【創(chuàng)新設計】高中數(shù)學蘇教版選修22練習：1.2.1常見函數(shù)導數(shù)(含答案解析)

常有函數(shù)的導數(shù)231明目標、知要點1.能依據(jù)定義求函數(shù)y＝kx＋b，y＝x，y＝x，y＝x，y＝x的導數(shù).2.能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式求簡單函數(shù)的導數(shù)．1．幾個常用函數(shù)的導數(shù)(1)(kx＋b)＝′k(k，b為常數(shù))；(2)C＝′0(C為常數(shù))；(3)(x)＝′1；(4)(x2)′＝2x；(5)(x3)′＝3x2；1(6)(x)＝′－x2；(7)(x)′＝1.2x2．基本初等函數(shù)的求導公式αα1－(8)(x)′＝αx(α為常數(shù))；(9)(ax)′＝axlna(a>0，且a≠1)；11(10)(logax)＝′xlogae＝xlna(a>0，且a≠1)；(11)(ex)′＝ex；1(12)(lnx)＝x′；(13)(sinx)＝cos′x；(14)(cosx)＝－′sinx.[情境導學]在前面，我們利用導數(shù)的定義能求出函數(shù)在某一點處的導數(shù)，出比較簡單的函數(shù)及基本函數(shù)的導數(shù)呢？這就是本節(jié)要研究的問題．研究點一幾個常用函數(shù)的導數(shù)

那么能不可以利用導數(shù)的定義求思慮1如何利用定義求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)？Δy答(1)計算，并化簡；ΔxΔy(2)察看當Δx趨近于0時，趨近于哪個定值；ΔxΔy(3)趨近于的定值就是函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)．Δx思慮2利用定義求以下常用函數(shù)的導數(shù)：①y＝C，②y＝x，③y＝x2，y＝1，⑤y＝x.x答①y′＝0，②y′＝1，③y′＝2x，1－1－1－111Δyx＋Δxx＝④＝Δx，當x→0時，→－2，因此y′＝－x2(其余類同)，Δxx(x＋Δx)x(x＋Δx)x⑤y′＝1.2x思慮3導數(shù)的幾何意義是曲線在某點處的切線的斜率．物理意義是運動物體在某一時刻的剎時速度．(1)函數(shù)y＝f(x)＝C(常數(shù))的導數(shù)的物理意義是什么？(2)函數(shù)y＝f(x)＝x的導數(shù)的物理意義呢？答(1)若y＝C表示行程對于時間的函數(shù)，則y′＝0能夠解說為某物體的剎時速度一直為0，即向來處于靜止狀態(tài)．(2)若y＝x表示行程對于時間的函數(shù)，則y′＝1能夠解說為某物體做剎時速度為1的勻速運動．思慮4在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的圖象，并依據(jù)導數(shù)定義，求它們的導數(shù)．從圖象上看，它們的導數(shù)分別表示什么？這三個函數(shù)中，哪一個增添得最快？哪一個增添得最慢？函數(shù)y＝kx(k≠增0)(減)的快慢與什么有關？答函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的圖象以下圖，導數(shù)分別為y′＝2，y′＝3，y′＝4.從圖象上看，函數(shù)y＝2x，y＝3x，y＝4x的導數(shù)分別表示這三條直線的斜率．在這三個函數(shù)中，y＝4x增添得最快，y＝2x增添得最慢．(3)函數(shù)y＝kx(k>0)增添的快慢與k有關系，即與函數(shù)的導數(shù)有關系，k越大，函數(shù)增添得越快，k越小，函數(shù)增添得越慢．函數(shù)y＝kx(k<0)減少的快慢與|k|有關系，即與函數(shù)導數(shù)的絕對值有關系，|k|越大，函數(shù)減少得越快，|k|越小，函數(shù)減少得越慢．思慮

5

畫出函數(shù)

y＝1x的圖象．依據(jù)圖象，描繪它的變化狀況，

并求出曲線在點

(1,1)處的切線方程．1答函數(shù)y＝的圖象以下圖，11聯(lián)合函數(shù)圖象及其導數(shù)y′＝－x2發(fā)現(xiàn)，當x<0時，跟著x的增添，函數(shù)y＝x減少得愈來愈快；當x>0時，跟著x的增添，函數(shù)減少得愈來愈慢．點(1,1)處切線的斜率就是導數(shù)y′|＝－112＝－1，故斜率為－1，過點(1,1)的切線方程為y＝＝－x＋2.思慮6利用導數(shù)的定義能夠求函數(shù)的導函數(shù)，但運算比較繁瑣，有些函數(shù)式子在中學階段沒法變形，如何解決這個問題？答能夠使用給出的導數(shù)公式進行求導，簡化運算過程，降低運算難度．研究點二基本初等函數(shù)的導數(shù)公式思慮你能發(fā)現(xiàn)7個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式之間的聯(lián)系嗎？答公式11是公式9的特例，公式12是公式10的特例．例1求以下函數(shù)的導數(shù)：π1x3；(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝3；(4)y＝43x(5)y＝log3x.解(1)y＝′0；(2)y＝′(5x)′＝5xln5；(3)y＝′1－3′＝－－4x3′＝(x)3x；(4)y＝′(4x331＝3；3)′＝(x)＝′4x－4444x1(5)y＝′(log3x)＝′xln3.反省與感悟?qū)τ诮滩闹谐霈F(xiàn)的7個基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，要想在解題過程中應用自如，一定做到以下兩點：一是正確理解，如π3是常數(shù)，而常數(shù)的導數(shù)必定為零，就sin＝32ππ不會出現(xiàn)sin3′＝cos3這樣的錯誤結(jié)果．二是正確記憶，靈巧變形．如根式、分式可轉(zhuǎn)變?yōu)橹笖?shù)式，利用公式8求導．追蹤訓練1求以下函數(shù)的導數(shù)：81x；(3)y＝x1x.(1)y＝x；(2)y＝()x；(4)y＝log23解(1)y＝′8x7；1x1＝－(1xln2；(2)y＝′(2)ln22)(3)∵y＝xx＝x3，∴y′＝3x1；22211(4)y＝′1＝－xln3.xln3例2判斷下邊計算能否正確．π求y＝cosx在x＝處的導數(shù)，過程以下：3πππ3y′＝|x3＝cos3′＝－sin3＝－2.解錯誤．應為y′＝－sinx，ππ3∴y′＝|x3＝－sin3＝－2.反省與感悟函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)等于f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值．在求函數(shù)在某點處的導數(shù)時能夠先利用導數(shù)公式求出導函數(shù)，再將x0代入導函數(shù)求解，不可以先代入后求導．追蹤訓練2求函數(shù)f(x)＝lnx在x＝1處的導數(shù)．1解f′(x)＝(lnx)＝′，xf′(1)＝1，∴函數(shù)f(x)在x＝1處的導數(shù)為1.研究點三導數(shù)公式的綜合應用思慮基本初等函數(shù)的導數(shù)公式能夠解決哪些問題？答(1)可求基本初等函數(shù)圖象在某一點P(x0，y0)處的切線方程．知切線斜率可求切點坐標．例3已知直線l:2x－y＋4＝0與拋物線直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧

y＝x2訂交于A、B兩點，O是坐標原點，試求與AOB上求一點P，使△ABP的面積最大．解設P(x0，y0)為切點，過點

P與

AB

平行的直線斜率

k＝

y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0

＝1.故可得P(1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0.因為直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2訂交于A、B兩點，因此AB為定值，要使△ABP的面積最大，只需P到AB的距離最大，故P(1,1)點即為所求弧AOB上的點，使△ABP的面積最大．反省與感悟利用基本初等函數(shù)的求導公式，可求其圖象在某一點P(x0，y0)處的切線方程，能夠解決一些與距離、面積有關的幾何的最值問題，一般都與函數(shù)圖象的切線有關．解題時可先利用圖象剖析取最值時的地點狀況，再利用導數(shù)的幾何意義正確計算．追蹤訓練3點P是曲線y＝ex上隨意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．解依據(jù)題意設平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(x0，y0)，該切點即為與y＝x距離近來的點，如圖．則在點(x0，y0)處的切線斜率為1，即y′＝|xx0＝1.∵y′＝(ex)＝′ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用點到直線的2距離公式得距離為2.1．給出以下結(jié)論：①若y＝13x3，則y′＝－x4；②若y＝313x，則y′＝3x；③若y＝12，則y′＝－2x－3；x④若f(x)＝3x，則f′(1)＝3.此中正確的序號是．答案①③④分析①y＝13＝x－3，x則y′＝－3x－43＝－x4；②y＝311213x＝x，則y′＝·x－≠x；3333③y＝1－2，則y′＝－2x－3x2＝x.④由f(x)＝3x，知f′(x)＝3，f′(1)＝3.∴①③④正確．2．函數(shù)f(x)＝x，則f′(3)＝.答案36分析∵f′(x)＝(x)＝′1，2x3f′(3)＝23＝6.3．設正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是．答案π3π[0，]∪[，π)44分析∵(sinx)＝′cosx，kl＝cosx，∴－1≤k∈[0，π3π4]∪[，π)．l≤1，∴αl44．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為．答案122e分析∵y′＝(ex)＝′ex，∴k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，2即y＝ex－e.當x＝0時，y＝－e2，當y＝0時，x＝1.212S△＝2×1×|－e|＝2e.[呈要點、現(xiàn)規(guī)律]1．利用常有函數(shù)的導數(shù)公式能夠比較簡捷地求出函數(shù)的導數(shù)，其要點是切記和運用好導數(shù)公式．解題時，能仔細察看函數(shù)的構(gòu)造特點，踴躍地進行聯(lián)想化歸．2．有些函數(shù)可先化簡再應用公式求導．如求y＝1－2sin2x的導數(shù)．因為y＝1－2sin2x＝cosx，22因此y′＝(cosx)＝′－sinx.3．對于正、余弦函數(shù)的導數(shù)，一是注意函數(shù)的變化，二是注意符號的變化.一、基礎過關1．以下結(jié)論中正確的個數(shù)為．f(x)＝ln2，則f′(x)＝12；f(x)＝12，則f′(3)＝－2；x27f(x)＝2x，則f′(x)＝2xln2；f(x)＝log2x，則f′(x)＝xln12.答案3分析①f(x)＝ln2為常數(shù)，因此y′＝0，①錯．1上一點P的切線的斜率為－4，則點P的坐標為．2．過曲線y＝x答案1，2或－1，－222分析y′＝1′＝－11x2＝－4，x＝±，x2點坐標為(1，2)或(－1，－2)．223．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，則a的值為．答案4分析f′(x)＝axa－1，f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，a＝4.4．函數(shù)f(x)＝x3的斜率為1的切線有條．答案2分析∵y′＝3x2，設切點為(x0，y0)，則3x02＝1，得x0＝±3，即在點3，3和點339－3，－3處有斜率為1的切線．395．若曲線y＝x－1在點(a，a－1)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a22＝.答案64分析∵y＝x－1，∴y′＝－1x－3，222∴曲線在點113，(a，a－)處的切線斜率k＝－a－222113∴切線方程為y－a－＝－a－(x－a)．222令x＝0得y＝32a－12；令y＝0得x＝3a.∵該切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為13191S＝·3a·a－＝a＝18，∴a＝64.222429在點M(3,3)處的切線方程是．6．曲線y＝x答案x＋y－6＝0分析∵y′＝－92＝＝－1，x，∴y′|x3∴切線方程為y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.7．求以下函數(shù)的導數(shù)：31x2x2－log2x.(1)y＝5x；(2)y＝4；(3)y＝－2sin2(1－2cos4)；(4)y＝log2xx解(1)y＝′(5x3)＝′(x3)＝′3x3－1＝3x－255555＝3.55x21－4－4－14x－54(2)y＝′(x4)′＝(x)＝′－4x＝－＝－x5.x2x(3)∵y＝－2sin2(1－2cos4)＝2sinx(2cos2x－1)＝2sinxcosx＝sinx，2422∴y′＝(sinx)＝′cosx.(4)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)＝′1.x·ln2二、能力提高8．已知直線y＝kx是曲線y＝ex的切線，則實數(shù)k的值為．答案e分析y′＝ex，設切點為(x0，y0)，則y0＝kx0，y0＝ex0，k＝ex0，∴由方程組得ex0＝ex0·x0，∴x0＝1，∴k＝e.19．直線y＝2x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b＝.答案ln2－1分析設切點為(x，y1，∴1＝1，00)，∵y′＝x2x0∴x0＝2，∴y0＝ln2，ln2＝12×2＋b，∴b＝ln2－1.10．求以下函數(shù)的導數(shù)：－1(1)y＝x；(2)y＝x5；(3)y＝ln3；(4)y＝xx3(x>0)．解(1)y＝′7x6.－5－65(2)y＝′(－x)＝′5x＝6.x(3)y＝′(ln3)＝′0.(4)因為y＝x35x(x>0)，因此y＝x，255535xx因此y′＝(x2)＝′2x2－1＝2x2＝2.11．已知f(x)＝cosx，g(x)＝x，求合適f′(x)＋g′(x)的≤0x的值．解∵f(x)＝cosx，g(x)＝x，f′(x)＝(cosx)＝′－sinx，g′(x)＝x′＝1，由f′(x)＋g′(x)≤0，得－sinx＋1≤0，即sinx≥1，但sinx∈[－1,1]，π∴sinx＝1，∴x＝2kπ＋，k∈Z.212.已知拋物線y＝x2和直線x－y－2＝0，求拋物線上的點到直線的最短距離．解依據(jù)題意可知，與直線x－y－2＝0平行的直線作為拋物線y＝x2的切線，對應的切點到直線x－y－2＝0的距離最短，設切點坐標為(x0，x02)，則y′＝|xx0＝2x0＝1，因此x0＝1，因此切點坐標為1，1，224切點到直線x－y－2＝0的距離為1－1－2d＝