優(yōu)選教案：高中數(shù)學人教B版 必修 第一冊 不等式及其性質(zhì)

第二章等式與不等式《2.2.1不等式及其性質(zhì)》教學設計第2課時教學目標1．掌握不等式5個性質(zhì)與5個推論．2．掌握用綜合法、反證法、分析法證明不等式．3．熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式．教學重難點教學重點：1．掌握不等式5個性質(zhì)與5個推論．2．掌握用綜合法、反證法、分析法證明不等式．3．熟練靈活運用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式．教學難點：正確選用性質(zhì)、推論和思想方法來證明不等式．課前準備PPT課件．教學過程一、整體概述問題1：閱讀課本第61~63頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)研究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應問題．預設的答案：（1）本節(jié)將要研究不等式的性質(zhì)及其推論以及證明不等式的方法．（2）起點是不等式的性質(zhì)及部分推論，目標是掌握不等式的性質(zhì)及其推論，正確選用性質(zhì)、推論和思想方法來證明不等式．進一步提升邏輯推理素養(yǎng)．設計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內(nèi)容的框架．二、探索新知1．溫故知新復習不等式的性質(zhì)及兩個推論：性質(zhì)1如果a>b，那么__________．性質(zhì)2如果a>b，c>0，那么__________．性質(zhì)3如果a>b，c<0，那么__________．性質(zhì)4如果a>b，b>c，那么__________．性質(zhì)5a>b?__________．推論1如果a+b>c，那么__________．推論2如果a>b，c>d，那么__________．師生活動：學生回答．預設的答案：a+c>b+c；ac>bc；ac<bc；a>c；b<a；a>c－b；a+c>b+d．問題：推論2是同向不等式的可加性，那么有沒有類似的與乘法有關的性質(zhì)呢？設計意圖：通過復習所學不等式的性質(zhì)及推論，自然想到不等式有沒有其它性質(zhì)．2．探究新知知識點1不等式的性質(zhì)推論師生活動：教師引導，學生回答．根據(jù)不等式性質(zhì)2與性質(zhì)4可得：推論3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．證明根據(jù)性質(zhì)2有a>b，c>0?ac>bc．c>d，b>0?bc>bd．再根據(jù)性質(zhì)4可知ac>bd．很明顯，這個推論也可以推廣為更一般的結論：幾個兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得到的不等式與原不等式同向．設計意圖：從同向不等式的可加性出發(fā)，類似地推證出同向同正不等式可乘的性質(zhì)，有利于提高學生的合情推理以及推理論證能力．師生活動：教師引導，學生回答．多次使用推論3的結論還可以得到：推論4如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）．問題：不等式有沒有與開方有關的性質(zhì)呢？師生活動：師生一起猜想，得到結論后，教師給出證明．推論5如果a>b>0，那么．證明假設，即或．根據(jù)推論4和二次根式的性質(zhì)，得a<b或a=b．這都與a>b矛盾，因此假設不成立，從而．【思考】證明推論5中不等式的方法具有什么特征？師生活動：師生一起探討：可以看出，推論5中證明方法的實質(zhì)是：首先假設結論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不成立．教師總結：這種得到數(shù)學結論的方法通常稱為反證法，反證法是一種間接證明的方法．反證法的一般步驟：三、初步應用例1（1）已知a>b>0，0<c<d，求證：（2）設a，b，c，d均為正數(shù)，且a＋b＝c＋d．證明：若ab>cd，則．師生活動：教師引導，學生回答．教師寫出規(guī)范解答．預設的答案：證明：（1）因為0<c<d，根據(jù)（2）的結論，得．又因為a>b>0，所以根據(jù)推論3可知，即．（2）法一）由題設知ab>cd>0，則．又a＋b＝c＋d．則，即而，，故．法二）因為ab>cd>0，則，所以．又a＋b＝c＋d，所以．即．又，，故．方法總結：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結果，經(jīng)過逐步推導最后得到結論的方法，在數(shù)學中通常稱為綜合法．綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結論，所以綜合法的實質(zhì)就是不斷尋找必然成立的結論．在證明不等式時，當然也可直接利用已經(jīng)證明過的不等式性質(zhì)等．設計意圖：通過本例讓學生熟悉綜合法的證明方法和格式．例2你能證明不等式嗎？用綜合法證明這個結論方便嗎？你覺得可以怎樣證明這個結論？師生活動：教師引導，學生回答．直接證明并不容易，因此可以考慮用反證法，請同學們完成．預設的答案：法一）假設不等式不成立，則．兩邊平方得，所以，所以，該不等式顯然不成立，所以原不等式成立．法二）師生一起分析，教師寫出規(guī)范解答：要證，只需證明．展開得10+2<20，即<5，這只需證明．即21<25．因為21<25成立，所以成立．教師總結：上述這種證明方法通常稱為分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為pq，其中p是需要證明的結論，所以分析法的實質(zhì)就是不斷尋找結論成立的充分條件．的證明過程也可簡寫為：因為<521<25．又因為21<25成立，所以結論成立．設計意圖：通過本例讓學生熟悉分析法的證明方法和格式．例3已知m>0，求證：師生活動：教師引導，學生回答．預設的答案：證明：因為m>0，所以3+m>0，從而，又因為已知m>0，所以結論成立．設計意圖：通過本例讓學生進一步熟悉分析法的證明方法和格式．練習：教科書P54練習A5四、歸納小結，布置作業(yè)1．板書設計：2.2.1不等式及其性質(zhì)1．不等式的基本性質(zhì)（1）對稱性：a＞b?b＜a．（2）傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c．（3）可加性：a＞b?a＋c＞b＋c．（4）可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc．（5）加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d．（6）乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd．（7）乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．（8）開方法則：a＞b＞0?反證法例1綜合法例2分析法例32．總結概括：回顧本節(jié)課，你有什么收獲？（1）不等式的性質(zhì)推論（2）證明不等式的方法師生活動：學生總結，老師適當補充．