第5章空間直角坐標系及向量

7.2.2空間直線及其方程一、空間直線的一般方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角四、直線與平面的夾角五、小結思考題定義空間直線可看成兩平面的交線．空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程方向向量的定義：

如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱為這條直線的方向向量．//二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程直線的對稱式方程令直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.直線的參數(shù)方程例1

用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線解在直線上任取一點取解得點坐標因所求直線與兩平面的法向量都垂直取對稱式方程參數(shù)方程解所以交點為取所求直線方程定義直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角兩直線的位置關系：//直線直線例如，解設所求直線的方向向量為根據(jù)題意知取所求直線的方程解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令代入平面方程得,交點取所求直線的方向向量為所求直線方程為定義直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角．^^四、直線與平面的夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的位置關系：//解為所求夾角．及交點。交點

例6

求與兩平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交線平行且過點(-3,2,5)的直線的方程.

平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交線的方向向量就是所求直線的方向向量s.

解

因為所以,所求直線的方程為

x=2+t,y=3+t,z=4+2t,代入平面方程中,得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.解上列方程,得t=-1.

將t=-1代入直線的參數(shù)方程,得所求交點的坐標為

x=1,y=2,z=2.

解

所給直線的參數(shù)方程為

例7

解

例8

的直線的方程.

所求直線的方向向量為

s(122)(212)(110)

過已知點且與已知直線相垂直的平面的方程為

(x2)(y1)2(z2)0

即xy2z7

此平面與已知直線的交點為(122)提示：求出兩直線的交點是關鍵而交點就是過已知點且與已知直線相垂直的平面與已知直線的交點

解

例8

的直線的方程.

所求直線的方向向量為

s(122)(212)(110)

過已知點且與已知直線相垂直的平面的方程為(x2)(y1)2(z2)0即xy2z7

此平面與已知直線的交點為(122)所求直線的方程為分析：

因為A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例,所以對于任何一個l值,上述方程的系數(shù)不全為零,從而它表示一個平面.分析：

對于不同的l值,所對應的平面也不同,而且這些平面都通過直線L,即這個方程表示通過直線L的一族平面.分析：

另一方面,任何通過直線L的平面也一定包含在上述通過L的平面族中.平面束

考慮三元一次方程:

A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.

設直線L的一般方程為

上述方程表示通過定直線L的所有平面的全體,稱為平面束.平面束

考慮三元一次方程:

A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2y+C2z+D2)=0,即(A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l(wèi)為任意常數(shù).其中系數(shù)A1、B1、C1與A2、B2、C2不成比例.

設直線L的一般方程為提示：

我們要在通過已知直線的平面束中找出與已知平面相垂直的平面,此平面與已知平面的交線就是所求的投影直線.提示：

這是平面束的法線向量(1+l,

1-l,

-1+l)與已知平面的法線向量(1,1,1)的數(shù)量積.

(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,即(1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.

為了求得與已知平面x+y+z=0垂直的平面,令

(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,

解

設通過已知直線的平面束的方程為的方程.

例9

即y-z-1=0.

2y-2z-2=0,于是得到與已知平面垂直的平面的方程為解得l=-1.

所以投影直線的方程為

(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0,即(1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.

為了求得與已知平面x+y+z=0垂直的平面,令

(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,

解

設通過已知直線的平面束的方程為