10無實根．若p或q為真，p且q為假，求的取值范圍．m剖析：由p或q為真，知p、q必有其一為真，由p且q為假，知p、q必有一個為假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命題p及命題q為真的條件，再分類議論．解：p：x2mx10有兩個不等的負(fù)根．1m240m2m0q：4x24(m2)x10無實根．216(m2)21601m3因為p或q為真，p且q為假，所以p與q的真值相反．(ⅰ)當(dāng)p真且q假時，有m2m3；m或m31(ⅱ)當(dāng)p假且q真時，有m21m2．1m3綜合，得m的取值范圍是{m1m2或m3}例7.命題“存在xR，使得x22x50”的否認(rèn)是變式3命題“存在x0R，2x00”的否認(rèn)是A.不存在x0R,2x0>0B.存在x0R,2x00C.對隨意的xR,2x0D.對隨意的xR,2x>0分析：由題否認(rèn)即“不存在xR，使2x00”，應(yīng)選擇D。0變式4.命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的抗命題是（）A．“若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B．“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”C．“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D．“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)”答案B分析因為一個命題的抗命題是將原命題的條件與結(jié)論進(jìn)行互換，所以抗命題為“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)”?？键c3：充分條件與必需條件1.

定義：對于“若①若p

p則q”形式的命題：q，則p是q的充分條件，

q是

p的必需條件；②若

p

q，但

q

p，則

p是

q的充分不用要條件，

q是

p的必需不充分條件；③若既有pq，又有qp，記作pq，則p是q的充分必需條件（充要條件）

.理解認(rèn)知：1）在判斷充分條件與必需條件時，第一要分清哪是條件，哪是結(jié)論；而后用條件推結(jié)論，再用結(jié)論推條件，最后進(jìn)行判斷.2）充要條件即等價條件，也是達(dá)成命題轉(zhuǎn)變的理論依照.“當(dāng)且僅當(dāng)”.“有且僅有”.“一定且只須”.“等價于”“反過來也建立”等均為充要條件的同義詞語.判斷命題充要條件的三種方法（1）定義法：（2）等價法：因為原命題與它的逆否命題等價，否命題與抗命題等價，所以，假如原命題與抗命題真假不好判斷時，還能夠轉(zhuǎn)變?yōu)槟娣衩}與否命題來判斷．即利用與；與；與的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是不等關(guān)系（或否認(rèn)式）的命題，一般運(yùn)用等價法.(3)利用會合間的包括關(guān)系判斷，比方

AB可判斷為

A

B；A=B可判斷為

A

B，且BA，即

A

B.如圖：“

”

“

，且

”是

的充分不用要條件

.“

”

“

”

是的充分必需條件

.例8．在以下各題中，判斷A是B的什么條件，并說明原因．(1)．A：p2,pR，B：方程x2pxp30有實根；(2)．A：2x31；B：10；2x6x解：(1)當(dāng)p2，取p4，則方程x24x70無實根；若方程x2pxp30有實根，則由0推出p24(p3)0p2或p6，由此可推出p2．所以A是B的必需非充分條件．(2)由2x31x1或x2，由10解得x3或x2，所以A推不出B，但B能夠推出A，故A是2xx6的必需非充分條件．變式5：指出以下命題中，p是q的什么條件（在“充分不用要條件”、“必需不充分條件”、“充要條件”、“既不充分也不用要條件”中選出一種作答）.1）對于實數(shù)x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;2）非空會合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B解：(1)易知:p:x+y=8,q:x=2且y=6,明顯qp.但pq,即q是p的充分不用要條件,依據(jù)原命題和逆否命題的等價性知,p是q的充分不用要條件.明顯x∈A∪B不必定有x∈B,但x∈B必定有x∈A∪B,所以p是q的必需不充分條件.例9.已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：對于x的方程x2＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，試剖析p是q的什么條件.2解：若方程x＋mx＋n＝0有兩個小于1的正根，設(shè)為x1、x2．則0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n∴0＜－m＜2，0＜n＜1∴－2＜m＜0，0＜n＜1∴p是q的必需條件．又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不如設(shè)m＝－1，n＝1．2則方程為x2－x＋1＝0，∵△＝(－1)2－4×1＝－1＜0．∴方程無實根∴p是q的非充分條件．22綜上所述，p是q的必需非充分條件．例10.“x2kkZ”是“tanx1”建立的（）4（A）充分不用要條件.（B）必需不充分條件.（C）充分條件.（D）既不充分也不用要條件.分析：tan(2k)tan1，所以充分；但反之不建立，如tan51444例11.“a＞0”是“a＞0”的[A](A)充分不用要條件（B）必需不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不用要條件分析：此題觀察充要條件的判斷a0a0,a0a0，a＞0”是“a＞0”的充分不用要條件變式6.已知a>0，則x0知足對于x的方程ax=6的充要條件是(A)xR,1ax2bx1ax02bx0(B)xR,1ax2bx1ax02bx02222(C)xR,1ax2bx1ax02bx0(D)xR,1ax2bx1ax02bx02222【分析】因為a>0,令函數(shù)y1ax2bx1a(xb)2b2，此時函數(shù)對應(yīng)的張口向上，當(dāng)x=b時，獲得最22a2aa小值b2，而x0知足對于x的方程ax=b,那么2ab,y12bx0b2，那么對于隨意的x∈R,都有y12bxb212bx0min022a22a2a變式7設(shè)0＜x＜π，則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的2（A）充分而不用要條件（B）必需而不充分條件（C）充分必需條件（D）既不充分也不用要條件分析：因為0＜x＜π，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，聯(lián)合xsin2x與xsinx的取值范圍同樣，可知答案選2B，此題主要觀察了必需條件、充分條件與充要條件的意義，以及轉(zhuǎn)變思想和辦理不等關(guān)系的能力，屬中檔題例11.“m1”是“一元二次方程x2xm0”有實數(shù)解的4A．充分非必需條件B.充分必需條件C．必需非充分條件D.非充分必需條件【分析】由x2xm0知，(x1)214m0m1．244例12.已知a,b是實數(shù)，則“a0且b0”是“ab0且ab0”的()A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件分析對于“a0且b0”能夠推出“ab0且ab0”，反之也是建立的變式8.“”是“且”的A.必需不充分條件B.充分不用要條件C.充分必需條件D.既不充分也不用要條件分析易得ab且cd時必有acbd.若acbd時，則可能有ad且cb，選A。變式9.設(shè)xR則“x”是“x3x”的,1A充分不用要條件B必需不充分條件C充要條件D既不充分也不用要條件分析因為x3x,解得x0,1,1，明顯條件的會合小，結(jié)論表示的會合大，由會合的包括關(guān)系，我們不難獲得結(jié)論。例13.已知a，b，c，d為實數(shù)，且c＞d.則“a＞b”是“a－c＞b－d”的A.充分而不用要條件B.必需而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件分析明顯，充分性不建立.又，若a－c＞b－d和c＞d都建立，則同向不等式相加得a＞b,即由“a－c＞b－d”“a＞b”1x12m2)0．例14.已知p：3，q：x22x(1若“p”是“q”的必需而不充分條件，務(wù)實數(shù)m的取值范圍．1x1p：2【解法一】由3，解得2x10，∴“p”：A(,2)(10,)．3分由q：x22x1m20解得：1mx1m∴“q”：B(,1m)(1m,)6分由“p”是“q”的必需而不充分條件可知：BA．8分1m21m10解得m9．∴知足條件的m的取值范圍為,99,．12分1x12Px2x10【解法二】由p：3，解得由q：x22x1m20,解得：Qx1mx1m由“p”是“q”的必需而不充分條件可知：qppq，即：PQ1m2101m（等號不一樣時建立），解得：m9∴知足條件的m的取值范圍為,99,．講堂過關(guān)檢測一、選擇題1．對命題p：A∩＝，命題q：A∪＝A，以下說法正確的選項是（）A．p且q為假B．p或q為假C．非p為真D．非p為假2．已知以下三個命題①方程x2-x+2=0的鑒別式小于或等于零；②矩形的對角線相互垂直且均分；③2是質(zhì)數(shù)，此中真命題是（）（A）①和②（B）①和③（C）②和③（D）只有①3．以下結(jié)論中正確的選項是（）（A）命題p是真命題時，命題“P且q”必定是真命題。（B）命題“P且q”是真命題時，命題P必定是真命題（C）命題“P且q”是假命題時，命題P必定是假命題（D）命題P是假命題時，命題“P且q”不必定是假命題4．使四邊形為菱形的充分條件是（）（A）對角線相等（B）對角線相互垂直（C）對角線相互均分（D）對角線垂直均分5．假如命題“非P為真”，命題“P且q”為假，那么則有（）（A）q為真（B）q為假（C）p或q為真（D）p或q不必定為真6．假如命題“p或q”和命題“p且q”都為真，那么則有（）（A）p真q假（B）p假q真（C）p真q真（D）p假q假7．給出4個命題：①若x23x20，則x=1或x=2；②若2x3，則(x2)(x3)0；③若x=y=0，則x2y20；④若x,yN，x＋y是奇數(shù)，則x，y中一個是奇數(shù)，一個是偶數(shù)．那么：（）A．①的抗命題為真B．②的否命題為真C．③的逆否命題為假D．④的抗命題為假8．一個整數(shù)的末位數(shù)字是2，是這個數(shù)能被2整除的（）（A）充分不用要條件（B）必需不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不用要條件9．“△ABC中，若∠C=90°，則∠A、∠B都是銳角”的否命題為（）．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不是銳角．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B不都是銳角．△ABC中，若∠C≠90°，則∠A、∠B都不必定是銳角．以上都不對10．“a2b20”的含義是（）A．a(chǎn),b不全為0B．a(chǎn),b全不為0C．a(chǎn),b起碼有一個為0D．a(chǎn)不為0且b為0，或b不為0且a為011．以下說法正確的選項是（）（A）x≥3是x>5的充分不用要條件（B）x≠±1是x≠1的充要條件C）若﹁p﹁q，則p是q的充分條件D）一個四邊形是矩形的充分條件是它是平行四邊形12．假如命題“P或Q”是真命題，命題“P且Q”是假命題，那么（）(A)命題P和命題Q都是假命題(B)命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不一樣(D)命題Q和命題“非P”真值同樣13.以下相關(guān)命題的說法正確的選項是()A．命題“若x21，則x1”的否命題為：“若x21，則x1”．B．“x1”是“x25x60”的必需不充分條件．C．命題“xR，使得x2x10”的否認(rèn)是：“xR，均有x2x10”．D．命題“若xy，則sinxsiny”的逆否命題為真命題．14若p,q是兩個簡單命題，且“p或q”的否認(rèn)是真命題，則必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真15已知A與B是兩個命題，假如A是B的充分不用要條件，那么A是B的（）A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件16已知全集U0,1,2且CUA2，則會合A的真子集共有（）A．3個B．4個C．5個D．6個17二次函數(shù)yax2bxc中，若ac0，則其圖象與x軸交點個數(shù)是（）A．1個B．2個C．沒有交點D．沒法確立18設(shè)會合Axx13，a23，那么以下關(guān)系正確的選項是（）A．a(chǎn)AB．a(chǎn)AC．a(chǎn)AD．a(chǎn)A假如命題“p或q”與命題“非A）命題p不必定是假命題C）命題q必定是真命題

p”都是真命題，那么（）B）不必定是真命題D）命題p與命題q真值同樣20.x2+2x-8=0”是“x-2=2x”的（）(A)充分不用要條件(B)必需不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不用要條件21.命題“P或Q”是真命題，命題“P且Q”是假命題，那么（）(A)命題P和命題Q都是假命題(B)命題P和命題Q都是真命題（C）命題P和命題“非Q”真值不一樣(D)命題Q和命題“非P”真值同樣22設(shè)an是首項大于零的等比數(shù)列，則“a1a2”是“數(shù)列an是遞加數(shù)列”的（A）充分而不用要條件(B)必需而不充分條件(C)充分必需條件(D)既不充分也不用要條件在實數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實數(shù)根，則“非p”形式的命題是存在實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0無實根不存在實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根對隨意的實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根至多有一個實數(shù)m，使得方程x2＋mx＋1＝0有實根24.若函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則loga20”的逆否命題是A.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)B.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)C.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)D.若loga20，則函數(shù)f(x)logax(a0,a1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)假如命題“(p或q)”為假命題，則A.p，q均為真命題B.p，q均為假命題C.p，q中起碼有一個為真命題D.p，q中至多有一個為真命題已知命題p:全部有理數(shù)都是實數(shù)，命題q:正數(shù)的對數(shù)都是負(fù)數(shù)，則以下命題中為真命題的是A.(p)qB.pqC.(p)(q)D.(p)(q)27.“x0”是“x0”的（）A．充分而不用要條件B．必需而不充分條件C．充分必需條件D．既不充分也不用要條件28.“x12建立”是“x(x3)0建立”的()A．充分不用要條件B.必需不充分條件C．充分必需條件D.既不充分也不用要條件29．“x>1”是“x2x”建立的（）A．充要條件B．必需不充分條件C．充分不用要條件D．既不充分又不用要條件30.命題：“若x21，則1x1”的逆否命題是（）A.若x21，則x1，或x1B.若1x1，則x21C.若x1，或x1，則x21D.若x1，或x1，則x2131.若會合A1,m2，B2,4，則“m2”是“AB4”的（）A充分不用要條件B必需不充分條件C.充要條件D既不充分也不用要條件32.會合M{x|x12}，N{x|x(x3)0}，那么“aM”是“aN”的()A．必需而不充分條件B．充分而不用