2021屆上海市XX中學(xué)高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前數(shù)學(xué)試卷學(xué)校：___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________題號(hào)一二三總分得分注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一.填空題1.已知集合，，，則非零實(shí)數(shù)2.不等式的解集為3.已知，則4.若滿足約束條件，則的最大值為5.已知是函數(shù)的反函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)6.在△中，角、、所對(duì)邊分別為、、，已知，，，則△的面積為7.已知為等比數(shù)列，，，則8.在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，，，，動(dòng)點(diǎn)滿足|CD|=1，則的最大值為9.我校5位同學(xué)報(bào)考了北京大學(xué)“強(qiáng)基計(jì)劃”第I專業(yè)組，并順利通過(guò)各項(xiàng)考核，已知5位同學(xué)將根據(jù)綜合成績(jī)和志愿順序隨機(jī)地進(jìn)入教學(xué)類、物理學(xué)類、力學(xué)類這三個(gè)專業(yè)中的某一個(gè)專業(yè)，則這三個(gè)專業(yè)都有我校學(xué)生的概率是（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）10.設(shè)是直線與圓在第四象限的交點(diǎn)，則極限11.設(shè)、分別是函數(shù)和的零點(diǎn)（其中），則的取值范圍是12.已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，，則數(shù)列的前項(xiàng)和二.選擇題13.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限14.若動(dòng)點(diǎn)、分別在直線和上移動(dòng)，則的中點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為（）A.B.C.D.15.橢圓上有10個(gè)不同的點(diǎn)，若點(diǎn)坐標(biāo)為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則的最大值為（）A.B.C.D.16.已知，符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.三.解答題17.如圖，已知平面，，與平面所成的角為30°，且.（1）求三棱錐的體積；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）對(duì)任意，當(dāng)函數(shù)的圖像恒在函數(shù)圖像的下方時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.如圖，有一塊扇形草地，已知半徑為，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn)、在弧上，且線段平行于線段.（1）若點(diǎn)為弧的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形的面積；（2）當(dāng)在弧上何處時(shí)，矩形的面積最大？最大值為多少？20.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為60°，直線交雙曲線于、兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若過(guò)原點(diǎn)，為雙曲線上異于、的一點(diǎn)，且直線、的斜率、均存在，求證：為定值；（3）若過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)，是否存在軸上的點(diǎn)，使得直線繞點(diǎn)無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有MA?MB=0成立？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都與它的前一項(xiàng)的差都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，且，，，求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）是否存在首項(xiàng)為1的等差數(shù)列為“數(shù)列”，且其前項(xiàng)的和滿足？若存在，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知等比數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“數(shù)列”，，，當(dāng)數(shù)列不是“數(shù)列”時(shí)，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由.參考答案及其解析一.填空題1.32.3.4.35.16.7.8.9.10.111.12.【第10題解析】改編自2015年上海高考理18當(dāng)時(shí)，直線方程無(wú)限趨近于直線，直線與圓在第四象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，當(dāng)時(shí)，無(wú)限趨近于點(diǎn)，因此，極限實(shí)際上就是圓上一點(diǎn)處切線的斜率，計(jì)算得斜率為1．【第11題解析】，，∴為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中，為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中，又與互為反函數(shù)，∴關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，由于，∴．【第12題解析】由題意，得，∴，兩邊取常用對(duì)數(shù)，得，∴是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴，從而，又，∴，∴，∴．二.選擇題13.A14.C15.C16.D【第15題解析】設(shè)橢圓上一點(diǎn)，其中且，則，∴，∴，選C．【第16題解析】即與的圖像有且僅有3個(gè)不同的交點(diǎn)．時(shí)，，；時(shí)，；時(shí)，；如圖，易得，選D．三.解答題17.（1）；（2）.18.（1）和；（2）.19.（1）如圖，作于點(diǎn)H，交線段CD于點(diǎn)E，連接OA、OB，∴，…2分∴，，∴…4分.…6分（2）設(shè)…7分∴，∴…9分…11分∵，∴…12分∴即時(shí)，13分，此時(shí)A在弧MN的四等分點(diǎn)處，答：當(dāng)A在弧MN的四等分點(diǎn)處時(shí)，…14分20.（1）由題意得：…2分解得：…3分∴雙曲線的方程為…4分（2）證明：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則由對(duì)稱性知點(diǎn)坐標(biāo)為…5分設(shè)，則…7分，得…8分∴…10分（3）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立消得：，∴得且……12分設(shè)、∵M(jìn)A?MB…14分假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得MA?MB=0∴對(duì)任意的恒成立，∴，解得．∴當(dāng)時(shí)，．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由及知結(jié)論也成立綜上：存在，使得MA?MB21.（1）由題意得：，…1分，即，…3分解不等式得：；…4分（2）假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求，設(shè)公差為，則，由，得，…5分由題意得：對(duì)均成立，即：對(duì)均成立，……7分∵，且，∴，與矛盾，∴這樣的等差數(shù)列不存在．…10分（3）設(shè)數(shù)列的公比為，則，∵的每一項(xiàng)均為正整數(shù)，且，∴，且，∵，即：在中，“”為最小項(xiàng)，同理，在中，“”為最小項(xiàng)，…11分由為“型數(shù)列”，可知只需，即，又∵不是“型數(shù)列”，且“”為最小項(xiàng)，∴，即，