2022屆中考數學《第24課時：直角三角形和勾股定理》同步練習

第24課時直角三角形和勾股定理(66分)一、選擇題(每題5分，共25分)1．下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是(B)\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5) B．1，eq\r(2)，eq\r(3)C．6，7，8 D．2，3，4圖24－12.[2022·臺州]如圖24－1，數軸上點A，B分別對應1，2，過點B作PQ⊥AB，以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交PQ于點C，以原點O為圓心，OC長為半徑畫弧，交數軸于點M，則點M對應的數是(B)圖24－1\r(3)\r(5) \r(6)\r(7)【解析】由題意，可得OB＝2，BC＝1，∴OM＝OC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，則點M對應的數是eq\r(5).故選B.3．如圖24－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，則點C到AB的距離是 (A)\f(36,5)\f(12,25) \f(9,4) \f(3\r(3),4) 圖24－2第3題答圖【解析】如答圖，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根據勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝15，過點C作CD⊥AB，交AB于點D，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(9×12,15)＝eq\f(36,5)，則點C到AB的距離是eq\f(36,5).故選A.4．如圖24－3，將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3cm的矩形紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，則三角板最長邊的長為 (D)A．3cmB．6cm C．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)cm 圖24－3 第4題答圖【解析】如答圖，過點C作垂線，交紙帶對邊沿于點D，∴CD＝3.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6eq\r(2).故選D.圖24－45．如圖24－4，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，將△BCD沿對角線BD翻折，點C落在點C′處，BC′交AD于點E，則線段DE的長為 (B)圖24－4A．3 \f(15,4)C．5 \f(15,2)【解析】設DE＝x，則AE＝6－x.∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由題意，得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝DE＝x，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝eq\f(15,4)，∴DE＝eq\f(15,4).故選B.二、填空題(每題5分，共25分)圖24－56．[2022·潮南區(qū)模擬]如圖24－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，若BC＝10，AD＝12，則AC＝__13__.圖24－5【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(122＋52)＝13.7．已知直角三角形兩邊的長分別是3和4，則第三邊的長為__5或eq\r(7)__.8．將一副三角尺按圖24－6疊放在一起，若AB＝14cm，則陰影部分的面積是__eq\f(49,2)__cm2.【解析】∵∠B＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝7(cm)，易證AC＝CF，∴S△ACF＝eq\f(1,2)AC·CF＝eq\f(1,2)AC2＝eq\f(1,2)×72＝eq\f(49,2)(cm2)． 圖24－6圖24－79．如圖24－7，在△ABC中，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，若AD＝6，DE＝5，則CD的長等于__8__.【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于點D，E是AC的中點，DE＝5，∴DE＝eq\f(1,2)AC，∴AC＝10.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，則根據勾股定理，得CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(102－62)＝8.10．如圖24－8，一只螞蟻沿著邊長為2的正方體表面從點A出發(fā)，經過3個面爬到點B，如果它運動的路徑是最短的，則AC的長為__eq\f(2\r(10),3)__． 圖24－8 第10題答圖【解析】如答圖，將正方體展開，右邊與后面的正方形與前面正方形放在一個面上，此時AB最短．∵△BCM∽△ACN，∴eq\f(MB,NA)＝eq\f(MC,NC)，即eq\f(4,2)＝eq\f(MC,NC)＝2，即MC＝2NC，∴CN＝eq\f(1,3)MN＝eq\f(2,3)，在Rt△ACN中，AC＝eq\r(AN2＋CN2)＝eq\f(2\r(10),3).三、解答題(共16分)11．(8分)如圖24－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線，CD＝5cm，求AB圖24－9【解析】要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的長；在Rt△BCD中，DC＝5cm，∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的長，從而根據AB＝2BC計算出結果．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∵在Rt△CBD中，CD＝5cm，∴BD＝10∴BC＝5eq\r(3)cm，∴AB＝2BC＝10eq\r(3)(cm)．12．(8分)如圖24－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.圖24－10(1)求DE的長；(2)求△ADB的面積．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(24分)13．(6分)如果將長為6cm，寬為5cm的長方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長不可能是 (AA．8cm B．5eq\r(2)cmC．5.5cm D．1cm【解析】易知最長折痕為矩形對角線的長，根據勾股定理得對角線長為eq\r(62＋52)＝eq\r(61)≈＜8，故折痕長不可能為8cm.故選A.14．(8分)[2022·益陽]如圖24－11，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面積．某學習小組經過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．圖24－11解：設BD＝x，∴CD＝14－x，圖24－11由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.15．(10分)[2022·寧波]在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題，某學習小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解．圖24－12如圖24－12，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，連結EF，FG，GH，HE.(1)求證：四邊形EFGH為平行四邊形；(2)若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的長．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∵BF＝DH，∴AH＝CF，在Rt△AEH中，EH＝eq\r(AE2＋AH2)，在Rt△CFG中，FG＝eq\r(CG2＋CF2)，∵AE＝CG，∴EH＝FG，同理，得EF＝HG，∴四邊形EFGH為平行四邊形；(2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，設AE＝x，則BE＝x＋1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF，∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.(10分)16．(10分)[2022·宜昌]閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數a，b，c，稱為勾股數．世界上第一次給出勾股數通解公式的是我國古代數學著作《九章算術》，其勾股數組公式為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)（m2－n2），,b＝mn，,c＝\f(1,2)（m2＋n2），))其中m＞n＞0，m，n是互質的奇數．應用：當n＝1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長．解：當n＝1，a＝eq\f(1,2)(m2