易錯(cuò)點(diǎn)06 平面向量

易錯(cuò)點(diǎn)平面量—備戰(zhàn)年考數(shù)學(xué)一輪復(fù)易錯(cuò)題【例析（2020通高等學(xué)校招生全統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)）已P是邊長(zhǎng)為2六邊形的一點(diǎn)，則的取值范用是（A.C.

()(

B.D.

((【答案A【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合六邊形的特征，得到是(用向數(shù)量積的定義式，求得結(jié).

AP

在AB上的投影的取值范圍【詳解】AB

的模為2正六邊形的特征，可以得到AP

在AB上的投影的取值0

范圍(結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知于AB模與APAB方上的投影的乘積，所以

AP

的取值范圍是

()

，故選A.【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于簡(jiǎn)題.

【錯(cuò)示易錯(cuò)點(diǎn)1遺漏零向量【1

已知

a(3,2)

與

bm,)

平行，則

m

值的個(gè)數(shù)是_______．【錯(cuò)解】由

ab

得

3

，即

2m

，解之得

m12

（舍的值只有一個(gè)．【錯(cuò)因】零向量與任一向量平行，當(dāng)

m

時(shí)，為零向量，也與平行．【正解】由

ab

得

3())

，解得

m12

，∴

m

的值應(yīng)有兩個(gè)．易錯(cuò)點(diǎn)2弄兩個(gè)向量的夾角【2

ABC

中

aC

0

,則

BC

的值為)A20B-20C

203

D

203【錯(cuò)解】因?yàn)?/p>

BC

0

則

BCBCBC,

12

=20,故選【錯(cuò)因】弄錯(cuò)向量與的角．【正解】由題意

0

,故

BCBC,CA

12

，選B.易錯(cuò)點(diǎn)3【3】?jī)闪谢疖噺囊徽九_(tái)沿相反方向開(kāi)去，行駛了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為

a

和

b

，那么下列命題中錯(cuò)誤的()A．a(chǎn)與為行向量．b為相等的向量

C．與為線向量．a(chǎn)與為相等向量【解由向量的基本概念知

a

與

b

方向相反，∴

a

與

b

是平行向量，即共線向量．又∵兩列火車所行路程相同，∴

a

與

b

的模相等．∴

a

與

b

是模相等且方向相反的向量，即A錯(cuò)【錯(cuò)因】路程相同對(duì)應(yīng)向量的模相.【正解】由向量的基本概念知

a

與

b

方向相反，∴

a

與

b

是平行向量，即共線向量．又∵兩列火車所行路程相同，∴

a

與

b

的模相等．∴

a

與

b

是模相等且方向相反的向量，即D錯(cuò)易錯(cuò)點(diǎn)4認(rèn)a與的角為鈍角（銳角）

致錯(cuò)【4設(shè)平面量

a

a

與

b

的夾角為鈍角，則

的取值范圍是（）A．

(

1(2,B．C．(．()222【錯(cuò)解】由與的夾角為鈍角，所以

a

，即

，解得

12

，故選C．【錯(cuò)因】忽視使用

a

時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況．【正解】由與的夾角為鈍角，所以

a

，即

，解得

12

，又當(dāng)與共且反向時(shí)，

2

，．所以的值范圍是

12

且故選．易錯(cuò)點(diǎn)5記兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系【5已知向量

a

，若

(a)//

，則m＝.

【錯(cuò)解】∵(a)m，()，m，得m

12

.【錯(cuò)因】把“若

ax)11

，

x

，則

a//xy1221

”錯(cuò)記成“

a//x112

”.【正解∵

(a)，()，m，m.不能將向量與三角函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系【6若平面向量α,β滿|α||β|1，以向量αβ鄰邊的平行四邊形的面積為12

，則α與β夾角的值范圍是．【錯(cuò)解】以α,β為鄰邊的平行四邊形的面積

為：S||β|sin

12

，所以sin

1，π)．2|β【錯(cuò)因】忽視三角函數(shù)有界性應(yīng)用致誤【正解】以αβ為鄰邊的平行四邊形

的面積為：S||β|sin

12

，所以

1又為β|所β||β|

即sin

5且]所[,]．6忽視向量的方向致誤【7】已知點(diǎn)O，，不在同一條直線上，點(diǎn)P為該面上一點(diǎn)，且則)（A）點(diǎn)P線段AB上（B）點(diǎn)P在段AB的反向延長(zhǎng)線上（C）點(diǎn)P線段AB的延長(zhǎng)線上（D點(diǎn)P不在直線AB上

OP

，【解因?yàn)?/p>

2OPOA，以

，所以點(diǎn)P在段AB上，故選A.【錯(cuò)因】

2

表P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線，不在AB上

【正解】因?yàn)?/p>

BA

，所以

2BA

，所以點(diǎn)P在段的反向延長(zhǎng)線上，故選【式習(xí)1.已

ABC

中，

AB

，則

是（）A、銳角三角形B、直角三形、鈍角三角形D、不能確定【答案】【解析】

ABAB

)，所以cosABC

，故選C．2.若量

a

，

a

與

b

夾角為鈍角，則的取值范圍是_______.【答案】114()(,0)(,33【解析】因

a

與

b

的夾角為鈍,

ax0解得x或

43

(1)又由

a

與

b

共線且反向可得

x

13

(2)由1),(2)得的范圍是

14()(,0)(333.設(shè)量

ay

，

bx,y)

，則

y11y22

是

ab

的（）件．A．充要B．必要不充分．充分不必要D．既不充分也不必要【答案C【解析】若

y11y2

則

b1

，若

ab

，有可能

或22

為0，故選C．

4．如圖所示，在正方形中，為的點(diǎn)，為CE的中，則（）

A．

3ABAD4

B．

11ABADC．42

ABAD

D．

3ABAD4【答案B【解析】111BCCEBCBEBCBCBEBCBA224

1124故選：B5．已知向量a2,0),

，則下列結(jié)論正確的是（）A．

B．a(chǎn)/b

C．

D．(a【答案D【解析】因?yàn)閍，以(，即b(1,1)則a2,2

，即

a//bb

都不正確，即答案，C都不正確．而a1,1)

，則b

，應(yīng)選答案D．6．在邊長(zhǎng)為的邊中點(diǎn)滿足，BE

（）A．

9

B．

152

C．

D．

274【答案C【解析】由EC得BEBABC)

，即

BE

1BA33

，

22222sin422222sin4則

21cos60

.故選：7．已知與的夾角為1，，13，則b）A．

B．2

C．

D．4【答案D【解析】由

，兩邊平方可得

a

，又因?yàn)榕c的角為，以

a

，所以

b

，解得b.故選：8．已知向量a2),

,sin

，則a的大值為（）A．【答案C

B．5

C．D．【解析】因?yàn)?/p>

2cos

2

54

，所以當(dāng)

時(shí)，

取得最大值

.9．已知向量

a

b

，若向量與b的角為

，則實(shí)數(shù)

m（）A．3

B．

C．

D．3【答案B【解析】由題意得：

2

，

23,,3323,,33

4

224

22

，解得：

本題正確選項(xiàng)：B10．向量（）

15a

，若與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的值范圍是A．

53

B．C

5443

D．

【答案C【解析】因?yàn)榕cb的角為銳角，所以，即

x，得

53

.當(dāng)a與同向時(shí)，設(shè)a（

152以，解2

415

，從而5且x.315故選：．

中，

AB

，

AC

，

的外接圓圓心為O，于的，下列選項(xiàng)正確的是（）A．【答案A【解析】如圖，

B．C．D．不是定值

222222222222取AB中D，

中點(diǎn)E連接OD，

，則：OD

，

AC

；∴

AOAOACOAEAOABOAD故選A

49251222

.12．圖半為的扇形

的圓心角為點(diǎn)

C

在AB上且COB,

若OC,

則

()A．3

B．

33

C．

433

D．【答案A【解析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，

BOC,OC

cos30sin

，即

3

BOA120A

3cos120,3sin120,3

，又B

333,0OC，,,

2222，解

，3

，故選A.13．中已知

，

sinA

，

6

，P為線段上的一點(diǎn)，且

y

，則

11x

的最小值為（）A．

7312

B．

7212

C．

712

D．

7312【答案D【】

中設(shè)

，

，

即

sincos，)sinAACCA，

，cosC

，sin

，cosC，C

，AB9

，

，cosA

，

12

，

43

，根據(jù)直角三角形可得in，，bcc

，

，

，以

AC

所在的直線為軸以

BC

所在的直線為y軸立直角坐標(biāo)系可得(0,0)，(3,0)

，B(0,4)，為直線

上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)

使得

,

2222設(shè)

CACA

，

CBCB

，則|e|，，(0,1),12CPx

CBx,0)y)x)CA|||

,

，

y4x

,111x7+4(4xy7yy12y

,故所求的最小值為故選：.【題練

7312

,1高考全國(guó)

卷理數(shù)向量ab滿足

a|b

，a則=A

3135

1935

1935【答案D【解析】

，

，aa

a

a25因此，

cos

aa

1919535

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量夾角弦值的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的計(jì)算以及向量模的計(jì)算，考查計(jì)算能力屬于中等2高考全國(guó)Ⅰ卷P邊長(zhǎng)為2形內(nèi)的一點(diǎn)的取值范圍是A

()

．

()

()【答案A【解析】如圖，

)的模為，根據(jù)正六邊形的特征，AB可以得到AP在AB向上的投影的取值范圍是結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，

(

，可知

AP

等于

AB

模與

AP

在

AB

方向上的投影的乘積，所以值范圍的

()

，故選A．【點(diǎn)睛】該題以正六邊形為載體考查有關(guān)平面向量數(shù)量積的取值范圍，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量數(shù)量積的定義式，屬于單題3高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)設(shè)

為單位向量，且

a

，則

______________.【答案】3【解析】因a,b為位向量，所以

a|所|a

|a

a

，解得：2a所|

|a故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模計(jì)算公式及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔.

kaa2kaa2k4高考全國(guó)II2【答案】2

卷理數(shù)單位向量,角為45°，

與直，則【解析】由題意可得：a45

，由向量垂直的充分必要條件可得a

，即：k

解得：k

22

2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積定義與運(yùn)算法則，向量垂直的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力計(jì)算求解能5高考天津如圖，在四邊形

ABCD

中，

，

BC

，且

AD

32

，則實(shí)數(shù)_若

,

是線段

BC

上的動(dòng)點(diǎn)，且

|MN

，則

DM

的最小值【答案

1；(2).62【解析】

BCBCBAD180120，ABBCcos1201

，解得

，

222222222222以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在直線為x建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系

∵

ABABC

，∴A的坐標(biāo)為

A

33,

,133∵∵AD,D,622

M

（其中0

3DN

3x22

5DM

2

x2

，所以，當(dāng)時(shí)最小值1故答案為：；62

132

【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量的計(jì)算，考查平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中等6高考北京已知正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)滿足

AP

12

(AB)

，則|PD|

_________【答案；【解析A標(biāo)原點(diǎn)ABAD直線分別為y軸立如下圖所示平面直角坐標(biāo)系，

2222則點(diǎn)

，APAB2,22,1

，則點(diǎn)

P

PD

，因此，PD

5，PB

故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能，屬于基礎(chǔ)7江e滿|112

e，12向量