高中數(shù)學(xué)求值域種方法

求函數(shù)值域的十種方法一．直接法（察看法）：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可經(jīng)過察看獲得。例1．求函數(shù)yx1的值域。【分析】∵x0，∴x11，∴函數(shù)yx1的值域?yàn)閇1,)。【練習(xí)】．求以下函數(shù)的值域：①y3x2(1x1)；②f(x)24x；③yx；yx121，x1,0,1,2。x1【參照答案】①[1,5]；②[2,)；③(,1)U(1,)；{1,0,3}。二．配方法：合用于二次函數(shù)及能經(jīng)過換元法等轉(zhuǎn)變?yōu)槎魏瘮?shù)的題型。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法。例2．求函數(shù)yx24x2（x[1,1]）的值域。【分析】yx24x2(x2)26。∵1x1，∴3x21，∴1(x2)29，∴3(x2)265，∴3y5。∴函數(shù)yx24x2（x[1,1]）的值域?yàn)閇3,5]。例3．求函數(shù)y2x24x(x0,4)的值域?！痉治觥勘绢}中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計(jì)算不如設(shè)：f(x)x24x(f(x)0)配方得：f(x)(x2)24(x0,4)利用二次函數(shù)的有關(guān)知識得f(x)0,4，從而得出：y0,2。說明：在求解值域(最值)時，碰到分式、根式、對數(shù)式等種類時要注意函數(shù)自己定義域的限制，本題為：f(x)0。例4．若x2y4,x0,y0，試求lgxlgy的最大值。【剖析與解】本題可當(dāng)作第一象限內(nèi)動點(diǎn)P(x,y)在直線x2y4上滑動時函數(shù)lgxlgylgxy的最大值。利用兩點(diǎn)(4,0)，(0,2)確立一條直線，作出圖象易得：x(0,4),y(0,2),而lgxlgylgxylg[y(42y)]lg[2(y1)22]，y=1時，lgxlgy取最大值lg2?！揪毩?xí)】2．求以下函數(shù)的最大值、最小值與值域：①yx24x1；②yx24x1,x[3,4]；③yx24x1,x[0,1]；④yx24x1,x[0,5]；yx22x4，x[1,4]；yx22x3。x4【參照答案】①[3,)；②[2,1]；③[2,1]；④[3,6]；[6,73]；[0,2]4三．反函數(shù)法：反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域，利用反函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，求原函數(shù)的值域。合用種類：分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)(即有理分式一次型)，也可用于其余易反解出自變量的函數(shù)種類。例5．求函數(shù)y2x的值域。x1x，從而便于求出反函數(shù)。剖析與解：因?yàn)楸绢}中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出2x反解得xy(,2)U(2,)。y，故函數(shù)的值域?yàn)閤12y【練習(xí)】1．求函數(shù)y2x33x的值域。22．求函數(shù)yaxb，c0,xd的值域。cxdc【參照答案】1．(,2)U(2,)；(,a)U(a,)。33cc四．分別變量法：合用種類1：分子、分母是一次函數(shù)的有理函數(shù)，可用分別常數(shù)法，此類問題一般也能夠利用反函數(shù)法。例6：求函數(shù)y1x的值域。2x5解：∵1x1(2x5)717，y2222x52x522x57，∴y1，∴函數(shù)y1x的值域?yàn)閧y|y1}?！?2x5022x52合用種類2：分式且分子、分母中有相像的項(xiàng)，經(jīng)過該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闉閥kf(x)(k為常數(shù))的形式。例7：求函數(shù)yx2x的值域。x2x1剖析與解：察看分子、分母中均含有x2x項(xiàng)，可利用分別變量法；則有x2xx2x11113。yx1xx1(x12x22)42不如令：f(x)(x1)23,g(x)1(f(x)0)從而f(x)3,。24f(x)4注意：在本題中若出現(xiàn)應(yīng)清除f(x)0，因?yàn)閒(x)作為分母.因此g(x)0,4故y1,1。33另解：察看知道本題中分子較為簡單，可令tx2x111xt的值域，從而可獲得y，求出的值域?！揪毩?xí)】1．求函數(shù)y2x22x3的值域。x2x110]【參照答案】1．(2,3五、換元法：對于分析式中含有根式或許函數(shù)分析式較復(fù)雜的這種函數(shù)，能夠考慮經(jīng)過換元的方法將原函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵蔚氖炝?xí)的基本函數(shù)。其題型特點(diǎn)是函數(shù)分析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，當(dāng)根式里是一次式時，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元。例8：求函數(shù)y2x12x的值域。解：令t12x（t0），則x1t2t2t1(t125，∴y)。224∵當(dāng)t1x3ymax5y2x12x的值域?yàn)?5]。2，即時，4，無最小值?！嗪瘮?shù),84例9：求函數(shù)yx21(x1)2的值域。解：因1(x1)20，即(x1)21。故可令x1cos,[0,]，∴ycos11cos2sincos12sin()1。4∵0,52)1，02sin()1124，sin(44244故所求函數(shù)的值域?yàn)閇0,12]。例10.求函數(shù)yx3x的值域。x42x21解：原函數(shù)可變形為：y12x1x221x21x2可令X=tan，則有2xsin2,1x2cos21x21x2當(dāng)k時，ymax1248當(dāng)k時，y128min4而此時tan存心義。故所求函數(shù)的值域?yàn)?,144例11.求函數(shù)y(sinx1)(cosx1)，x,的值域。122解：y(sinx1)(cosx1)令sinxcosxt，則sinxcosx1(t21)2由tsinxcosx2sin(x)4且x12,2可得：2t22∴當(dāng)t2時，ymax32，當(dāng)t2時，y322242故所求函數(shù)的值域?yàn)?2,32。422例12.求函數(shù)yx45x2的值域。解：由5x20，可得|x|5故可令x5cos,[0,]0當(dāng)時，ymax4104當(dāng)時，ymin45故所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬45,410]六、鑒別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)變成對于x的二次方程F(x,y)0；經(jīng)過方程有實(shí)數(shù)根，鑒別式0，從而求得原函數(shù)的值域，形如ya1x2b1xc1（a1、a2不一樣時為零）的函數(shù)的值域，常用此方法求a2x2b2xc2解。例13：求函數(shù)yx2x3的值域。x2x12解：由yxx3變形得(y1)x2(y1)xy30，x2x1當(dāng)y1時，此方程無解；當(dāng)y1時，∵xR，∴(y1)24(y1)(y3)0，解得111，又y1，∴1y11y33∴函數(shù)yx2x3的值域?yàn)閧y|1y11}x2x13七、函數(shù)的單一性法：確立函數(shù)在定義域（或某個定義域的子集）上的單一性，求出函數(shù)的值域。例14：求函數(shù)yx12x的值域。解：∵當(dāng)x增大時，12x隨x的增大而減少，12x隨x的增大而增大，∴函數(shù)yx12x在定義域(,1]上是增函數(shù)。211211∴y2，22∴函數(shù)yx12x的值域?yàn)?,1]。2例15.求函數(shù)yx1x1的值域。解：原函數(shù)可化為：y2x1x1令yx1,y2x1，明顯y1,y2在[1,]上為無上界的增函數(shù)1因此yy1y2在[1,]上也為無上界的增函數(shù)因此當(dāng)x=1時，yyy有最小值2，原函數(shù)有最大值22122明顯y0，故原函數(shù)的值域?yàn)?0,2]合用種類2：用于求復(fù)合函數(shù)的值域或最值。（原理：同增異減）例16：求函數(shù)ylog1(4xx2)的值域。2剖析與解：因?yàn)楹瘮?shù)自己是由一個對數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：t(x)x24x(t(x)0)配方得：t(x)(x2)24因此t(x)（0,4)由復(fù)合函數(shù)的單一性（同增異減）知：y[2,)。八、利用有界性：一般用于三角函數(shù)型，即利用sinx[1,1],cosx[1,1]等。例17：求函數(shù)ycosx的值域。sinx3解：由原函數(shù)式可得：ysinxcosx3y，可化為：即sinx(x)3yy21xR∴sinx(x)[1,1]即13y1y21解得：224y4故函數(shù)的值域?yàn)?,244注：該題還能夠使用數(shù)形聯(lián)合法。ycosx0，利用直線的斜率解題。cosxsinx3sinx3x12例18：求函數(shù)y的值域。解：由y12x解得2x1y，12x1y∵2x0，∴1y1y110，∴y∴函數(shù)y12x的值域?yàn)閥(1,1)。12x九、圖像法（數(shù)形聯(lián)合法）：其題型是函數(shù)分析式擁有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這種題目若運(yùn)用數(shù)形聯(lián)合法，常常會更為簡單，了如指掌，心曠神怡。例19：求函數(shù)y|x3||x5|的值域。y2x2(x3)解：∵y|x3||x5|8(3x5)，82x2(x5)-3o5x∴y|x3||x5|的圖像如下圖，由圖像知：函數(shù)y|x3||x5|的值域?yàn)閇8,)例20.求函數(shù)y(x2)2(x8)2的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y|x2||x8|上式能夠當(dāng)作數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B(8)間的距離之和。由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，y|x2||x8||AB|10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延伸線或反向延伸線上時，y|x2||x8||AB|10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬10,]例21.求函數(shù)yx26x13x24x5的值域。解：原函數(shù)可變形為：上式可當(dāng)作x軸上的點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(2,1)的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時，ymin|AB|(32)2(21)243，故所求函數(shù)的值域?yàn)閇43,]例22.求函數(shù)yx26x13x24x5的值域。解：將函數(shù)變形為：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可當(dāng)作定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)B(2,1)到點(diǎn)P(x,0)的距離之差。即：y|AP||BP|由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時，如點(diǎn)P'，則組成ABP'，依據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有||AP'||BP'|||AB|(32)2(22261)即：26y26（2）當(dāng)點(diǎn)P恰巧為直線AB與x軸的交點(diǎn)時，有||AP||BP|||AB|26綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?26,26]例23、：求函數(shù)3sinxy的值域.2cosx剖析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式

y2y1，將x2x1原函數(shù)視為定點(diǎn)(2，3)到動點(diǎn)(cosx,sinx)的斜率，又知動點(diǎn)(cosx,sinx)知足單位圓的方程，從而問題就轉(zhuǎn)變?yōu)榍簏c(diǎn)（2，3）到單位圓連線的斜率問題，作出圖形察看易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時獲得，從而解得：評論：本題從函數(shù)自己的形式下手，引入直線的斜率，聯(lián)合圖形，從而使問題獲得巧解。例24．求函數(shù)y1x1x的值域。剖析與解答：令u1x，v1x，則u0,v0，u2v22，uvy，原問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋寒?dāng)直線uvy與圓u2v22在直角坐標(biāo)系uov的第一象限有公共點(diǎn)時，求直線的截距的取值范圍。由圖1知：當(dāng)uvy經(jīng)過點(diǎn)(0,2)時，ymin2；當(dāng)直線與圓相切時，ymaxOD2OC222。因此：值域?yàn)?y2十：不等式法：利用基本不等式ab2ab,abc33abc(a,b,cR)，求函數(shù)的最值，其題型特點(diǎn)分析式是和式時要求積為定值，分析式是積時要乞降為定值，可是有時需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例25.求函數(shù)y(sinx1)2(cosx1)24的值域。sinxcosx解：原函數(shù)變形為：當(dāng)且僅當(dāng)tanxcotx即當(dāng)xk時(kz)，等號建立4故原函數(shù)的值域?yàn)椋篬5,)例26.求函數(shù)y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx當(dāng)且僅當(dāng)sin2x22sin2x，即當(dāng)sin2x2時，等號建立。3由y264可得：8383279y9故原函數(shù)的值域?yàn)椋?3,839十一、多種方法綜合運(yùn)用：例27.求函數(shù)yx2的值域。x3解：令tx2(t0)，則x3t21（1）當(dāng)t0時，yt11，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即x1t21121時取等號，因此0yt2t2）當(dāng)t=0時，y=0。綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋鹤ⅲ合葥Q元