雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度

雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子分布摘要：非簡并雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度和費(fèi)米能級(jí)由溫度和雜質(zhì)濃度所決定。對(duì)于雜質(zhì)濃度一定的半導(dǎo)體，隨著溫度的升高載流子則是從以雜質(zhì)電離為主要來源過渡到以本征激發(fā)為主要來源的過程，相應(yīng)地，費(fèi)米能級(jí)則從位于雜質(zhì)能級(jí)附近逐漸移近禁帶中線處。費(fèi)米能級(jí)的位置不但反映了半導(dǎo)體導(dǎo)電類型而且還反映了半導(dǎo)體的摻雜水平。關(guān)鍵詞：費(fèi)米能級(jí)；狀態(tài)密度；能量態(tài)；非簡并結(jié)構(gòu)；玻爾茲曼分布函數(shù)弓I言：實(shí)踐表明，半導(dǎo)體的導(dǎo)電性強(qiáng)烈地隨溫度而變化。實(shí)際上這種變化主要是由于半導(dǎo)體中載流子濃度隨溫度變化而變化所造成的。因此，要深入了解半導(dǎo)體的導(dǎo)電性及其他許多性質(zhì)必須探求半導(dǎo)體中載流子濃度隨溫度變化的規(guī)律，以及解決如何計(jì)算一定溫度下半導(dǎo)體中熱載流子濃度的問題。半導(dǎo)體材料中總是含有一定量的雜質(zhì)，所以研究雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子分布具有重要意義。為計(jì)算熱平衡狀態(tài)載流子濃度以及求得它隨溫度變化的規(guī)律，我們需先掌握兩方面的知識(shí)：第一，允許的量子態(tài)按能量如何分布；第二，電子在允許的量子態(tài)中如何分布；然后根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論［1］、電子的費(fèi)米分布函數(shù)f(E)及數(shù)學(xué)計(jì)算得到非簡并雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度。在求解過程中用到了電中性條件，由于得到數(shù)學(xué)表達(dá)式較為復(fù)雜，因此人們以溫度T為劃分標(biāo)準(zhǔn)，劃分為幾個(gè)不同溫度區(qū)域來近似討論。分區(qū)是一種非常有用的方法，往往能夠使非常復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化并得到理想的結(jié)果。1費(fèi)米能級(jí)1.1狀態(tài)密度概念：假定在能帶中能量E~(E+dE)之間無限小的能量間隔內(nèi)有dZ個(gè)量子dZ態(tài)，則狀態(tài)密度g(E)為g(E)= 。物理意義是：狀態(tài)密度g(E)就是在能帶中能dE量E附近每單位能量間隔內(nèi)的量子態(tài)數(shù)。在k空間中，以|k|為半徑作一球面，等能面是球面的情況下，通過計(jì)算可得到，導(dǎo)帶低附近狀態(tài)密度g(E)為⑵g(E)=；；=4兀V-——(E—E)1/2 (1.1)，其中m*導(dǎo)帶低電子有效質(zhì)量。cdE h c n同理，價(jià)帶頂附近狀態(tài)密度dZ=如dZ=如V(2m/3/2無一 h3(E-E)1/2V(1.2)1.2費(fèi)米分布函數(shù)和玻爾茲曼分布函數(shù)根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，服從泡利不相容原理的電子遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律。對(duì)于能量為E的一個(gè)量子態(tài)被電子占據(jù)的概率f(E)為［3］f(E)=產(chǎn)-E、1+exP(^v^)

KTexp(~匕)□1當(dāng)e-ef口y時(shí)有y ，所以式(1.3)可變?yōu)門OC\o"1-5"\h\z…。、 1 ,E、 ，E、fB(E)= ,E—E、=eXP(苻)eXP(一有)(官)eXP( F) 0 0kT令A(yù)=exp(^F)，則kT\o"CurrentDocument"f(E)=Aexp(-￡)⑷ (1.5)b kT稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)。式(1.3)、(1.4)中的Ef稱為費(fèi)米能級(jí)，它和溫度、半導(dǎo)體材料、雜質(zhì)濃度和能量零點(diǎn)的選取有關(guān)，這是一個(gè)非常重要物理參數(shù)。正如前面所說，費(fèi)米能級(jí)的位置不但反映了半導(dǎo)體導(dǎo)電類型而且還反映了半導(dǎo)體的摻雜水平。將半導(dǎo)體中大量電子的集體看成一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，由統(tǒng)計(jì)理論證明［1］，費(fèi)米能級(jí)Ef是系統(tǒng)的化學(xué)式，即E=h=(|F)F如T,h代表系統(tǒng)的化學(xué)勢，F(xiàn)是系統(tǒng)的自由能。該式的物理意義是：當(dāng)系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，也不對(duì)外界做功的情況下，系統(tǒng)中增加一個(gè)電子所引起系統(tǒng)自由能的變化，等于系統(tǒng)的化學(xué)勢，也就是等于系統(tǒng)的費(fèi)米能級(jí)。一般可以認(rèn)為，在溫度不是很高的條件下，能量大于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)基本上沒有電子占據(jù)，而能量小于費(fèi)米能級(jí)的量子態(tài)基本上為電子占據(jù)，而電子占據(jù)費(fèi)米能級(jí)的概率在各種溫度下總是1/2。2雜質(zhì)半導(dǎo)體的載流子濃度2.1導(dǎo)帶中的電子濃度和價(jià)帶中的空穴濃度思想：在能量E~(E+dE)之間有dZ=g(E)dE個(gè)量子態(tài)，而電子占據(jù)能量為E的量子態(tài)的概率是f(E),則在能量E~(E+dE)之間有f(E)g(E)dE個(gè)被電子占據(jù)的量C子態(tài)，即有f(E)g(E)dE個(gè)電子。然后把能量區(qū)間中的電子數(shù)相加就能得到能帶中的電子總數(shù)，再除以半導(dǎo)體體積就能得到導(dǎo)帶中的電子濃度。在非簡并情況下，能量E~(E+dE)間的電子數(shù)dN為dN=fB(E)gc(E)dE把式(1.1)、(1.5)代入上式得:

TOC\o"1-5"\h\zdN=4兀V(2*「)3"exp(-E~Ef)(E-E)1/2dE

h3 k0F c那么單位體積中的電子數(shù)為\o"CurrentDocument"dn=dN=4兀（2mn*）3"exp（-E-Ef）（E-E）1/2dE （2.1）\o"CurrentDocument"V h3 kF c,E—,E—E、,exp（- f）（E—E）1/2dE （2.2）kF c通過引入變數(shù)"（e-叩（中及計(jì)算，最終\o"CurrentDocument"n=!f(250E h3c積分上限e是導(dǎo)帶頂能量。C可解得：=Nexp(-E~Ef) (2.3)c k0F式中n式中n=2(2兀mnkT)3/2c h3稱為導(dǎo)帶的有效狀態(tài)密度。同理，熱平衡狀態(tài)下，非簡并半導(dǎo)體的價(jià)帶中空穴濃度P0為P=Nexp（：F） （2.4）0vkF其中，N=2⑵,"/加，n稱為價(jià)帶的有效狀態(tài)濃度。V h3 v從式（2.3）、（2.4）可知，導(dǎo)帶中電子濃度no和價(jià)帶中空穴濃度P0隨著溫度T和費(fèi)米能級(jí)Ef的不同而變化。2.2雜質(zhì)能級(jí)上的電子和空穴11e11e-E~ (2.5)—exp(df)kTfD（E）=—+g空穴占據(jù)受主能級(jí)的概率是：（2.6）1（2.6）7~~1 (E-e、F kT1+exp(fa)gF kTA式中的gD式中的gD的事施主級(jí)的基態(tài)簡并度，gA是受主能級(jí)的基態(tài)簡并度。一般情況下，gD=2，gA=4。由于施主濃度ND和受主濃度Na就是雜質(zhì)的量子態(tài)密度，那么可得到:施主能級(jí)上的電子濃度nD為：n=Nf（E）= 廠（2.7）DDD 1+1exp（匚-Ef）2 kT受主能級(jí)上的空穴濃度pA為：p=Nf（E）=—-—N^— （2.8）AAA 1+Lxp（土Ea）4kT那么根據(jù)式（2.3）、（2.4）可以得到：電離施主濃度nD為：（2.9）（2.10）N（2.9）（2.10）—DF——1+2exp(-Ed-EF)kT1+2exp(-電離受主濃度pA為p-=N-pNp-=N-p1+4exp(-導(dǎo))02.3n型半導(dǎo)體的載流子濃度在只含一種施主雜質(zhì)的n型半導(dǎo)體中，由電中性條件可得:n=n++p等式左邊為導(dǎo)帶中的電子濃度，右邊為價(jià)帶中的空穴濃度和電離施主濃度之和。將式（2.3）、（2.4）和（2.9）代入到上式可得：Nexp(- ^f)=NNexp(- ^f)=Nexp(-~氏c k0T vkT)+ de (2.11)1+2exp(一 f)kT從上式求Ef的一般解析式是比較困難的，必須通過一些方法來簡化求解。基于溫度T的分區(qū)模型。半導(dǎo)體內(nèi)的載流子主要由兩個(gè)途徑產(chǎn)生：本征激發(fā)和雜質(zhì)離子的電離。不同的溫度下，本征激發(fā)和雜質(zhì)離子電離的情況不同。這樣就有助于我們簡化問題，通過近似得到想要的結(jié)果。1.低溫弱電離區(qū)溫度很低時(shí)，只有很少的施主雜質(zhì)被電離，本征激發(fā)的電離子就更少了，可以忽略不計(jì)，也就是導(dǎo)帶中的電子全部由電離施主雜質(zhì)所提供。那么會(huì)有

cF)= de (2.12)k0T 1+2exp(-d［；f)0由于咤遠(yuǎn)比Nd小，所以exp（-氣［"）>>1，最終可解得:0(2.13)E=Ec±Ed+(臣)ln(4)(2.13)F2 2 2Nc上式就是低溫弱電離區(qū)費(fèi)米能級(jí)表達(dá)式，它與溫度、雜質(zhì)濃度以及摻雜何種原子有關(guān)。將式（2.14）代入到（2.4）中可到低溫弱電離區(qū)的電子濃度為：(2.14)(NN. .E-E、NN. ,AE.(2.14)n=(—d~c)1/2exp(- d)=(—d~c)1/2exp( d)0 2 2kT2 2kT式中AEd=Ec-Ed為施主雜質(zhì)能級(jí)。由式（2.15）可知％隨著溫度的升高呈指數(shù)上升。中間電離區(qū)溫度繼續(xù)升高，當(dāng)2N>N后，式（2.14）的第二項(xiàng)為負(fù)，這是E「降到Ec+EdcD F 2以下。當(dāng)溫度升高到使Ef=Ed時(shí)，施主雜質(zhì)有1/3電離。強(qiáng)電離區(qū)溫度繼續(xù)升高，使得大部分雜質(zhì)都電離，此時(shí)"Nd。此時(shí)費(fèi)米能級(jí)Ef位于Ed之下。強(qiáng)電離時(shí)，式（2.12）可化簡為:Nexp(-Nexp(-E^f)=

kT（2.15）解得費(fèi)米能級(jí)Ef為E解得費(fèi)米能級(jí)Ef為E=E+kTln(土)FC0NC（2.16）可見，費(fèi)米能級(jí)Ef由溫度和施主雜質(zhì)濃度所決定。它們的關(guān)系如圖1所示。0.00.0?5 1 1 I I ，■■0 }00 200300 400 500 600溫度口K圖1硅的費(fèi)米能級(jí)與溫度、雜質(zhì)濃度的關(guān)系［5］從圖中可以看出，在一定溫度T時(shí)，Nd越大，Ef越向?qū)Х较蚩拷?。?dāng)ND一定時(shí)，溫度越高，Ef越往本征費(fèi)米能級(jí)e靠近。在強(qiáng)電離區(qū)，電子濃度n0為n-N這時(shí)雜質(zhì)濃度與溫度無關(guān)。這一范圍稱為飽和區(qū)。過渡區(qū)當(dāng)半導(dǎo)體處于飽和區(qū)和完全本征激發(fā)區(qū)之間時(shí)稱為過渡區(qū)。于是電中性條件是：n0=Nd+p0 （2.17）那么可以得到［6】：E=E+kTarsh^-D-） （2.18）fi0 2ni聯(lián)立方程（2.18）、（2.19），并泰勒展開可解得：n2n0=Nd+寸 （2.19）D高溫本征激發(fā)區(qū)繼續(xù)升高溫度，使本征激發(fā)的本征載流子遠(yuǎn)多于雜質(zhì)電離產(chǎn)生的載流子數(shù)。這是電中性條件是n0=Po。這是費(fèi)米能級(jí)Ef接近禁帶中線，載流子濃度隨溫度升高而迅速增加。3結(jié)語本文主要對(duì)半導(dǎo)體物理學(xué)（劉恩科第6版）中的雜質(zhì)半導(dǎo)體載流子分布這一章節(jié)內(nèi)容作了簡要的概述和自己對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的理解。首先介紹了費(fèi)米能級(jí)、狀態(tài)密度等基本概念；然后介紹了導(dǎo)帶中電子濃度和價(jià)帶中空穴濃度的求解思想和數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程；最后以n型半導(dǎo)體為例介紹了費(fèi)米能級(jí)與溫度、雜質(zhì)濃度的關(guān)系和導(dǎo)帶中電子濃度的數(shù)學(xué)表達(dá)式。參考文獻(xiàn)［1］［美］渤萊克莫爾?半導(dǎo)體統(tǒng)計(jì)學(xué).黃啟圣，陳仲甘譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1965[1]INIGUEZB,XU乙TORAF,etal.UnifiedmodelforshortchannelpolySiTFTs[J].SSE,1999,43:1821~1831.王陽元，卡明斯TI.多晶硅薄膜及其在集成電路中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,1988.HEJ,CHANMS,ZHANGX,etal.AphysicsbasedanalyticsolutiontotheMOSFETsurfacepotentialfromaccumulationtostronginversionregion[J].IEEETransonED,2006,53(9):20082016.GILDENBLATG,LIX,WUWM,etal.PSP:anadvancedsurfacepotentialbasedMOSFETmodelforcircuitsimulation[J].IEEETransonElectronDev,2006,53(9):19791993.SETOJYW.Theelectricalpropertiesofpolycrystallinesiliconfilms[J].JApplPhys,1975,46(12):5247~5254.BACCARANIG,RICCOB.Transportpropertiesofpolycrystallinesiliconfilms[J].JApplPhys,1978,49(11):5565~5570.LUNCC,GERZBERGL,LU