與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法例析

與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法例析安徽省利辛縣教育局督導(dǎo)室夏飛線段的中點(diǎn)是幾何圖形中的一個(gè)特殊點(diǎn)解與中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)果適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線巧地利用中點(diǎn)則是處理中點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵但由于含有中點(diǎn)條件問(wèn)題的輔助線的作法靈活，不少同學(xué)難以掌握。下面就針對(duì)中點(diǎn)問(wèn)題舉例談?wù)剮追N添加輔助線的方法．一遇中找點(diǎn)這種方法常用于解決三角形和梯形的有關(guān)問(wèn)題要連接兩個(gè)中點(diǎn)作中位線利其性質(zhì)．因此，在三角形中，已知三角形兩邊中點(diǎn)，連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)，即可構(gòu)造三角形的中位線；在梯形中，已知梯形兩腰中點(diǎn)，連結(jié)兩個(gè)中點(diǎn)，即可構(gòu)造梯形的中位線．例：圖1，E、F分為、AD的中點(diǎn)，射線BA、EF交點(diǎn)，射線CDEF交點(diǎn)．證：

．分：接AC并取其中點(diǎn)P，構(gòu)造，證明可得證．證：接AC，取AC的點(diǎn)P，連接PE、PF

，再利用中位線的性質(zhì)即∵為BC的中，∥，，同理PF∥CD，∵，∴

．，，

由∥，

，由PF∥CD，得．說(shuō)：知三角形一邊的中點(diǎn)或梯形一腰的中點(diǎn)，常過(guò)中點(diǎn)作中位線．二遇中作線這種方法常用于解決直角三角形或等腰三角形的有關(guān)問(wèn)題是運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線或等腰三角形底邊上的中線性質(zhì)此遇到直角三角形斜邊上的中點(diǎn)或等腰三角形底邊上的中點(diǎn)，應(yīng)聯(lián)想到作中線．例如eq\o\ac(△,，)ABC中高為的中點(diǎn)證．分：△中現(xiàn)了ADC和eq\o\ac(△,Rt)ADB這兩個(gè)直角三角形因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，即題目中有中點(diǎn)與直角三角形的條件．按照“遇到中點(diǎn)找中點(diǎn)”的方法，可取△ADC斜邊AC的中點(diǎn)（或AB的點(diǎn)），連接EF，即eq\o\ac(△,得)ABC的位線；再依據(jù)“遇到中點(diǎn)作中線”的方法，連接，即得到eq\o\ac(△,Rt)ADC斜AC上的中線，然后只要證明即可．證：AC的點(diǎn)，連接EF、．∵、F分為BC、AC的點(diǎn)，∴∥AB，∵AD高，∴△ADC是直角三角形．

．

又∵F為邊AC的點(diǎn)，∴

，．由∥，得又∵，．

．∴．說(shuō)：一點(diǎn)是直角三角形斜邊的中點(diǎn)或等腰三角形底邊的中點(diǎn)，則應(yīng)常想到作中線．三遇中倍線這種方法是指若中出現(xiàn)由中引出的線段應(yīng)常想到成倍延長(zhǎng)這一線段可解題提供更為廣闊的思路．例：圖3在ABC中已知D為BC邊點(diǎn)⊥ED于D交ABAC于F、E．求證：．分：證的線段、、EF間沒(méi)有明顯關(guān)系。但點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故應(yīng)考慮倍長(zhǎng)ED倍長(zhǎng)FD也可）到點(diǎn)，連結(jié)BG、FG則：BGD△CED所以則，樣就把

，又因?yàn)镕D⊥，

BFCE、轉(zhuǎn)到了△中，再利用三角形三邊關(guān)系即可證得結(jié)．證：長(zhǎng)ED到G使

．∵點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，∴

，又∵∴△BGD△CED∴；在△中，

，∵

，⊥，∴，在△中，∴．

，說(shuō)：倍長(zhǎng)線段”法在解題過(guò)程中有著很重要作用，通過(guò)倍長(zhǎng)相應(yīng)的線段，再結(jié)合相應(yīng)的條件可得到全等三角形從而可轉(zhuǎn)移角但須注意它的使用前提是已知條件中存在著線段的中點(diǎn)．四遇中，結(jié)為例時(shí)常中作行在解決有些幾何問(wèn)題中盡遇了中點(diǎn)但證明的結(jié)論是比例式此時(shí)可考慮過(guò)中點(diǎn)作平行線．例：圖，過(guò)△ABC的點(diǎn)任一直線，與邊中線AD分交于點(diǎn)F、E．求證：．

分：AD是線，則D為的點(diǎn)，要證明的結(jié)論為比例式，且AED又在一個(gè)三角形內(nèi)D點(diǎn)DM∥AB是△BFC的位線

時(shí)又可證得AEF∽△DME則有結(jié)論成立．證：點(diǎn)作∥交CE于M，則：．

，接下去利用等量代換即可證得∵

，∥AB，∴，是△的位線，∴．在△AEF與△DME中，，，∴△∽△DME，

∴，∴即

，．[注此例也可按照“遇到點(diǎn)找中點(diǎn)”的方法，取中點(diǎn)M，后接DM．]說(shuō)：點(diǎn)是圖形中的特殊點(diǎn)，中線、中位線是三角形中特殊線段，在解題中，如果能靈活運(yùn)用與它們相關(guān)的性質(zhì)，巧作輔助線，可使許多問(wèn)題迅速得到解決．五遇線垂平線的，常這點(diǎn)線的點(diǎn)接起由線段垂直平分線上的點(diǎn)線段兩端點(diǎn)的距離相等以可根據(jù)這一性質(zhì)定理，若遇到線段垂直平分線上的點(diǎn)常這一點(diǎn)與線段的端點(diǎn)連接起來(lái)往使問(wèn)題變得簡(jiǎn)便，從而順利證得結(jié)論成立．例如設(shè)P是邊ABC的邊任一點(diǎn)連接AP作AP中垂線交、ACMN．證：．分：接PM、PN因?yàn)镸N是AP的垂線，所以

，，eq\o\ac(△,則)MPNMAN，于是有

．又由于有△BPM△，是可證得．

，可得：，是

證明：連接PM、．在△MPN與△MAN中∵M(jìn)N是AP的垂線，∴

，，是共邊，∴△MPN≌△MAN），∴又∵

，∴

，∴△BPM，∴．從上述幾例含有中點(diǎn)條件的問(wèn)題可以看出三角形中