2023北京導(dǎo)數(shù)專題匯編

海淀期中文科18.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.答案18.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，---------------------------------------------------------------------2分由得.-------------------------------------------------------------------1分隨的變化如下：2+0↗極大值↘--------------------------------------------------------------------------------2分所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.------------------1分（Ⅱ）由得,.-------------------------------------------------------------------1分令，因?yàn)椋獾?-----------------------------------------------1分=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，------------------------------------------------------------1分所以;---------------------------------------------------------------------1分=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上的情況如下：010+↘極小值↗----------------------------------------------------------------------------------------2分所以，---------------------------------------------------1分綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.-------------1分海淀期中理科19.（本小題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在最小值.海淀期末理科已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線存在斜率為的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，在上存在極小值.答案19.（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）由得.由已知曲線存在斜率為的切線，所以存在大于零的實(shí)數(shù)根，即存在大于零的實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.（Ⅱ）由，，可得當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，若，，若，，所以此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（Ⅲ）由及題設(shè)得，由可得，由(Ⅱ)可知函數(shù)在上遞增，所以，取，顯然，，所以存在滿足，即存在滿足，所以在區(qū)間上的情況如下：0↘極小↗所以當(dāng)時(shí)，在上存在極小值.（本題所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）海淀一模18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（Ⅰ）判斷是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍.答案18.（本小題滿分13分）解：法1：（Ⅰ）由可得函數(shù)定義域?yàn)椋?由得.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，所以的變化如下表：0↘極小值↗當(dāng)時(shí)，，的變化如下表：00↗極大值↘極小值↗綜上，是函數(shù)的極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn).（Ⅱ）易知，由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以有恒成立；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以不等式不能恒成立；所以時(shí)有在區(qū)間上恒成立.法2：（Ⅰ）由可得函數(shù)定義域?yàn)?，令，?jīng)驗(yàn)證，因?yàn)?，所以的判別式，{說明：寫明也可以}由二次函數(shù)性質(zhì)可得，1是的異號(hào)零點(diǎn)，所以1是的異號(hào)零點(diǎn)，所以是函數(shù)的極值點(diǎn).（Ⅱ）易知，因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞減，所以有恒成立；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以不等式不能恒成立；所以時(shí)有在區(qū)間上恒成立.海淀二模19.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：存在實(shí)數(shù)使.答案19.（本小題滿分13分）解：（Ⅰ），因?yàn)榍€在處的切線與直線垂直，所以切線的斜率為2，所以，所以.（Ⅱ）法1：當(dāng)時(shí)，顯然有，即存在實(shí)數(shù)使；當(dāng)時(shí)，由可得，所以在時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減；時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增所以是的極小值.由函數(shù)可得，由可得，所以，綜上，若，存在實(shí)數(shù)使.