【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué)(蘇教版選修11)配套練習(xí)：第2章章末總結(jié)(含答案解析)

章末總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一圓錐曲線的定義和性質(zhì)關(guān)于圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形聯(lián)合思想、方程思想聯(lián)合起來(lái)．總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈巧運(yùn)用．例1已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．知識(shí)點(diǎn)二直線與圓錐曲線的地點(diǎn)關(guān)系直線與圓錐曲線一般有三種地點(diǎn)關(guān)系：訂交、相切、相離．在直線與雙曲線、拋物線的地點(diǎn)關(guān)系中有一種狀況，即直線與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn)，兩者在幾何意義上是截然相反的，反應(yīng)在代數(shù)方程上也是完整不一樣的，這在解題中既是一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)十分簡(jiǎn)單被忽略的地方．圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)無(wú)窮湊近時(shí)的極限狀況，反應(yīng)在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即鑒別式等于零；而與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線，是一種特別的情況(拋物線中與對(duì)稱(chēng)軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反應(yīng)在消元后的方程上，該方程是一次的．例2如下圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)．(1)求x1x2與y1y2的值；(2)求證：OM⊥ON.知識(shí)點(diǎn)三軌跡問(wèn)題軌跡是分析幾何的基本問(wèn)題，求解的方法有以下幾種：(1)直接法：成立適合的坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，依據(jù)幾何條件直接追求x、y之間的關(guān)系式．(2)代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)變換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．詳細(xì)地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)知足的曲線的方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系式．(3)定義法：假如所給幾何條件正好切合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y所知足的關(guān)系式時(shí)，借助第三個(gè)變量t，成立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再經(jīng)過(guò)一些條件消掉t就間接地找到了x和y所知足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所形成的曲線的一般方程．例3設(shè)點(diǎn)A、BOM⊥AB，垂足為

是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點(diǎn)O之外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？知識(shí)點(diǎn)四圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱門(mén)，也是圓錐曲線問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)沒(méi)有慣例的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)、定值問(wèn)題必定是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就能夠用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系不受變化的量所影響的某個(gè)點(diǎn)或值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這種問(wèn)題難點(diǎn)的要點(diǎn)就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系等，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量．2例4若直線l：y＝kx＋m與橢圓x＋y＝1訂交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右極點(diǎn))，43A2為橢圓的右極點(diǎn)且AA2⊥BA2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)五圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題，是高考熱門(mén)，主要有以下兩種求解策略：(1)平面幾何法平面幾何法求最值問(wèn)題，主假如運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解．(2)目標(biāo)函數(shù)法成立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題，是慣例方法，其要點(diǎn)是選用適合的變量建立目標(biāo)函數(shù)，而后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確立最值．22例5已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓xy＝1M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求25＋9內(nèi)的兩定點(diǎn)，點(diǎn)MA＋MB的最值．2y2例6已知F1、F2為橢圓x＋2＝1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是過(guò)焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦，求△ABF2面積的最大值．章末總結(jié)要點(diǎn)解讀例1解如下圖，設(shè)雙曲線方程為x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0)．c∵e＝＝2，∴c＝2a.由雙曲線的定義，得|PF1－PF2|＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos60°(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos60)°，即4c2＝c2＋PF1·PF2.①又S△PF1F2＝123，1∴2PF1·PF2sin60＝°123，即PF1·PF2＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，22∴所求的雙曲線方程為x－y＝1.412例2(1)解過(guò)點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線方程為：y＝k(x－2)．把y＝k(x－2)代入y2＝2x，2222＝0，消去y得kx－(4k＋2)x＋4k因?yàn)橹本€與拋物線交于不一樣兩點(diǎn)，故k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝4，x1＋x2＝4＋k2，M、N兩點(diǎn)在拋物線上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16，而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.→→，y2)，（2）證明∵OM(x1，y1)，ON＝(x2→→∴OM·ON＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.→→∴OM⊥ON，即OM⊥ON.例3解設(shè)直線OA的方程為y＝kx(k≠±1，因?yàn)楫?dāng)k＝±1時(shí)，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－x，k從而可求A4p4p、B(4pk2，－4pk)k2，k．于是直線AB的斜率為kAB＝k2，1－k從而kOM＝k2－1k，2k－1∴直線OM的方程為y＝x，①kk直線AB的方程為y＋4pk＝k2－1(x－4pk2)．②將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③2又kx－ky＝x，代入③式并化簡(jiǎn)，222得(x－2p)＋y＝4p.當(dāng)k＝±1時(shí)，易求得直線AB的方程為x＝4p.故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)上．∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．例4證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋m，聯(lián)立x2＋y2＝1，3得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，則x1＋x2＝－8mk2，3＋4k4(m2－3)x1x2＝3＋4k2.3＋4k2－m2>0，即x1＋x2＝－8mk2，3＋4kx1x2＝4(m2－3)3＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2223(m－4k)∵橢圓的右極點(diǎn)為A2(2,0)，AA2⊥BA2，(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.∴3(m2－4k2)＋4(m2－3)＋16mk2＋4＝0.24k23＋4k3＋3＋4k∴7m2＋16km＋4k2＝0，2k22解得m1＝－2k，m2＝－，且均知足3＋4k－m>0.當(dāng)m1＝－2k時(shí)，l的方程為y＝k(x－2)，直線過(guò)定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾．當(dāng)m2＝－2k時(shí)，l的方程為y＝kx－2，直線過(guò)定點(diǎn)2，0，777∴直線l過(guò)定點(diǎn)．例5解因?yàn)锳(4,0)是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)A′為橢圓的左焦點(diǎn)，則A′(－4,0)，由橢圓定義知MA＋MA′＝10.如下圖，則MA＋MB＝MA＋MA′＋MB－MA′＝10＋MB－MA′≤10＋A′B.當(dāng)點(diǎn)M在BA′的延伸線上時(shí)取等號(hào)．因此當(dāng)M為射線BA′與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，(MA＋MB)max＝10＋A′B＝10＋210.又如下圖，MA＋MB＝MA＋MA′－MA′＋MB10－(MA′－MB)≥10－A′B，當(dāng)M在A′B的延伸線上時(shí)取等號(hào)．因此當(dāng)M為射線A′B與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，(MA＋MB)min＝10－A′B＝10－210.例6解由題意，F(xiàn)1F2＝2.設(shè)直線AB方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程2x2＋y2＝2，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，則xA＋xB＝－22k，xA·xB＝－21，k＋2k＋2∴|xA－xB|＝8(k2＋1)k2＋2.1F1F2·|xA－xB|＝22×k2＋1S△ABF2＝22k＋2＝22×11＝2.≤22×k2＋1＋12k2＋1當(dāng)k2＋1＝k1，即k＝0時(shí)，2＋1S△ABF2有最大面積為2.章末總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一圓錐曲線的定義和性質(zhì)關(guān)于圓錐曲線的相關(guān)問(wèn)題，要有運(yùn)用圓錐曲線定義解題的意識(shí)，“回歸定義”是一種重要的解題策略；應(yīng)用圓錐曲線的性質(zhì)時(shí)，要注意與數(shù)形聯(lián)合思想、方程思想聯(lián)合起來(lái)．總之，圓錐曲線的定義、性質(zhì)在解題中有重要作用，要注意靈巧運(yùn)用．例1已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為2，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．知識(shí)點(diǎn)二直線與圓錐曲線的地點(diǎn)關(guān)系直線與圓錐曲線一般有三種地點(diǎn)關(guān)系：訂交、相切、相離．在直線與雙曲線、拋物線的地點(diǎn)關(guān)系中有一種狀況，即直線與其交于一點(diǎn)和切于一點(diǎn)，兩者在幾何意義上是截然相反的，反應(yīng)在代數(shù)方程上也是完整不一樣的，這在解題中既是一個(gè)難點(diǎn)也是一個(gè)十分簡(jiǎn)單被忽略的地方．圓錐曲線的切線是圓錐曲線的割線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)無(wú)窮湊近時(shí)的極限狀況，反應(yīng)在消元后的方程上，就是一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即鑒別式等于零；而與圓錐曲線有一個(gè)交點(diǎn)的直線，是一種特別的情況(拋物線中與對(duì)稱(chēng)軸平行，雙曲線中與漸近線平行)，反應(yīng)在消元后的方程上，該方程是一次的．例2如下圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P(2，0)且斜率為k的直線l交拋物線y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)．(1)求x1x2與y1y2的值；(2)求證：OM⊥ON.知識(shí)點(diǎn)三軌跡問(wèn)題軌跡是分析幾何的基本問(wèn)題，求解的方法有以下幾種：(1)直接法：成立適合的坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x，y)，依據(jù)幾何條件直接追求x、y之間的關(guān)系式．(2)代入法：利用所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)與某一已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，把所求動(dòng)點(diǎn)變換為已知?jiǎng)狱c(diǎn)．詳細(xì)地說(shuō)，就是用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

x、y

來(lái)表示已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)并代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)知足的曲線的方程，由此即可求得所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)

x、y之間的關(guān)系式．(3)定義法：假如所給幾何條件正好切合圓、橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義，則可直接利用這些已知曲線的方程寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．(4)參數(shù)法：當(dāng)很難找到形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)x，y所知足的關(guān)系式時(shí)，借助第三個(gè)變量t，成立t和x，t和y的關(guān)系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再經(jīng)過(guò)一些條件消掉t就間接地找到了x和y所知足的方程，從而求出動(dòng)點(diǎn)P(x，y)所形成的曲線的一般方程．例3設(shè)點(diǎn)A、BOM⊥AB，垂足為

是拋物線y2＝4px(p>0)上除原點(diǎn)O之外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？知識(shí)點(diǎn)四圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題是高考命題的一個(gè)熱門(mén)，也是圓錐曲線問(wèn)題中的一個(gè)難點(diǎn)，解決這個(gè)難點(diǎn)沒(méi)有慣例的方法，但解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是明確的，定點(diǎn)、定值問(wèn)題必定是在變化中所表現(xiàn)出來(lái)的不變的量，那么就能夠用變化的量表示問(wèn)題的直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系不受變化的量所影響的某個(gè)點(diǎn)或值，就是要求的定點(diǎn)、定值．化解這種問(wèn)題難點(diǎn)的要點(diǎn)就是引進(jìn)變化的參數(shù)表示直線方程、數(shù)目積、比率關(guān)系等，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量．2例4若直線l：y＝kx＋m與橢圓x4＋y3＝1訂交于A、B兩點(diǎn)(A、B不是左、右極點(diǎn))，A2為橢圓的右極點(diǎn)且AA2⊥BA2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)五圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題，是高考熱門(mén)，主要有以下兩種求解策略：(1)平面幾何法平面幾何法求最值問(wèn)題，主假如運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解．(2)目標(biāo)函數(shù)法成立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線相關(guān)的最值問(wèn)題，是慣例方法，其要點(diǎn)是選用適合的變量建立目標(biāo)函數(shù)，而后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確立最值．x2y2例5已知A(4,0)，B(2,2)是橢圓25＋9＝1內(nèi)的兩定點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求MA＋MB的最值．例6已知F、F2y2AB是過(guò)焦點(diǎn)F的一條動(dòng)弦，為橢圓x＋＝1的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)，1221求△ABF2面積的最大值．章末總結(jié)要點(diǎn)解讀例1解如下圖，設(shè)雙曲線方程為x2y2a2－b2＝1(a>0，b>0)．c∵e＝a＝2，∴c＝2a.得|PF1－PF2|＝2a＝c，在△PF1F2中，由余弦定理，得：F1F22＝PF21＋PF22－2PF1·PF2cos60°(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2(1－cos60)°，即4c2＝c2＋PF1·PF2.①又S△PF1F2＝123，12PF1·PF2sin60＝°123，即PF1·PF2＝48.②由①②，得c2＝16，c＝4，則a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴所求的雙曲線方程為x2－y2＝1.412例2(1)解過(guò)點(diǎn)P(2,0)且斜率為k的直線方程為：y＝k(x－2)．把y＝k(x－2)代入y2＝2x，消去y得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0，因?yàn)橹本€與拋物線交于不一樣兩點(diǎn)，故k2≠0且＝(4k2＋2)2－16k4＝16k2＋4>0，2x1x2＝4，x1＋x2＝4＋k2，M、N兩點(diǎn)在拋物線上，∴y21·y22＝4x1·x2＝16，而y1·y2<0，∴y1y2＝－4.（2）證明→→，y2)，∵OM(x1，y1)，ON＝(x2→→∴OM·ON＝x1·x2＋y1·y2＝4－4＝0.→→∴OM⊥ON，即OM⊥ON.例3解設(shè)直線OA的方程為y＝kx(k≠±1，因?yàn)楫?dāng)k＝±1時(shí)，直線AB的斜率不存在)，則直線OB的方程為y＝－x，k從而可求A4p4p、B(4pk2，－4pk)k2，k．于是直線AB的斜率為kAB＝k2，1－kk2－1從而kOM＝k，2k－1∴直線OM的方程為y＝x，①kk直線AB的方程為y＋4pk＝k2－1(x－4pk2)．②將①②相乘，得y2＋4pky＝－x(x－4pk2)，即x2＋y2＝－4pky＋4pk2x＝4p(k2x－ky)，③2又kx－ky＝x，代入③式并化簡(jiǎn)，222得(x－2p)＋y＝4p.當(dāng)k＝±1時(shí)，易求得直線AB的方程為x＝4p.故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4p,0)，也在(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)上．∴點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，∴其軌跡是以(2p,0)為圓心，半徑為2p的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)．例4證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，y＝kx＋m，聯(lián)立x2y2＋＝1，3得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，則x1＋x2＝－8mk2，3＋4k4(m2－3)x1x2＝3＋4k2.3＋4k2－m2>0，即x1＋x2＝－8mk2，3＋4kx1x2＝4(m2－3)3＋4k2.又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2223(m－4k)∵橢圓的右極點(diǎn)為A2