精編版必修5-第一章-正弦定理和余弦定理-知識點(diǎn)及典型例題

5定理和余弦定理-知識點(diǎn)及典型例題-如有最新好資料推薦-如有最新好資料推薦侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除-如有精品-如有精品好資料侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除正弦定理和余弦定理要點(diǎn)梳理a b c正弦定理

A B C

2R其中 R是 三角形外接圓的半徑．由正弦定理可以變形為：∶∶＝sin∶nB∶nC；a＝2Rsin，b＝2RsinB，＝2Rsin；sin＝ a，sinB＝ b，sin＝

等形式，以解決不同的三角形問題．2R 2R三角形面積公式S△AB＝1 1

2R1 abc 12absin可由此計(jì)算 R、r.

bcsin

2acsin

4R

2a＋b＋r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并余弦定理：BC.余弦定理可以變形為：b2c2a2

a2c2b2

a2b2c2sA＝

2bc

，cosB＝

2ac

，cosC＝

2ab .在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問題：已知兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角．情況(2)中結(jié)果可能有一解、二解、無解，應(yīng)注意區(qū)分．余弦定理可解決兩類問題：已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對角的問題；(2)已知三邊問題．基礎(chǔ)自測31．在△ABC中，若 ＝1，＝ 3，＝2π，則 a＝ 1 .3CCb26＝ 10在△C中，若 B＝ 5，＝5，且sC＝ 9，則 B＝ 4或5.10222c6 2( C )222222

．821 C32C.已知兩邊及一對角或已知兩角一，可利用正弦定理解這個(gè)三角形，但要注意解的判斷．a(chǎn): 由正弦定理得

＝ b ， 3＝ 2 ，sinA

sinB

sin

sin45°3∴sin3

2.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.nC 2°°nB2 ；nC 2°°°nB2 .(1)兩可第這樣只需直代入即可．(2)兩和時(shí)另時(shí)要注意討論這是難點(diǎn)應(yīng)引起注意．1c是CC3＋A＝6∵A＋C＝2B，∴B＝π. 由正弦定理知 sinA＝asin3 b 2.二 余

bcosB 2 CcC且s2a（1）B大小；3＋C

c.由余弦定理知：sa2＋b2－

2＋2－b22ac ，s＝－ b 得：cos

2ab .將上式代入cosC

2a＋ca2＋2－b22ac ·

2ab ＝－ b ，＋b－ca2 2 2

2a＋c整理得：a

＋c－b＝－

a2＋2－b2 －c1sB＝ ＝12 2

∴ 2ac 2ac＝－2.3∵B為，∴＝2π.32＝)將＝ 3，＝，＝3π入＝2＋2－2s得2＝＋2－a－2acos，1＝16＝1－＝－2a 1，a＝3∴S1－＝

B 3 3. 2

△ABC 2 4A練2知、、C△ABC的三個(gè)內(nèi)角，其所對的邊分別為、、且 2 .(1)求角A的值； 若a＝2 求△ABC的面積．A 1..

2cos2

s0，得 ＋sA＋sA＝0，即sA＝－2 23∵0<A<π，∴A＝2π.(2)由余弦定理得，3a2＝b2＋－2s，＝2π，則a2＝＋－，又a＝2 3，b＋＝4，3nA＝ 有＝－b，則b＝，故△nA＝ 2三 正、余弦定理的綜合應(yīng)用例 3.在中，abc分別是角ABC的對邊知2

A2C)(aB,2△ABC外接圓半徑為 .2（1）求角 C的大??； （2）求△ABC面積的最大值.解:（1）∵△ABC外接圓半徑為 22 2A2C)(ab)sinB,(2 2

2

(2 2C)2

(ab)2 2B

a2c2

(ab)b,即a2b2c2ab,由余弦定理得：

C

a2b2c2

ab 1C0,)C.33S 33

2ab

2ab 2 3（2） 23CC.2 π

b3CnAn2C3＝，＝，3由余弦定理 2＝a＋b－2bsC得 a2＋b－＝.又C的面積為 3，1 a2＋b2－＝，bn＝ 3，b＝.聯(lián)立方程組

解得 a＝2，b＝2.2 b＝，由 n＋－A＝n2，得 A＋B＋－A＝nsA，即 nBsA＝nAsA，sAnA－nB＝0，s＝0或 nA－n＝0，當(dāng) sA＝0時(shí)，A，＝，C為直角三角形；2當(dāng) n－nB＝0時(shí)，得 nB＝nA，由正弦定理得 a＝b，即C為等腰三角形．C為等腰三角形或直角三角形．思想方法 感悟提高正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的重點(diǎn)，利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系，三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問題．應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A＋B＋C＝π，A＋B＋C＝π中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)．

2 2 2 2正余定理的公式應(yīng)運(yùn)用，正余定理結(jié)合得n2A＝n2B＋nC－nB·nC·A，可以．根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)()定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換．與防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解，所以要進(jìn)行分類討論．過關(guān)精練1△C，＝°，＝4 ，＝4 2則B于( )°或° ° ° 3△ABC中，若則角C的度數(shù)是( ° °或° ° °3在

，bc20,S 5ABC

的外接圓半徑為

，則a

（ ）3．1 ．2 ．3 ． 332在

中，已知b

2,c1,B45,則a等于（ ）66 2262262

1 D． 322在 22

BA

A等于（ ）．0° B．0° C．0° D．0°在

中， a:b:c3:5:7， 則這個(gè)三角形的最大角為（ ）． 3

90

．12

． 6在△ABC中,已知三邊之比a:b:c2:3:4，則

A

B（ ）．1 B ．2 C． 2 D． 12

sin2C

中，邊a

,b,

的角為 A、B、C，且

a3b， （ ）21 2

1 3

2 D． 33 4二、填空題在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC的形狀是 三角形在角△C中，a，b，c為角 A，，C的，且 3a＝2sinA，則角 C＝ .在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A、B、C，且2B= 。三、解答題

A2C

A

B。則角12．(12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A