2019年山東省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-專題04-三角形-(解析版)

專題04三角形一、選擇題1．（2019山東棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（）A．45° B．60° C．75° D．85°【答案】C．【解析】解：如圖，∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，∴∠CGF＝∠DGB＝45°，則∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，故選：C．2．（2019山東淄博）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D為BC邊上的一點(diǎn)，且∠CAD＝∠B．若△ADC的面積為a，則△ABD的面積為（）A．2a B．a(chǎn) C．3a D．a(chǎn)【答案】C．【解析】解：∵∠CAD＝∠B，∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴，即，解得，△BCA的面積為4a，∴△ABD的面積為：4a﹣a＝3a，故選：C．3．（2019山東青島）如圖，BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，垂足為F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分線，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故選：A．4．（2019山東臨沂）如圖，D是AB上一點(diǎn)，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝FE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝4，CF＝3，則BD的長(zhǎng)是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1．故選：B．5．（2019山東棗莊）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】B．【解析】解：∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線，∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，則，即，解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），故選：B．6．（2019山東泰安）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（）km．A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30【答案】B．【解析】解：根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，如圖，過B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，故選：B．7．（2019山東聊城）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，將三角尺繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180° C．OE+OF＝BC D．S四邊形AEOF＝S△ABC【答案】C．【解析】解：連接AO，如圖所示．∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，選項(xiàng)A正確；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，選項(xiàng)B正確；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四邊形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝S△ABC，選項(xiàng)D正確．故選：C．8．（2019山東淄博）如圖，在以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形紙片ABC中，將B角折起，使點(diǎn)B落在AC邊上的點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，C重合）處，折痕是EF．如圖1，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα1＝；如圖2，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα2＝；如圖3，當(dāng)CD＝AC時(shí)，tanα3＝；……依此類推，當(dāng)CD＝AC（n為正整數(shù)）時(shí)，tanαn＝．【答案】．【解答】解：觀察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n+1，分母與勾股數(shù)有關(guān)系，分別是勾股數(shù)3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n+1，，中的中間一個(gè)．∴tanαn＝＝．故答案為：．9．（2019山東濱州）如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正確；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性質(zhì)得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正確；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如圖所示：則∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正確；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)；故選：B．二、填空題10．（2019山東棗莊）如圖，小明為了測(cè)量校園里旗桿AB的高度，將測(cè)角儀CD豎直放在距旗桿底部B點(diǎn)6m的位置，在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53°，若測(cè)角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：過D作DE⊥AB，∵在D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角為53°，∴∠ADE＝53°，∵BC＝DE＝6m，∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m，∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝7.98+1.5＝9.48m≈9.5m，故答案為：9.511．（2019山東德州）如圖，一架長(zhǎng)為6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)測(cè)得∠ABO=70°，如果梯子的底端B外移到D，則梯子頂端A下移到C，這時(shí)又測(cè)得∠CDO=50°，那么AC的長(zhǎng)度約為米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）

【答案】1.02．【解析】解：由題意可得：∵∠ABO=70°，AB=6m，∴sin70°=≈0.94，解得：AO=5.64（m），∵∠CDO=50°，DC=6m，∴sin50°=≈0.77，解得：CO=4.62（m），則AC=5.64-4.62=1.02（m），答：AC的長(zhǎng)度約為1.02米．故答案為：1.02．12．（2019山東臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點(diǎn)，DC⊥BC，則△ABC的面積是．【答案】8．【解析】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長(zhǎng)CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面積＝2S△BCD＝2××4×2＝8，故答案為：8．13．（2019山東棗莊）把兩個(gè)同樣大小含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，且另外三個(gè)銳角頂點(diǎn)B，C，D在同一直線上．若AB＝2，則CD＝．【答案】﹣．【解析】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝，∵兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝，∴CD＝BF+DF﹣BC＝+﹣2＝﹣，故答案為：﹣．14．（2019山東聊城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE為△ABC的中位線，延長(zhǎng)BC至F，使CF＝BC，連接FE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M．若BC＝a，則△FMB的周長(zhǎng)為．【答案】．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC＝a．∵DE是中位線，∴CE＝a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周長(zhǎng)＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝．故答案為．三、解答題15．（2019山東淄博）已知，在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求證：∠E＝∠C．【答案】見解析【解析】證明：∵∠BAE＝∠DAC∴∠BAE+∠CAE＝∠DAC+∠CAE∴∠CAB＝∠EAD，且AB＝AD，AC＝AE∴△ABC≌△ADE（SAS）．∴∠C＝∠E．16．（2019山東菏澤）由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù)．如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時(shí)，測(cè)得小島B位于它的北偏東30°方向，且與航母相距80海里再航行一段時(shí)間后到達(dá)C處，測(cè)得小島B位于它的西北方向，求此時(shí)航母與小島的距離BC的長(zhǎng)．【答案】（120﹣40）海里．【解析】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，由題意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，∴tan60°＝，∴AD＝，在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝+BD＝80，∴BD＝120﹣40，∴BC＝BC＝120﹣40，答：BC的距離是（120﹣40）海里．17．（2019山東聊城）某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量實(shí)驗(yàn)大樓部分樓體的高度（如圖①所示，CD部分），在起點(diǎn)A處測(cè)得大樓部分樓體CD的頂端C點(diǎn)的仰角為45°，底端D點(diǎn)的仰角為30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到達(dá)B處，測(cè)得頂端C的仰角為63.4°（如圖②所示），求大樓部分樓體CD的高度約為多少米？（精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00，≈1.41，≈1.73）【答案】17米．【解析】解：設(shè)樓高CE為x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE?tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AEtan30°＝40×，∴CD＝CE﹣DE＝40﹣≈17（米），答：大樓部分樓體CD的高度約為17米．18．（2019山東臨沂）魯南高鐵臨沂段修建過程中需要經(jīng)過一座小山．如圖，施工方計(jì)劃沿AC方向開挖隧道，為了加快施工速度，要在小山的另一側(cè)D（A、C、D共線）處同時(shí)施工．測(cè)得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的長(zhǎng)．【答案】2km．【解析】解：作BE⊥AD于點(diǎn)E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝2km，即BD的長(zhǎng)是2km．19．（2019山東濰坊）自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對(duì)一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造．如圖2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度為1：；將斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4．求斜坡CD的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】米．【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度為1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度為1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝米，答：斜坡CD的長(zhǎng)是米．20．（2019山東青島）如圖，某旅游景區(qū)為方便游客，修建了一條東西走向的木棧道AB，棧道AB與景區(qū)道路CD平行．在C處測(cè)得棧道一端A位于北偏西42°方向，在D處測(cè)得棧道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木棧道AB的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin32°≈，cos32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cos42°≈，tan42°≈）【答案】134米．【解析】解：過C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于F，則CE∥DF，∵AB∥CD，∴四邊形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°?BD＝80×≈68，BF＝sin32°?BD＝80×≈，∴BE＝EF﹣BF＝，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE?tan42°＝68×＝，∴AB＝AE+BE＝+≈134m，答：木棧道AB的長(zhǎng)度約為134m．21．（2019山東威海）如圖是把一個(gè)裝有貨物的長(zhǎng)方體形狀的木箱沿著坡面裝進(jìn)汽車貨廂的示意圖．已知汽車貨廂高度BG＝2米，貨廂底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面與地面的夾角∠BAH＝α，木箱的長(zhǎng)（FC）為2米，高（EF）和寬都是1.6米．通過計(jì)算判斷：當(dāng)sinα＝，木箱底部頂點(diǎn)C與坡面底部點(diǎn)A重合時(shí)，木箱上部頂點(diǎn)E會(huì)不會(huì)觸碰到汽車貨廂頂部．【答案】不會(huì)觸碰到汽車貨廂頂部，理由見解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝，∴AB＝米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于點(diǎn)J，作EK⊥FJ于點(diǎn)K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部頂點(diǎn)E不會(huì)觸碰到汽車貨廂頂部．22．（2019山東菏澤）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如圖1，連接BE，CD，BE的廷長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)P，求證：BP⊥CD；（2）如圖2，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí)，連接BE，CD，CD的延長(zhǎng)線交BE于點(diǎn)P，若BC＝6，AD＝3，求△PDE的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，即∠BAE＝∠DAC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴∠ABE＝∠ACD，∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°，∴∠CPF＝90°，∴BP⊥CD；（2）在△ABE與△ACD中，，