中學數(shù)學實驗教材

中學數(shù)學實驗教材

摘要：由算術(shù)到代數(shù)是第一個重大轉(zhuǎn)折.關(guān)鍵在于...全套教材共分六冊,第一冊是代數(shù),在...除在代數(shù)課中加強理論和論證因素以外,在...(三)教學結(jié)構(gòu)應當是完整性與發(fā)展性的...關(guān)鍵詞：代數(shù),性類別：專題技術(shù)來源：牛檔搜索（Niudown.COM）

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使學生得以重視基本概念、基本原理的理解和運用，使學生靈活運用“通性”解決問題，改變套公式的思維習慣；使學生用“通性”作根據(jù)進行運算，養(yǎng)成“言必有據(jù)”的習慣，滲透論證因素，訓練學生思維的嚴密性；在運用“數(shù)系通性”進行數(shù)與式的運算時不是靠機械計算而是告弄懂算理來掌握算法，從而提高了思維素質(zhì)，縮短了熟練過程，這樣做雖然有一定的難度，但學生興趣甚濃，克服困難反倒成了調(diào)動學生積極性的誘因。經(jīng)過“集合與簡易邏輯”實現(xiàn)從實驗幾何到論證幾何的過渡也是可行的，可取的。在歐幾里得之前已經(jīng)積累了大量的幾何知識，歐幾里得的功勞主要是對這些幾何知識作了邏輯上的整理，選定公理，把定理排列起來加以邏輯的證明，把幾何變成一個精彩的嚴密的體系，把幾何，以致把整個數(shù)學推進到新的階段，由非論證推進到論證數(shù)學，起了劃時代的作用。學生的學習也要經(jīng)過這一個轉(zhuǎn)折。歷來學生感到學習幾何開頭難，在這個轉(zhuǎn)折時期學生開始分化，一部分轉(zhuǎn)過頭來跟上去了，一部分轉(zhuǎn)不過來就掉下隊來。學生感到幾何開頭難，主要難在不習慣數(shù)學（幾何）語言，不會表述；不熟悉圖形，不善于從復合圖形中看出基本圖形；不習慣方法：實驗歸納方法，邏輯證明方法。《實驗教材》針對這個轉(zhuǎn)折的主要困難，除在代數(shù)課中加強理論和論證因素以外，在幾何課中采取了兩個措施：設(shè)“實驗幾何”和設(shè)“集合與簡易邏輯”兩章，以便順利地實驗從實驗幾何到論證幾何的過渡，實驗幾何在解決幾何入門難的問題上起了良好的作用。學生從經(jīng)驗與趣味中走入論證，非常自然、諧調(diào)，確實起到了“啟蒙、探源、奠基”的作用。實驗幾何與“幾何緒論課”和“直觀幾何”都不相同，它不僅僅是一個開場白，又不在內(nèi)容上求全，在學習論證幾何時沒有什么重復之感。它的主要特色是：①對原始概念的描述比較樸實確切，如把點說成是位置的抽象，線是通路的抽象……等，一開始就使學生認識幾何概念源出客觀事物的形象，可以消除學生對幾何的“玄妙”感覺，同時對學生進行語言表述的訓練，使學習習慣于幾何幾何語言。②引導學生觀察出一些基本性質(zhì)，而且還滲透了一些推證通法，如從線段相等直到圖形全等，始終抓住“疊合法”，用樸素的反證法思想推證“兩相交直線確定一交點”，用演繹法推證“對頂角相等”……等等，在習題里也重視說理。這樣，對論證幾何確實起到了“起飛跑道”的作用?！凹吓c簡易邏輯”在轉(zhuǎn)折中也起了良好作用。學習了集合的知識有利于學生對圖形性質(zhì)的理解與掌握，有利于學生對有關(guān)要領(lǐng)的理解與掌握；學習了必要性、充分性、充要條件，有助于學生對有關(guān)判定定理、性質(zhì)定理的理解與掌握；學習了這一章，還為以后學習軌跡帶來了不少方便；學習了這一章的內(nèi)容，有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，從而有利于提高分析問題和解決問題的能力。華東師大二附中初二實驗班一學生談本章學習收獲時說：學了“集合與簡易邏輯”對改進數(shù)學學習方法起了積極的促進作用。知道了“定義”里的條件是充分必要的，就懂得了從定義出發(fā)的證明；“集合與簡易邏輯”不但對理解和運用數(shù)學概念有很大的幫助，而且在論證幾何的思路分析方面，也起了重要的鋪墊作用，從結(jié)論出發(fā)找充分條件，從已知條件出發(fā)找必要條件，從而縮短已知條件與結(jié)論的距離。這樣還找不到論題的途徑時，還可以改證原命題的等價命題；“集合與簡易邏輯”在學習其它學科的時候，也發(fā)揮了獨特的作用。為了定量地說明集合、邏輯和論證之間的相關(guān)性，實驗組孫瑞清同志對實驗數(shù)據(jù)作了相關(guān)分析，得到下表：序號所取變量相關(guān)系數(shù)置信系數(shù)相關(guān)關(guān)系①x1和x2Υ12=0.4184=0.01相關(guān)極顯著②x2和x3Υ23=0.2723=0.1相關(guān)顯著③X1和x3Υ13=0.2035=0.1相關(guān)不顯著④x2和x3Υ231=0.3321=0.05相關(guān)顯著表中變量X1表示“集合“，X2表示“簡易邏輯”，X31為“三角形”，X32為“四邊形”X33為“相似形”，X3為X31，X32，X33的均值。從表上可以看出，“集合”對“邏輯”有很大的作用（見①），而“邏輯”對論證也是顯相關(guān)的（見②）。（二）數(shù)學結(jié)構(gòu)應當是知識教學與能力訓練的統(tǒng)一。歷來，教材主要是傳授知識的范本，而能力僅僅是在使學生獲得這些知識的過程中自然形成。這樣設(shè)計的教學結(jié)構(gòu)對傳授知識是有利的，但對培養(yǎng)能力的要求不明確，措施不系統(tǒng)，不便作為培養(yǎng)能力的依據(jù)，能否使我們的教材突破這一模式，使學生在系統(tǒng)獲得知識的同時，也能比較系統(tǒng)地提高能力？在教學結(jié)構(gòu)上恰當?shù)靥幚砗弥R教學和能力訓練的關(guān)系，將是一件很有意義的事。《實驗教材》在這一方面作了一點嘗試，從實驗效果來看，有兩點是應該肯定的。第一點要強調(diào)讓學生掌握完整的、系統(tǒng)的、理論性的知識體系；第二點要突出基本數(shù)學思想與數(shù)學方法的教學?！秾嶒灲滩摹繁容^注意讓學生掌握完整的、系統(tǒng)的、理論性的知識體系。學生不掌握完整的、系統(tǒng)的、理論性的知識體系，而只了解一些支離破碎的知識片斷，當然不能期望他獲得真正的數(shù)學能力。所以理論性的知識體系的掌握是形成數(shù)學能力的前提?！秾嶒灲滩摹方Y(jié)構(gòu)比較清晰，脈絡(luò)清楚，系統(tǒng)性、理論性強，不支離破碎，如代數(shù)教材，從體系上看，它表現(xiàn)了以原理為基礎(chǔ)，以方法為工具的結(jié)構(gòu)，它以數(shù)與式的概念、原理（通性）為經(jīng)，以數(shù)與式的運算方法（通法）為緯；從層次看，它基本上按“數(shù)一方程一式一方程一函數(shù)”的層次逐步演講，教材顯得順理成章，層次分明，環(huán)環(huán)相扣，其中多項式理論、方程、函數(shù)、不等式，每一塊知識都比較系統(tǒng)、完整、理論處理也比較徹底，說理清楚，這樣可以避免混亂，不致糊涂，有利于學生學習。傳統(tǒng)的教學強調(diào)低年級兒童主要是進行具體的、形象的思維，與此相聯(lián)系的是只強調(diào)感性認識，整形中強調(diào)直觀，致使學生的認識長期停留在表面的、孤立的、零碎的感性認識階段，很難形成抽象概念。實驗證明，不能低估兒童的抽象思維能力，只要在教學中適當引導，他們的抽象思維能力就能發(fā)展起來，掌握系統(tǒng)的理論知識，兒童具有很大潛力，實驗還證明，加強理論性很有好處，因為強調(diào)說理使學生不但知其然，而且知其所以然，克服簡單重復、硬性模仿、機械套用公式的的壞習慣；強調(diào)說理，對培養(yǎng)低年級學生抽象思維和推理論證能力大有好處，讓學生掌握了理論結(jié)構(gòu)、知識體系并能應用它去解決問題才能算真正掌握了這部分知識，感性認識有待于上升到理性認識。只是把有理數(shù)計算法則、解方程的步驟記住會用，不能算真正懂得了有理數(shù)和方程，只有明確了計算法則的依據(jù)，即算理和解方程的基本原理，才能真正理解法則和步驟，才算真正掌握了有理數(shù)和方程。這里還有一個如何鞏固知識、培養(yǎng)能力的問題，要讓學生解放思想、鍛煉思維、開闊視野、廣中求深，在循環(huán)中鞏固，要以新帶舊、恰當掌握練習量。傳統(tǒng)的教學對鞏固性原則理解得有些片面，認為鞏固知識、技能、技巧的最重要的方法就是重復，因此多次單調(diào)復習舊課和做機械的練習，形成動型和條件反向。尤如訓練運動員。一個動作重復做千百次，才會“熟能生巧”。因此用“大運動量，題海戰(zhàn)術(shù)”?？傊?，指導思想是重技巧，輕思維。通過我們的實驗，在數(shù)學教學中，對這種指導思想基本上是否定的。因為數(shù)學訓練中更重要的是思維訓練，而不是技巧訓練。不通過思維的那種條件反射只能是某種類似于速算的絕技。而我們需要培養(yǎng)的是思想活躍、思維敏捷、視野開闊的人，而不是會某種絕技的機器。我們從實驗體會到，教學要不斷以各方面內(nèi)容豐富的知識來充實學生的頭腦，從知識的廣度來求得知識的深度。比如一元一次方程和多元一次方程組同時出一，學生考慮問題時靈活，解題方法多樣，可以避免死記硬套公式。又如學了待定系數(shù)法，余式定理等，分解因式，多項式求值，求根等路子就廣了，方法就多了。有理數(shù)運算學習中，學了“數(shù)系通性”，弄清了算理，雖然習題量減少了（如《實驗教材》“有理數(shù)系”一章的例、習題占通用教材本章例、習題的55%），但計算能力仍然達到了要求，學生要獲得鞏固的知識，單靠簡單重復是難以達到目的的。因為所傳授的知識只是零散的、沒有形成廣泛的知識體系，雖然多次重復，仍然不易鞏固，必須從增加感性經(jīng)驗，認識現(xiàn)象的本質(zhì)聯(lián)系和解決實際任務(wù)這三個主要方面安排學生的活動，才有利于知識的理解及其運算，方程，待定系數(shù)法等知識能以比較鞏固地掌握和靈活地運用，就是因為《實驗教材》作了以新帶舊，經(jīng)常應用，循環(huán)鞏固的安排?！秾嶒灲滩摹愤€突出基本數(shù)學思想與數(shù)學方法的教學。這也是把知識教學與能力訓練統(tǒng)一起來的重要一環(huán)。“知識是一種過程，而不是一種結(jié)果。”只是把知識作為一種結(jié)果灌給學生，學生腦子里只堆積一些死知識，是難以轉(zhuǎn)化為能力的，只有把知識看作一個過程。弄清它的來龍去脈，掌握思想脈絡(luò)，學生的數(shù)學才能才會發(fā)展起來。成功的教學不僅教會學生知識，而且要教會學生學習，即不僅要學生“學會”，而且要學生“會學”，會獨立、主動去獲取已有知識，會創(chuàng)造性地探索新的知識。要學生“會學”數(shù)學，就必須讓學生掌握基本數(shù)學思想和方法，會“數(shù)學地”提出問題，思考問題，解決問題，基本的數(shù)學思想和數(shù)學方法是“人人能懂，到處有用”的大道理，學生掌握了數(shù)學思想和方法就等于掌握了“萬能”鑰匙。所以，在教材和教學中突出基本數(shù)學思想和數(shù)學方法，是解決知識教學和能力訓練統(tǒng)一的有效措施?！秾嶒灲滩摹芬婚_始就有用符號（字母）表示數(shù)的基本思想和方法，從用字母表示數(shù)到字母表示未定元，表示待定系數(shù)，到換元、設(shè)輔助元，再到有f(x)表示式表示函數(shù)，到變量代換等字母的使用與變換是一套基本的代數(shù)方法。列方程、解方程的方法是解決已知量與未知量之間的等量關(guān)系的一類基本代數(shù)方法。從列方程解應用問題開始，以后的待定系數(shù)法，根和系數(shù)關(guān)系的研究，甚至解不等式，函數(shù)定義域的確定，極值的求法等等都可以作為這一套方法的推廣。分離系數(shù)法、輾轉(zhuǎn)相除、余式定理等內(nèi)容，《實驗教材》都作為通法而十分強調(diào)。集合的思考方法，在幾何和代數(shù)中都十分重視，在初一代數(shù)中滲透了建立代數(shù)結(jié)構(gòu)的初步思想。比如強調(diào)了數(shù)集合多項式集合關(guān)于加法、乘法的封閉性等。在幾何教學中突出了軌跡和交軌法作圖等內(nèi)容，在這些內(nèi)容的處理了都注意集合論基本思想的灌輸，經(jīng)常訓練學生從考慮具體的數(shù)學對象到考慮對象的集合，進而考慮分類等一系列問題。邏輯的方法。從初中代數(shù)第一冊開始就滲透了論證的因素，要求根據(jù)“數(shù)系通性”說明一些運算法則，出現(xiàn)過樸素的反證法思想，到第二冊較系統(tǒng)地介紹了簡單邏輯知識，掌握了推理格式，明確了充分條件，必要條件，充要條件的概念和四種命題的關(guān)系。然后在論證幾何中自覺地加以運用，這對學生邏輯思維能力的提高大有好處。函數(shù)的思考方法。考慮運動變化、相依關(guān)系、對應，由研究狀態(tài)過渡到研究過程。函數(shù)的概念從一年開始就有滲透，初中二年級已有三角函數(shù)的初步概念，初三正式研究各種函數(shù)，使學生的思想由表態(tài)發(fā)展到動態(tài)，掌握圖象分析與解析分析相結(jié)合的方法。分解和組合的方法。代數(shù)中的數(shù)字拆補，式子的拆補項，配方、配公式等基本方法，幾何中的圖形的割補，分離和組合等思想方法也是常用的數(shù)學方法，在教學中有意識地加以訓練。此外，對數(shù)學問題的分析和綜合、轉(zhuǎn)化、推廣、限定（一般化、特殊化）、遞推、存在性、唯一性、類比、不完全歸納法、數(shù)學歸納法、處理不等關(guān)系時加強與減弱等基本的數(shù)學思想方法都分別得到強調(diào)。（三）教學結(jié)構(gòu)應當是完整性與發(fā)展性的統(tǒng)一教學結(jié)構(gòu)如前所述，應當是完整體系，不能支離破碎，但是它又不應當是一個封閉系統(tǒng)，而應當是發(fā)展性的系統(tǒng)，就是說應當具有若干和大學課程和實際應用的聯(lián)系點、結(jié)合部、或者說