初二八年級數(shù)學題目匯總

16.1二次根式

知識梳理

1.理解二次根式的概念；理解及有意義的條件；會根據(jù)二次根式有意義的條件求被開

方數(shù)中字母的取值范圍；

2.理解二次根式的基本性質(zhì)；知道等式成立的條件；會利用二次根式的性質(zhì)化簡二次根

式：

3.經(jīng)歷歸納等式=時的過程；體會數(shù)學知識之間的聯(lián)系及其表達形式的轉(zhuǎn)換.

二.例題精講

例題1.設x是實數(shù)，則當x滿足什么條件時，下列各式有意義？

(1)V77T；⑵、仁二(3)正工

V3x-lx

解析：在實數(shù)范圍內(nèi)正有意義的條件是。20,所以在含有一個字母的二次根式中，

求這個字母的取值范圍一般是根據(jù)被開放數(shù)是非負數(shù)列出不等式或不等式組求解.

解答：(1)不論X是什么實數(shù)都有X20,則f+1〉。，

所以當X是任意實數(shù)時，+1有意義;

-211

(2)由-----20以及3x—1H0,可知3x—l與一2同號，得x<—,所以當x<一時,

3x-l33

-----有意義;

3x-l

1-3x>011

(3)由《得—且xHO,所以當xW—且XH0時,

說明：本題主要是依據(jù)二次根式々有意義的條件，即a20.但需注意，討論二次根式

的被開方數(shù)中字母的取值范圍時，不要誤解為被開方數(shù)只能取正值，而忽略了零也是可

以取的值.在求字母取值范圍時，一般先列出不等式或不等式組，在求解.如果被開方數(shù)

的分母中含有字母，不要忘了分母不能為零這個條件.

例題2.化簡：(1)V25X2(X>o)；(2)J(3.14-萬尸；(3)y/x2-10x+25(x>5).

解析：應用行=同進行計算或化簡時要注意G的取值范圍.

解答：(1)VW=|4x|,?.?%>0,/.|4x|=4x;即原式=|4x|=4x.

(2)J(3.14—萬>=[3.14—舛,3.14<%,.?.|3.14—1|=-(3.14—3)=.一3.14；

即原式=[3.14-/=%一3.14.

(3)x~-1Ox+25=—5)'=|x—5|x>5,.'.|x—5|=x-5.即原式

=yj(x-5)2=|x-5|=x-5

說明：為了避免錯誤一般先把廂化為同，然后根據(jù)。的正負去掉絕對值，這樣做可

以避免計算V7時發(fā)生符號上的差錯.但它們的結(jié)果都是非負數(shù).

例題3.化簡：(1)J-27/；(2)J—(^>0)；(3)—----(%>1).

V16xxVx2-2x+l

解析：當被開放數(shù)含有平方因數(shù)或分母時要化簡.

解答：(1)V-27a3=V-32a2-3a=-3a4-3a；

,c、X-l/x5x-\IX4Xx-\X2.、

(3)——J-......=——J-------=---------Vx(x>1).

xvx2-2x+1x\(x-1)-xx-1

說明：化二次根式為最簡二次根式要滿足兩個條件：

(1)被開放數(shù)中各因式的指數(shù)都為1；

(2)被開放數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，即根號內(nèi)不含分母.

三.達標訓練

1.填空題

(1).代數(shù)式J2x-1中x的取值范圍是.

(2).代數(shù)式中x的取值范圍是

X

(3).計算：7(-67=；(一2&)2二當x<0時,V?=

|\,府,-5，茄中最簡根式為

(4).在一Jo.5,-Jab，,

2

2.選擇題

(5).下列各式中一定是二次根式的是()

D.sfa(a>0).

B.

)

(7).先化簡再求值：+其中x=1.69.

四.拓展提高

(8).將下列二次根式化成最簡二次根式:

b4

⑴.一a(2).

a

五.點擊中考

(9).(2009賀州)下列根式不是最簡二次根式的是)

A.;B.V6；c.Vs；D.V10.

(10).(2005長沙)小明的作業(yè)本上有以下四題:

①Jl6a4=4a2；②45axJlOa=5y[2a；

③北—=4a；—42a=Va.

a

做錯的題是-——()

A.①;B.②；C.③；D.

16.2⑴最簡二次根式

知識梳理

1.能概括最簡二次根式，會判別最簡二次根式；

2.將非最簡二次根式化為最簡二次根式，通過化簡二次根式，體會研究二次根式的方法.

二.例題精解

例題1.判斷下列二次根式是不是最簡二次根式：

+10x+25.

解析：判斷是否最簡二次根式，看被開方數(shù)是否符合兩個條件：

(1)被開方數(shù)中各因式的指數(shù)都為1;(2)被開方數(shù)不含分母.

解答：(1)745=79x5=375；(2)-4是最簡二次根式;

(3).I-；(4)yJx2+10x+25=J(x+5)2=x+5.

V18V18x26、

例題2.把下列二次根式化為最簡二次根式：

(1),4"[(a>0)；(2).(a>0)；(3)(x2—y2)(x—y)(x>y>0).

\5a

解析：這三題化簡的關(guān)鍵看被方數(shù)是否存在平方的因數(shù)，是否含有分母.

(1)質(zhì)=可標=6屈；⑵償=甯=等(。>())；

(3)7(X2-y2)(x-y)=J(x_y)2(x+y)=卜一計“+p(x>^>0).

說明：例(1)(2)中的條件(“>0),均是間接得到被開方數(shù)中另一個字母的條件，是隱

含條件，在講解中要給學生講明.

三.達標訓練

1.填空題

(1).當x取10,20,30,40中的時，y/x是最簡二次根式.

(4).化簡：(加一〃)J----(m>n)=.

\m-n

2.選擇題

(5).下列根式中，不屬于最簡二次根式的是-------------------------()

A.yj3ci；B.yj2x+y2.C.-y/5x；D.V9.

3.化簡：

22

(6)yl45xy(x<0);(7)a^(b<0)；

(8)

1爭x>0).

四.拓展提導)：

將下列二次根式化成最簡二次根式

I4+1(10)y/-a3b(a<b).

五.點擊中考

(11),先化簡，再求值：

x2-4x+4/八、廿a二

---------------x(x+2),其中x=j5.

2x-4

16.2⑵同類二次根式

知識梳理

1.理解同類二次根式的意義；

2.掌握同類二次根式的合并.

二.例題精解

例1.下列二次根式中，哪些是同類二次根式:

解析：判別同類二次根式，先把它化成最簡二次根式后，再看被開方數(shù)是否相同.

解答：.——.-----=—>/2；V32=Jl6x2=45/2；

V8V8x24

=5^xy-y2=5y4xy；\/x^y=.孫=x弧.

所以J5,JJJ芨是同類二次根式；5歷?與"豆是同類二次根式.

例2.合并同類二次根式：

(1)1V3-3V5+V12+V2O；(2)y/ah+niy[ab-nyfab.

解析：合并同類二次根式前，先判別是否最簡二次根式，再判別是否同類二次根式.

解答：(1)原式=；6-3后+2百+2石=(；+2)6+(-3+2)指=[百-石;

(2)原式+n)\[ab.

三.達標訓練

1.填空題

(1).在一左,回，我，后，麻中為同類二次根式的是.

(2).若最簡二次根式V6x-5與j7+3x是同類根式，則x=.

(3).若最簡二次根式Ja+2b與折是同類二次根式,則。=；b=.

⑷.計算：6亞+2亞=；2G-6=

(5).計算：—+y/x=；2y[ab——\[ab=.

3---------2---------

2.選擇題

⑹.在＜2》血?,阮」42,點病中，是同類二次根式的有-------()

V2V10

A.一組；B.二組；C.三組；D.四組.

(7).下列各式中，與而石是同類二次根式的是----------------------()

A._+b)~；B.-，2伍+b)；C.-----+b)，；D..---------.

a3a+bNa+b

3.簡答題

(8).計算：4&一V3+^-+—V2；(9).ifW：—Vx--Vx--VxVx；

322484

(10).計算：g+2.

四.拓展提高

(11).當a取什么最小正整數(shù)時，J5a+3與G是同類二次根式.

(12).已知J3nl+(和'"劃薪是同類二次根式,求加，〃的值.

五.點擊中考

(13).(2007上海)在下列二次根式根式中,與正是同類二次根式的是--(---)

A.q2a；B.,3。-；C.必；D.Va7

16.3(1)二次根式的加減法

知識梳理

1.類比整式加減運算，歸納二次根式的加減過程；

2.在掌握最簡二次根式和同類二次根式基礎上進行二次根式加減.

二.例題精解

例1.計算：(1)2加一半；(2)4后-(回+2后)一3A.

解析：二次根式的加減法類似于整式加減法，整式加減法歸結(jié)為合并同類項，二次根式

的加減法歸結(jié)為合并同類二次根式.

解答：(1)原式=2x371—：啦=6五一:血=(6-：)夜=，夜；

(2)原式二嗜-(29+6肉—囪=—用.

說明：計算時，注意先把它化簡成最簡二次根式，在例2時，先把小數(shù)化成分數(shù)，再化

成最簡二次根式，而在去括號時，注意符號改變.

例2.計算：⑴.3年+1岳；(2)3商一1歷+V4+獷.

432\y

解析：把各個二次根式化為最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.

a1

解答：(1)原式=—x4>JxH—x3>fx=3Vx+y/~X-45/x;

43

(2)原式=3y/^-+2y6.

2y'

說明：在化簡時，注意被開方數(shù)中的分母放到根號外，仍是分母.

三.達標訓練

1.填空題

(1).計算：30+a=,2V400-V1000=,-V18+—=.

——34~

(2).計算：V50+V18+V8=,V48-V27-V12=.

2.選擇題

(6).A+2G-6的計算結(jié)果是

A.y/3；B.1；C.573；D.65/3-J75.

(7).J萬+J石減去30+2G所得的差是()

A.負數(shù);B.大于1的數(shù);C.I；D.小于1的數(shù).

3.簡答題

(8).V75+2j5--3Vi08-8j-；(9).X^J——y[^x.—gy/9x—2y.

33

(10).解不等式：3aL有Y

四.拓展提高

(11).己知：a=拒-瓜b=5+也,求4%+。/的值.

(12).已知x+y=Jj2010+j2009,x—y=Jj2010-J2009，求孫.

五.點擊中考

(13).(2009.山西)計算g一6=

(14).(2009.湖北)計算：&+J；-2

16.3(2)二次根式的乘除

知識梳理

在讓學生掌握乘除運算法則的基礎上，正確表達運算過程.

4a?4b-Vab(a0,b20)；^^=$(aN0,bNO)

例題精解

例1.計算：⑴』加x5血；(2)Sj-X-y/2;

164

—\jab~+2yla2b.

5

解析：利用二次根式乘法法則和除法法則計算.

解答：(1)原式LX5V^=*X4=10；(2)M^=8xix-V2=-V2；

22442

(3)原式=(1-—V2；(4)原式=，＞＜」.,加+a,b--4ab-

2,333525a

說明：在計算時，被開方數(shù)能開盡方的，先把它開出來，在做除法時特別注意把系數(shù)相

除，系數(shù)為1時，別遣漏.

例2.計算：(1)布+石；(2)“_寺+

解析：第2題中在計算時，把(x-y)看成一個整體.

解答：(1)原式=J15+3XG=石＞底

⑵原式二…三乒=*=〒….

說明：在例1時，學生注意不能先算6x6,導致錯誤，應先左后右，而例2中(x-y)

是多項式，計算時看成一個整體且注意條件.

三.達標訓練

1.填空題

(l).x/3xV6=(2)-V12xV48=_

⑶;痣義3五=

_;(4)Ja%x」2abs=

22

(5)j26-10=;(6).(。-2>

(7).V24-5-V2=；(8)VO^4H-7O7=

(9).g聞+；行=1

_;(io).-

a

'9

a喈2X.；(叫］X

2.選擇題

(13).下列運算中，正確的是------------------------------------------(:

(/).(。+而了=/+(岳y=/+2。；(5).(373+V2)(3V3-V2)=9-2=7；

(。).-12v7+4月=-38.

(C).(>/^-Ja+1)(V^+a+1)=-1

3.簡答題

/、1(15).4\/^+(-5小1?；

(14).-X

3

(16).(V6-1)(72+V3)；

(18).-7^-(

b23Va

..,1d1—2。+yjci~—2。+1,,..

(19).已知。=-，求----------------彳-------的值.

y/3Q—1Cl"—Cl

四.拓展提高

(20).化筒復合二次根式：二次根式中套疊著二次根式的式子叫做復合二次根式，配方

法是化簡復合二次根式的重要方法.

如:,7-2c

原式=J12_2xlx(由2

=-^(1—V6)-=|1Vd|—V6-1.

727+1072

原式=行+2x5x6(五)2

=7(5+V2)2=7(5+V2)2=5+VI

請按照上面的方法化簡下列各式：

(1).75-276;(2).79+475.

五.點擊中考

(21).(2005上海).計算：(72+1)(72-1);

(22).(2008南通).計算：(3V18+|V50-4^1)-732.

16.3(3)分母有理化

知識梳理

1.理解有理化因式的概念，掌握二次根式加減乘除及混合運算.

2.兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這

兩個含有二次根式的非零代數(shù)式互為有理化因式.

3.2J3的有理化因式為五；Ja-2的有理化因式為Ja—2；

a4x+b-Jy的有理化因式為a&+b-Jy.

二.例題精講

例L把下列各式分母有理化：

)，二」―

(1)一」「；⑵4.：加(3

V2—V3

五+百及+百=一6一6

解答：(1)原式=(向2_(揚27"

(V2-V3)(V2+V3)

(2)原式二1一眄6(472-710)_126-3M

(472+710)(472-710)22―n

(a-b)(&+4b)=("份(&+〃)=&+%

原式=

(y/a—>Jb)(yJa+4b)a-h

或原式=+

\JU—yJb

說明：形如。4±b6的有理化因式往往選取。正不bQ,利用平方差公式

(a4x+b-y/y)(a4x-b-Jy)-cTx-b'y.

41

例2.計算：+^_.

V5V5-1

原式考+常樂1

解答:+-.

542?04

說明:解此類問題可以先通分，也可以先進行分母有理化，然后在計算.因此在解題時

要根據(jù)實際情況選用方法.

三.達標訓練

1.填空題

⑴..(2).y[Z+b的有理化因式是.

V3-1

(3).&+%的有理化因式是.(4).V3-V2的倒數(shù)是.

13-2上

⑸.分母有理化---7==______________；------7==_________-

1+V23+2V3

(6).-3—+V18-4J-=.(7).方程(4一J7)x=9的解是__________.

V2-1V2

(8).(V3-l)x>2的解是.

3.簡答題

(9)(4A/48-3V27)-V3；(10)(而-4岳)x(一兩;

、146(12)(V3+3V2)2；

（11）五一后工；

2c+3亞m+n/、

(15)(16)—f=——-j=(in/7)；

2y[a—3y[hNn17rl

也x-y/~5y=V3

(17)V5(x—y/~5)=V3(x+V3)；(18)<

V5x-y[3y=V5

四.拓展題

(19)x、y分別為8—JTT的整數(shù)部分和小數(shù)部分，求29一/的值.

,._,VTo_3.Vw+3-Vub/j1土

(20)已知ci=]—，b=-7=,求[——：的值.

710+3Vio—3L+:+11

16.3（4）混合運算

知識梳理

1.理解分母有理化的意義；

2.掌握對分母僅是一個二次根式的代數(shù)式的分母有理化;

3.掌握二次根式的加減乘除混合運算.

二.例題精解

例1.計算：(1).(2)。一；(3)中

VCI-Vh—2Ctyjh-hyjCl

解析：熟悉有理化因式并熟練運用因式分解.常見的有理化因式有人與八;

(y/a-&)與(日+y[b).

解答：(1)原式，(pM]叵廠=&+&

或者a-b_(Ja)2-(-Jb)2_r-[7

坡11-尸尸'一尸~r=-Vci+7b.

yja-y/hyja-yjh

石+2

（2）原式==V3+2；

(V3-2)(>/3+2)

場詆2_函)2](-Ja+y/b)(-Ja—yjh)

⑶原式=—yfa+y[b.

y/ab(-Ja—y/b)Vo_yfb

說明：例1（1）可以用分母有理化，也可以把a-b化成（、5）2-（、歷了再因式分解約分,

例1（3）也是利用同樣的方法，特別注意利用公式4=（、5）2伍＞0）.

例2.計算：（1）（而——絲=）+叵心；（2）解方程：2不X-6G=36X.

a-}-yjaba-b

/、,a^Jah+abah、\[ab-b

解答：⑴原式=(------產(chǎn)--------尸)+

a+y/aha+y/aha-b

a4abab-ab+8)(6-a\[ab\[a+\[b_

--------/=---x

a+daby/b(\[a-\/b)五(五+而XU="；

⑵2底-6百=3氐，3氐-2氐=-6百，x=--V15

說明：在做例2⑴時，特別注意盡量先化簡，同時會把。+旅化成(后產(chǎn)+奴,

能提出公因式J石，在例2(2)解方程過程中，注意二次根式的分母有理化的應用.

三.達標訓練

1.填空題

,但24a—h

⑶.N計算：行正=——萬=——'不存=

22

、tg、m-n3x—3Ja+1+Jt—1

(4).計算中心：[-----

\m+nyjx—1Ja+1—Ja=1

⑸?計算:空留a+b-2y[ab

y/~Q-y[b

2.選擇題

(6).后一1的有理化因式是-----------------------------------------()

(A)#;(5).1-V5；(Q.1+V5；(D)#-1.

(7).下列各式中，不是互為有理化因式的是一一()

(A)—-1與Ja—1；(B).y/5~與->/5—V2；

(C).Va一6與一yfci+4b；(D)aG+b6與aG-by[y.

(8).下列各式中，分母有理化錯誤的是--------------------------------(

1

(A).-r-F=V3-V2；

V3+V2

----=y1~5-2.

<5+2

3.簡答題

(9).計算：V3-V2X—^-(724+712).

3-V2

1236

(10).計算:

5-V13V13-V104+V10

(11).當x=0'時，求代數(shù)式+的值.

y/x+1<X

(12).解不等式：VTi(y-1)>2s/3(y+1)-373.

(13).已知：x=_」7=_/_廣,求(x+2)(y+2)的值.

V5+V3V5-V3

四.拓展提高

(14).比較店+后與后+療的大小.

五.點擊中考

X+1/1+工2

(15).(2009.遼寧)先化簡，再求值:——.(1一一；一)，其中x=V2+1.

x2x

二次根式章節(jié)訓練

選擇題（每題2分，共12分）

1.已知：x=—j=-,y=2+A/3,那么x與y的關(guān)系是....................（）

A/3—2

A.x=y；B.x=-y；C.x——；D.x----.

yy

2.J/，+Y_a）等于...............................................（）

A.0；B.2。；C.—2a；D.-2.

3.下列二次根式中最簡二次根式為.................................（）

A.y]9x；B.J，；C.yj3c12b；D.Xx?—3.

4.下列說法中正確的是...............................................（）

A.最簡根式一定是同類根式；B.任何兩個根式都可以化為同類二次根式；

C.Jd+V不是最簡二次根式；D.任何根式都可以化為最簡根式.

5.下列式子中一定成立的是...........................................（）

A.^224-32=2+3=5；B.Nab=y[a-y[b；

C.J(-5)(-6)=y/~5xV6；D.J(-2)(-3)=J-2xJ-3.

6.下列各取值范圍內(nèi)的數(shù)能使有意義的是..................（）

A.x>1；B.x>8；C.x<8；D.x<1.

二.填空題（每題2分，共24分）

7.當x時二次根式用受有意義.8.后一1的倒數(shù)是

9.化簡：|,（3aV2^）2=.

2

10.分母有理化：』=___________1_1.(VX+77)(VX-77)=

3V5

12.V50—Vs—

13.比較大?。?后_35,-3A/2_-2V3.

14.后-2后的有理化因式為.

15.當x_______時，二次根式阜=有意義.

V5-x

16.最簡二次根式，2加一1與J34—3〃？是同類二次根式,則m=

17.當x的取值范圍是______—時，二次根式J3—2x在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

18.如果(百一2)x<l,則X_____________?

三.計算題(每小題5分，共40分)

19.(1)2VO5+V18--—；(2)3A/18X—yfi-5-2,y/~6;

6

J(4)

(3)V3+V12-3V18+7V2海-2aB8品

八,、3V2+V3⑵閨-(-4

20.(1)—----；

2V3+V2258

2

(3)(Vx+y[y)2—(y/-x—Jy)；(4)(64-2V3(3y/2—1).

四.解答題（每小題8分，共24分）

21.計算：.（4一6）+（&+后）一.+/?-新）wb）.

22.化簡：x+Vx~—4x+4.(x<2).

2x+y[xy+3y

己知x-2j^-l5y=0,求

23.的值(x>0fy>0).

x+^xy-y

24.己知4-血的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b.

（1）求a,b的值；（2）計算：aT+bT的值.

ylX2—4+4—X2+1

25.已知實數(shù)滿足》=二一”,求2x—3y的值.

x-2

26.已知實數(shù)a滿足|2010-a|+Ja-2011=a,求代數(shù)式。—201（）2的值

V2+Vs

27.化簡:

V10+V14+V15+V21

17.1一元二次方程的概念

知識梳理

1.一元二次方程的概念：

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式：

任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以化成a?+hx+c=O(a,b,c是常數(shù)，aH0)的

形式，這種形式叫做一元二次方程的一般式.其中a/,bx,c分別叫做二次項、一次

項和常數(shù)項，。力叫做二次項系數(shù)和一次項系數(shù).

二.例題精講

例題1.下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？

2

(1)2x~+3~=9；(2)(x—30)(x+3)=x~—x；(3)----2=0

X2

(4)3x-2y—2；(5)3x?+2y+2=2y.

解析：判別一個方程是不是一元二次方程，首先要看它是不是整式方程，如果是整式方

程，那么可把方程進行整理，若得到的方程只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是

2次，則原方程就是一個二次方程.本題中(2)整理后得到的方程式不是一元二次方程;

(5)整理后得到的方程式是一元二次方程.

解答：只有(1)和(5)是一元二次方程，其他的都不是一元二次方程.

例2.將下列關(guān)于x的一元二次方程化成一般形式，再寫出它的二次項系數(shù)、一次項系

數(shù)及常數(shù)項.

(1)6x?=3x+2；(2)x?—a(3x—2a+b)—b~=0.

解析：一元二次方程的一般形式是：等號左邊是關(guān)于未知數(shù)的降塞排列，右邊是0,方

程(2)中的a,6均為常數(shù).

解答：(1)移項，得6萬2-3%一2=0,二次項系數(shù)是6,一次項系數(shù)是-3,常數(shù)項是-2.

(2)去括號，合并同類項，得*—3ax+2a2—ab—/=0,二次項系數(shù)是1,一

次項系數(shù)是一3a,常數(shù)項是2a2一外―

三.達標訓練

1.填空題

(1).一元二次方程的一般形式是..

(2).在下列方程中：3X2=2X,2x-3xy=5yJ。，ax、3x+l=0(a是常數(shù))，=4,是一元

二次方程的是一.

2

(3).當機時,方程(加2-1)X一(〃?+i)x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程.

(4).把下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項及各項的系數(shù)：

①.2X2+1=5X;

一一般式：_______________

二次項為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項.

②.2x(x+l)=3x-3

一般式：

二次項為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項.

2.選擇

(5).一元二次方程(x+3?+2(x+3)+4=0的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是()

A.1,2,4；B.1,2,10；C.1,8,19；D.以上都不是.

四.拓展提高

(6).如何構(gòu)造一個一元二次方程，使它的兩個根分別是5,-8?

(7).寫出一個一元二次方程，使這個方程的一個根是-1,它的二次項系數(shù)是3.

五.點擊中考

(8).(2007,蘭州)下列方程中是一元二次方程的是-------------------()

A.2x+l=0；B.y2+x=l；C.x3+l=0；D.—+x2=1.

x

(9).(2007,武漢)如果2是一元二次方程x2=c的一個根，那么常數(shù)c是一-()

A.2；B.-2；C.4；D.-4.

17.2(1)一元二次方程的解法一一開平方法

一.知識梳理

如果一元二次方程的一邊含有未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是一個非負數(shù)的常數(shù)，那

么就可以直接用開平方法求解，這種方法適合(x+h)2=k(k20)的形式求解.

(1)直接開平方法的依據(jù)是平方根的定義及其性質(zhì)，直接開平方法使用于解：①形如

x2=k(k20)的方程；②形如(x+h)2=k(k20)的一元二次方程.根據(jù)平方根的定義可知，

x+h是k的平方根，當k20時，x+h=±4,x=-h±6,當k〈0時方程沒有實數(shù)根.

(2)對于一般形式下的一元二次方程就不能直接應用開平方法求解.

二.例題精講

例1.用直接開平法求下列方程：(1h2-9=0；(2)4(X-2)2-36=0

解析：用直接開平方法解方程，可先將方程化成左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊

是非負數(shù)的常數(shù)形式，在根據(jù)平方根的定義求解.

解答：⑴移項,得娛9,開平方，得*=±3,所以xi=3,xz=-3.

(2)移項,得4(x-2)J36,(x-2)J9,得X-2=±3,所以XI=5,X2=-1.

三達標訓練

1.填空題

⑴.若方程(X-1)2+6=0有解，則b的取值范圍是.

2.選擇題

(2).要使一元二次方程ax?+b=0有實數(shù)根的條件是-------------------()

A.a0,6>0；B.。。0,6<0；

C.且。、b異號或b=0；D.a0,b<0.

(3).下列方程能用開平方法解的是-----------------------------------()

A.(x+3)~+4=0；B.x~+l=O；

C.=8；D.(x++3=0.

(4).方程、2+c=0的根是--()

A.無解;B.0；C.±J—c；D.±C7或無解.

3.用開平方法解下列方程

(5)4x2-16=0；(6)25y2—64=0；

(7)(1+X)2-16=0；(8)5(X-3)2=0；

(9)(4X-3)2=9；(10)16(x+2)=81.

四.點擊中考

（11）.（2007,無錫）一元二次方程（xT）J2的解是

17.2(2)一元二次方程的解法——因式分解法

知識梳理

1.因式分解法的定義：運用因式分解的手段求一元二次方程根的方法叫做因式分解.

2.因式分解法的理論依據(jù)是：若兩個因式的積等于零，則這連個因式中至少有一個等

于零，將一元二次方程分解成A-B=0,則A=0或B=0.

3.用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：

(1)將方程右邊化為零：

(2)將方程左邊的二次三項式分解為兩個一次因式的乘積；

(3)令每一個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；

(4)分別解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解.

二.例題精講

例1.用因式分解法解下列方程：

(1)(x-3)(x-5)=0；(2)13x=x、36；(3)8x(x+5)-3(x+5)=0；(4)9(x+l)-(2x+l)=0.

解答：(l)x-3=0或x+5=0,得x=3或x=-5；

(2)X2-13X+36=0,(X-4)(X-9)=0,即x-4=0或x-9=0,得x=4或x=9；

(3)方程左邊提取公因式(x+5),得(x+5)(8x+3)=0,即x+5=0,8x+3=0,得x=-5或x=-3/8；

(4)方程左邊利用平方差公式分解因式，得

[3(x+1)]2-(2X+1)2=0,[3(x+l)+(2x+l)[3(x+1)-(2x+l)]=0,

即3(x+l)+(2x+l)=0或3(x+D-(2x+l)=0,

分別解這兩個一元一次方程，得x=-4/5或x=-2.

三達標訓練

1.用因式分解法解下列方程：

(Dx(xT)=0；(2)x-3x+2=0；

(3)x+2x-48=0；⑷x(x-4)-5(x-4)=0；

⑸4(X-1)2-9(X-2)2=0；(6)2X2-3X-5=0.

四.拓展提演)

(7).如果(x'+y>)(x2+yJ-l)-12=0,求x'+y'的值.

(8).aABC的三邊a、b、c的長度是r-7*+6=0的解，求aABC的周長.

17.2（3）一元二次方程的解法——配方法

知識梳理

1.“配方”的意義.

2.配方法解方程的步驟.

二.例題精講

例L方程f+8x=0可用因式分解法，那么能用開平方法解方程嗎？

解析：觀察方程的左邊/+8x,它與（x+4）2的展開式相差一個常數(shù)16,如果在方程

兩邊同時加上16,那么方程f+8x=（）可化成（X+4）2=16,再利用開平方法，得

x+4=4或x+4=-4,所以原方程根為弟=0,%2=—8.

解答：/+8X+16=0+16,（X+4）2=16,X+4=±4,所以X=0或X=—8.

/.原方程的根為=0,X2=-8.

說明：配方法解一元二次方程狽2+bx+c=0（。H0）的一般步驟：

（1）先把二次項系數(shù)化為1;方程兩邊同除以二次項系數(shù)；

（2）移項：把常數(shù)項移到方程右邊；

（3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把原方程化成（x+〃?）2=〃的形式;

（4）當〃）0時，用直接開平方的方法解變形后的方程.

例2.用配方法解下列方程：（1）X2-4X=1；（2）3f-6x-8=0.

解析：方程（1）的右邊為常數(shù)，左邊是二次項和一次項，且二次項系數(shù)為1,如果左邊

添上“一次項系數(shù)一半的平方”這一項，當然方程的右邊必須同時添上這一項，這是應

用等式的性質(zhì)，保持方程的同解性，這樣左邊就是含X的完會平方式，此時右邊只要是

非負常數(shù)，這樣的“二項式”就用開平方法來解.方程（2）中，先把常數(shù)項右移，再

把二次項系數(shù)化為1,就可按解（1）的步驟方法來解.

解答：（1）在原方程兩邊同時加上4,得X2-4X+4=5,

由（*-2）2=5得x-2=后或％_2=_石，

解得x=2+yf5或2-75,

所以原方程的根是，%,=2+75,x2=2-75.

Q

(2)把常數(shù)項右移，兩邊同時除以3,得X2-2X=-,

3

Q11

由/-2x+l=?+l得(x-l)2=w，

兩邊開平方得x—1=畫或x-l=-叵

33

所以原方程的根是

三.達標訓練

1.填空

(1).x-+lx+()=()2；

⑵.--3x+