優(yōu)選教案：人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)2.3.2圓的一般方程

2.3.2圓的一般方程本節(jié)課選自《2019人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》第二章《平面解析幾何》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)圓的一般方程。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圓的一般方程，發(fā)現(xiàn)圓的方程特點(diǎn)，即為特殊的二元二次方程。明確圓的一般方程的特點(diǎn)，掌握?qǐng)A的方程的算法。在這一過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想和方程思想，形成用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題的能力。同時(shí)，由于圓也是特殊的圓錐曲線，因此，學(xué)習(xí)了圓的方程，就為后面學(xué)習(xí)其它圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ)。也就是說(shuō)，本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用，具有重要的地位。坐標(biāo)法不僅是研究幾何問(wèn)題的重要方法，而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法。通過(guò)坐標(biāo)系，把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn).B.會(huì)將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.C.能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小.D.能根據(jù)某些具體條件,運(yùn)用待定系數(shù)法確定圓的方程,并能解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題.E.結(jié)合具體實(shí)例,初步了解二元二次方程、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程之間的關(guān)系.1.數(shù)學(xué)抽象：圓的一般方程及其特點(diǎn)2.邏輯推理：圓的方程的充要條件3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：待定系數(shù)法求圓的一般方程4.數(shù)學(xué)建模：由圓的幾何條件寫(xiě)出圓的一般方程重點(diǎn)：掌握?qǐng)A的一般方程及其特點(diǎn)難點(diǎn)：根據(jù)條件求圓的一般方程多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-1)2一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-可以化為x2+這個(gè)方程中，如果令D=-2a,E=-則這個(gè)方程可以表示成:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F為常數(shù)),稱(chēng)為圓的一般方程。二、探究新知分別判斷2x2+2y2-是否是圓的方程，然后總結(jié)出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圓的方程的充分條件。一般地，x2+y2+Dx+Ey+F=0?1.已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

解析:D2+E2-4F=1+1-4m>0,得m<12答案:-∞,2.方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的圖形是.

解析:由題意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0,所以x=0或x=1所以方程表示的圖形為直線x=0或點(diǎn)(1,-1).答案:直線x=0或點(diǎn)(1,-1)3.若一個(gè)二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓,則系數(shù)A,B,C,D,E,F應(yīng)滿足什么條件?應(yīng)滿足的條件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.二、典例解析例1已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解:(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由題意,得22+2故△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F.例2.若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求實(shí)數(shù)m的取值范圍,并寫(xiě)出圓心坐標(biāo)和半徑.解:由表示圓的條件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,解得m<15即實(shí)數(shù)m的取值范圍為-∞,1圓心坐標(biāo)為(-m,1),半徑為1-1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法(1)由圓的一般方程的定義,D2+E2-4F>0成立,則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征進(jìn)行判斷.應(yīng)用這兩種方法時(shí),要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0這種標(biāo)準(zhǔn)形式,若不是,則要化為這種形式再求解.2.對(duì)于一般式方程表示圓求參類(lèi)問(wèn)題,也要將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程,再將其轉(zhuǎn)化為不等式(方程)的求解問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(-∞,1) B.(1,+∞)C.(-∞,0) D.(-∞,1](2)當(dāng)圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面積最小時(shí),m的取值是()A.4 B.3C.2 D.1解析:(1)因?yàn)閤2+y2-4x+2y+5k=0表示圓,則16+4-4×5k>0,所以k<1.(2)∵圓C:x2+y2-4x-2my+2m=0,∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,從而對(duì)于圓C的半徑r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以當(dāng)m=1時(shí),r2取得最小值,從而圓C的面積πr2在m=1時(shí)取得最小值.答案:(1)A(2)D例3試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱(chēng)的曲線C'的方程.由題意可得x+x因?yàn)镻(x0,y0)在圓C上,所以x02+y02-x0解:(方法一)設(shè)P'(x,y)為所求曲線C'上任意一點(diǎn),P'關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.化簡(jiǎn),得x2+y2+4x-3y+5=0,即曲線C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.(方法二)特殊對(duì)稱(chēng)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C',圓心C12,-1關(guān)于直線l:x-y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為因此所求圓C'的方程為(x+2)2+y-1.求圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)對(duì)稱(chēng)的圓的方程,首先要找出圓心C(a,b)關(guān)于點(diǎn)P(x0,y0)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),得到對(duì)稱(chēng)圓的圓心,半徑不變,即得所求圓的方程.2.求圓關(guān)于直線mx+ny+p=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程,只需求出圓心關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可.跟蹤訓(xùn)練2若圓x2+y2-2kx-4=0關(guān)于直線2x-y+3=0對(duì)稱(chēng),則k等于()A.32 B.-32 C.3 D.解析:由題意知直線2x-y+3=0經(jīng)過(guò)該圓圓心.因此將圓心(k,0)代入直線方程得k=-32答案:B金題典例已知定點(diǎn)A(a,2)在圓x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范圍.錯(cuò)解:∵點(diǎn)A在圓外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.錯(cuò)因分析本題錯(cuò)解的根源是僅利用了點(diǎn)在圓外的條件,而忽略了方程作為圓的方程而蘊(yùn)含的a的范圍的限制.總結(jié)歸納：在討論含有參數(shù)的二元二次方程時(shí),一定要明確,只有當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí),二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圓,因此在與其他條件相融合時(shí),一定不要漏掉這一隱含信息.正解:∵點(diǎn)A在圓外,∴a2+4-2a∴a的取值范圍為2,通過(guò)對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整理，開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，提出圓的方程特點(diǎn)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)圓的一般方程的推導(dǎo)，二元二次方程與圓的充要條件的探究，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)方程與曲線的關(guān)系，發(fā)對(duì)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉圓的一般方程的特點(diǎn)及其算法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生掌握運(yùn)用圓的一般方程解決綜合問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.若圓的一般方程為x2+y2+6x+6=0,則該圓的圓心和半徑分別是()A.(1,1),3 B.(1,2),3C.(3,0),3 D.(-3,0),3答案:D2.已知圓的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么經(jīng)過(guò)圓心的一條直線的方程是()A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0解析:圓心坐標(biāo)為(1,-3),檢驗(yàn)知2x+y+1=0過(guò)圓心(1,-3).答案:B3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圓的方程,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

解析:由(-2)2+12-4k>0得k<54答案:-∞,4.已知圓的方程為x2+y2-2x=0,點(diǎn)P(x,y)在圓上,則2x2+y2的最大值為,最小值為.

解析:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],當(dāng)x=0時(shí),2x2+y2取最小值0,當(dāng)x=2時(shí),2x2+y2取最大值8,故2x2+y2的最小值為0,最大值為8.答案:805.已知圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且與y軸交于M,N兩點(diǎn),試求線段MN的長(zhǎng).解:設(shè)圓的一般式方程為:x2+y2+Dx+Ey+F=0,由于圓經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2),x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,則圓心到y(tǒng)軸的距離d=1,半徑r=2,故1-D+F=0,9+3D+F故|M