2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)22函數(shù)單調(diào)性與最值講義理

第二節(jié)函數(shù)的單一性與最值?函數(shù)在給定區(qū)間上的單一性，反應(yīng)了函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值的變化趨向，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì).121212)]>0或fx1－fx2x1－x2若函數(shù)fx的值域是開區(qū)間，則函數(shù)無(wú)最值；若函數(shù)fx的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間上的端點(diǎn)值就是最值.1．函數(shù)的單一性?(1)增函數(shù)、減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的隨意兩個(gè)自變量的值?x1，x2定義當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)?，那么就當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)?，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描繪單一區(qū)間的定義假如函數(shù)y＝(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝( )在這一區(qū)間具ffx有(嚴(yán)格的)單一性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單一區(qū)間?.2．函數(shù)的最值?前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，假如存在實(shí)數(shù)M知足①對(duì)于隨意的∈，都有f(x)≤；①對(duì)于隨意x∈，都有f(x)≥；條件xIMIM②存在x∈I，使得f(x)＝M②存在x∈I，使得f(x)＝M0000結(jié)論為函數(shù)＝(x)的最大值為函數(shù)y＝(x)的最小值MyfMfx1，x2的特點(diǎn)：隨意性；有大小，即x1＜x2(x1>x2)；屬于同一個(gè)單一區(qū)間.對(duì)于?x1，x2∈D，都有(1－2)·[(x1)－(x2)]＜0或fx1－fx2＜0.xxffx1－x2求函數(shù)單一區(qū)間或議論函數(shù)單一性一定先求函數(shù)的定義域．一個(gè)函數(shù)的同一種單一區(qū)間用“和”或“，”連結(jié)，不可以用“∪”連結(jié)．1(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單一函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不必定是單一函數(shù)，如函數(shù)

y＝x在(－∞，

0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)，但在定義域上不擁有單一性．(4)“函數(shù)的單一區(qū)間是

M”與“函數(shù)在區(qū)間

N上單一”是兩個(gè)不一樣的觀點(diǎn)，明顯

N?M.[熟記常用結(jié)論

]1．若函數(shù)

f(x)，g(x)在區(qū)間

I

上擁有單一性，則在區(qū)間

I

上擁有以下性質(zhì)：(1)f(x)與

a·f(x)在

a>0時(shí)擁有同樣的單一性，在

a＜0時(shí)擁有相反的單一性．當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)＋g(x)是增(減)函數(shù)．(3)當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，若二者都恒大于零，則f(x)·g(x)也是增(減)函數(shù)；若二者都恒小于零，則f(x)·g(x)是減(增)函數(shù)．2．復(fù)合函數(shù)的單一性對(duì)于復(fù)合函數(shù)＝[()]，若t＝()在區(qū)間(a，)上是單一函數(shù)，且y＝(t)在區(qū)間yfgxgxbf(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是單一函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單一性同樣，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單一性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù)．簡(jiǎn)稱“同增異減”．3．開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)必定存在最大值(最小值)．[小題檢驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)函數(shù)y1(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )＝的單一遞減區(qū)間是x(2)函數(shù)y＝( )在[1，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單一遞加區(qū)間是[1，＋∞)．( )fx假如一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．( )(4)全部的單一函數(shù)都有最值．

(

)答案：(1)

×

(2)×

(3)×

(4)×二、選填題1．以下函數(shù)中，在區(qū)間

(0,1)

上是增函數(shù)的是

(

)A．y＝|

x|

B．y＝3－x1C．y＝x

D．y＝－x＋4分析：選

A

y＝3－x在

R上遞減，

1y＝x在(0，＋∞)上遞減，

2y＝－x＋4在(0，＋∞)上遞減，應(yīng)選A.112．函數(shù)f(x)＝－x＋x在區(qū)間－2，－3上的最大值是()38A.B．－23C．－2D．2分析：選A∵函數(shù)y＝－x與y1x∈－2，－1f( )＝－x＝在上都是減函數(shù)，∴函數(shù)x3x1113＋x在－2，－3上是減函數(shù)，故f(x)的最大值為f(－2)＝2－2＝2.3．設(shè)定義在[－1,7]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖，則函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間為________．分析：由圖可知函數(shù)的增區(qū)間為[－1,1]和[5,7]．答案：[－1,1]和[5,7]4．若函數(shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍是________．1分析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝(2k＋1)x＋b在R上是減函數(shù)，所以2k＋1＜0，即k＜－2.1答案：－∞，－25．若函數(shù)f(x)知足“對(duì)隨意的x1，2∈R，當(dāng)x1＜2時(shí)，都有f(x1)>f(2)”，則知足xxxf(2x－1)＜f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．分析：由題意知，函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為減函數(shù)，f(2x－1)＜f(1)，∴2x－1>1，即x>1，∴x的取值范圍為(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)考點(diǎn)一確立函數(shù)的單一性區(qū)間[全析考法過(guò)關(guān)][考法全析]考法(一)確立不含參函數(shù)的單一性(區(qū)間)[例1](1)函數(shù)f(x)＝|x2－3x＋2|的單一遞加區(qū)間是( )31，3，＋∞B.2和[2，＋∞)A.233C．(－∞，1]和2，2D.－∞，2和[2，＋∞)(2)函數(shù)y＝x2＋x－6的單一遞加區(qū)間為__________，單一遞減區(qū)間為____________．[分析](1)＝|2－3＋2|yxxx2－3x＋2，x≤1或x≥2，＝，1＜x＜2.－x2－3x＋3如下圖，函數(shù)的單一遞加區(qū)間是1，2和[2，＋∞)．令u＝x2＋x－6，則y＝x2＋x－6能夠看作是由y＝u與u＝x2＋x－6復(fù)合而成的函數(shù)．令u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.易知u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是減函數(shù)，在[2，＋∞)上是增函數(shù)，而y＝u在[0，＋∞)上是增函數(shù)，∴y＝x2＋x－6的單一遞減區(qū)間為(－∞，－3]，單一遞加區(qū)間為[2，＋∞)．[答案](1)B(2)[2，＋∞)(－∞，－3]考法(二)確立含參函數(shù)的單一性(區(qū)間)ax[例2]試議論函數(shù)f(x)＝x－1(a≠0)在(－1,1)上的單一性．[解]法一：(定義法)設(shè)－1＜x＜x＜1，12x－1＋11f(x)＝ax－1＝a1＋x－1，11則f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1－a1＋x2－1ax－x1＝2.x1－x2－因?yàn)椋?＜x1＜x2＜1，所以x2－x1>0，x1－1＜0，x2－1＜0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加．a(chǎn)xx－－axx－法二：(導(dǎo)數(shù)法)f′(x)＝x－2＝ax－－axa2.x－2＝－x－當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞減；當(dāng)a＜0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單一遞加．[規(guī)律探究]看個(gè)性找共性

考法(一)中的函數(shù)不含有參數(shù)．解決此類問(wèn)題時(shí)，第一確立定義域，而后利用單一性的定義或借助圖象求解即可．考法(二)是在考法(一)的基礎(chǔ)上增添了參數(shù)，解決此類問(wèn)題除利用定義外，導(dǎo)數(shù)法是一種特別有效的方法．注意分類議論思想的應(yīng)用不論考法(一)仍是考法(二)，判斷函數(shù)單一性常用以下幾種方法：定義法：一般步驟為設(shè)元→作差→變形→判斷符號(hào)→得出結(jié)論．圖象法：假如f(x)是以圖象形式給出的，或許f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上漲或降落確立單一性．導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)確立函數(shù)的單一區(qū)間．性質(zhì)法：①對(duì)于由基本初等函數(shù)的和、差組成的函數(shù)，依據(jù)各初等函數(shù)的增減性及f(x)±g(x)增減性質(zhì)進(jìn)行判斷；②對(duì)于復(fù)合函數(shù)，先將函數(shù)y＝f(g(x))分解成y＝f(t)和t＝g(x)，再議論(判斷)這兩個(gè)函數(shù)的單一性，最后依據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進(jìn)行判斷[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]121．函數(shù)f(x)＝2x－x的單一遞加區(qū)間為( )A.1B.1－∞，0，2211C.2，＋∞D(zhuǎn).2，1分析：選D令t＝x－x2，由x－x2≥0，得0≤≤1，故函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]．因?yàn)閤()＝1t是減函數(shù)，所以f(x)的單一遞加區(qū)間即t＝x－2的單一遞減區(qū)間．利用二次函gt2x數(shù)的性質(zhì)，得t＝21，即原函數(shù)的單一遞加區(qū)間為1x－x的單一遞減區(qū)間為，1，1.故22選D.a2．判斷函數(shù)f(x)＝x＋x(a>0)在(0，＋∞)上的單一性．解：設(shè)x1，x2是隨意兩個(gè)正數(shù)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋aa－x2＋x2x1x2x1x2(x1x2－a)．x1當(dāng)0＜x1＜x2≤a時(shí)，0＜x1x2＜a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)在(0，a]上是減函數(shù)；當(dāng)a≤x1＜x2時(shí)，x1x2>a，x1－x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函數(shù)f(x)在[a，＋∞)上是增函數(shù)．a(chǎn)綜上可知，函數(shù)

f(x)＝x＋x(a>0)在(0，

a]

上是減函數(shù)，在

[

a，＋∞)上是增函數(shù)．考點(diǎn)二

函數(shù)單一性的應(yīng)用

[全析考法過(guò)關(guān)

][考法全析

]考法(一)比較函數(shù)值的大小[例1]已知函數(shù)f(x)的圖象對(duì)于直線x＝1對(duì)稱，當(dāng)x>x>1時(shí)，[f(x)－f(x)](x21212－x1)＜0恒建立，設(shè)a＝f1，b＝f(2)，c＝f(e)，則a，b，c的大小關(guān)系為()－2A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c15[分析]由f(x)的圖象對(duì)于直線x＝1對(duì)稱，可得f－2＝f2.由x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒建立，知f(x)在(1，＋∞)上單一遞減．55∵1＜2＜2＜e，∴f(2)>f2>f(e)，∴b>a>c.[答案]D考法(二)解函數(shù)不等式[例2](1)已知函數(shù)f( )為R上的減函數(shù)，則知足f1＜f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍xx是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)(2)定義在[－2,2]上的函數(shù)f(x)知足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2－)>(2－2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．a(chǎn)fa11>1，|x|＜1，[分析](1)由f(x)為R上的減函數(shù)且f＜f(1)，得xx即x≠0，x≠0.所以－1＜x＜0或0＜x＜1.應(yīng)選C.(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)知足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，x1≠x2，所以函數(shù)在[－2,2]上單一遞增，所以－2≤2a－2＜a2－a≤2，解得0≤a＜1.[答案](1)C(2)[0,1)考法(三)利用函數(shù)的單一性求參數(shù)[例3]a－x＋4a，x＜1，是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范若f(x)＝－ax，x≥1圍為________．[分析]由題意知，3a－1＜0，＜1，a3a－＋4≥－，解得18，a>0，a≥a>0，所以∈11，.a8311[答案]，83[規(guī)律探究]考法(一)是比較函數(shù)值的大?。鉀Q此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)(如對(duì)稱性等)將自變量轉(zhuǎn)變到函數(shù)的同一個(gè)單一區(qū)間上，利用單一性比較大?。挤?二)是求解與函數(shù)單一性相關(guān)的抽象函數(shù)不等式．求解此類問(wèn)題，主要看個(gè)性是利用函數(shù)的單一性將“f”符號(hào)脫掉，使其轉(zhuǎn)變?yōu)樵敿?xì)的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域以及函數(shù)奇偶性質(zhì)的應(yīng)用．考法(三)是在考法(一)和考法(二)基礎(chǔ)上的更深一步的拓展，依據(jù)函數(shù)單一性把問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閱我粎^(qū)間關(guān)系的比較對(duì)于求解此類相關(guān)函數(shù)單一性應(yīng)用的題目，其通用的方法是利用轉(zhuǎn)變思想解找共性題，其思想流程是：[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝log1，若x∈(1,2)，x∈(2，＋∞)，則()2x＋12A．f(x)＜0，f(x)＜0B．f(x)＜0，f(x)>01212C．f(x1)>0，f(x2)＜0D．f(x1)>0，f(x2)>01分析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝log2x＋1－x在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，所以當(dāng)x1∈(1,2)時(shí)，f(x1)＜f(2)＝0，當(dāng)x2∈(2，＋∞)時(shí)，f(x2)>f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)>0.應(yīng)選B.－x2＋4x，x≤4，2．設(shè)函數(shù)f(x)＝log2，x>4.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單一遞加，則x實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A．(－∞，1]B．[1,4]C．[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[4，＋∞)分析：選D作出函數(shù)f(x)的圖象如下圖，由圖象可知，若f(x)在(a，a＋1)上單一遞加，需知足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，應(yīng)選D.3．已知定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)上單一遞加，11且f2＝0，則不等式f(log9x)>0的解集為________．分析：∵

y＝f(x)是定義在

R上的奇函數(shù)，且

y＝f(x)在(0，＋∞)上單一遞加．∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函數(shù)，又f

12＝0，知

f

1－2＝－f

12＝0.1故原不等式f(log9x)>0可化為1111f(log9x)>f2或f－2＜f(log9x)＜f(0)，1111logx>或－＜logx＜0，92291解得0＜x＜3或1＜x＜3.1所以原不等式的解集為x0＜x＜3或1＜x＜3.1答案：x0＜x＜或1＜x＜33考點(diǎn)三函數(shù)的最值[師生共研過(guò)關(guān)][典例精析]m)(1)已知函數(shù)y＝1－x＋x＋3的最大值為M，最小值為m，則的值為(M11A.4B.223C.2D.21(2)函數(shù)f(x)＝x，x≥1，的最大值為________．－x2＋2，x＜1[分析](1)由1－x≥0，{x|－3≤x≤1}，得函數(shù)的定義域是x＋3≥0y2＝4＋21－x·x＋3＝4＋2－x＋2＋4，當(dāng)x＝－1時(shí)，y獲得最大值M＝22；當(dāng)x＝－3或1時(shí)，y獲得最小值m2＝2，所以＝.mM21(2)當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x為減函數(shù)，所以f(x)在x＝1處獲得最大值，為f(1)＝1；當(dāng)x＜1時(shí)，易知函數(shù)f(x)＝－x2＋2在x＝0處獲得最大值，為f(0)＝2.故函數(shù)f(x)的最大值為2.[答案](1)C(2)2[解題技法]求函數(shù)最值(值域)的常用方法單一性法易確立單一性的函數(shù)，利用單一性法研究函數(shù)最值(值域)圖象法能作出圖象的函數(shù)，用圖象法，察看其圖象最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值(值域)分子、分母此中一個(gè)為一次，一個(gè)為二次的函數(shù)結(jié)構(gòu)以及兩個(gè)變量(如x，y)的基本不等函數(shù)，一般經(jīng)過(guò)變形使之具備“一正、二定、三相等”的條件，用基本不等式式法法求最值(值域)[過(guò)關(guān)訓(xùn)練]111．函數(shù)f(x)＝x－1在區(qū)間[a，b]上的最大值是1，最小值是3，則a＋b＝________.分析：易知f(x)在[a，b]上為減函數(shù)，fa＝1，1a－1＝1，所以1即fb＝3，11b－1＝3，a＝2，a＋＝6.所以所以b＝4.b答案：62．函數(shù)y＝x－x(x≥0)的最大值為________．2t－12111分析：令t＝x，則t≥0，所以y＝t－t＝－2＋4，當(dāng)t＝2，即x＝4時(shí)，ymax1＝.41答案：433．設(shè)0＜x＜2，則函數(shù)y＝4x(3－2x)的最大值為________．2x＋－2x29分析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝3時(shí)，等號(hào)建立．433∵4∈0，2，39∴函數(shù)y＝4x(3－2x)0＜x＜2的最大值為2.9答案：2[課時(shí)追蹤檢測(cè)]一、題點(diǎn)全面練1．以下函數(shù)中，在區(qū)間(－1,1)上為減函數(shù)的是()1A．y＝1－xB．y＝cosxC．y＝ln(x＋1)D．y＝2－x－x1x分析：選D函數(shù)y＝2＝2在(－1,1)上為減函數(shù)．2．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單一遞加區(qū)間是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)分析：選D由x2－2－8＞0，得x＞4或x＜－2.所以，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2－8)的xx定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單一遞加，由復(fù)合函數(shù)的單一性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單一遞加區(qū)間是(4，＋∞)．3．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值為1，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－3B．－2C．－1D．1分析：選B因?yàn)閒(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上為增函數(shù)，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值為1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.應(yīng)選B.x4．函數(shù)f(x)＝的單一遞加區(qū)間是()1－xA．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)，(1，＋∞)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)－－x＋11，分析：選C因?yàn)閒(x)＝1－x＝－1＋1－x1所以f(x)的圖象是由y＝－x的圖象沿x軸向右平移1個(gè)單位，而后沿y軸向下平移一個(gè)單位獲得，而y＝－1的單一遞加區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)；x所以f(x)的單一遞加區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)．應(yīng)選C.1，x>0，．(2019·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝0，x＝0，g(x)＝2f(x－1)，則函數(shù)g(x)5x－1，x＜0，的單一遞減區(qū)間是()A．(－∞，0]B．[0,1)C．[1，＋∞)D．[－1,0]x2，x>1，分析：選B由題知，g(x)＝0，x＝1，可得函數(shù)g(x)的單一遞減區(qū)間為[0,1)．2－x，x＜1，6．若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在區(qū)間[3，＋∞)和[－2，－1]上均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()11A.－3，－3B．[－6，－4]C.[322]D.[－4，－3]－，－分析：選B因?yàn)閒(x)為R上的偶函數(shù)，所以只要考慮函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上的單一f(x)在[3，＋∞)上為增函數(shù)，在[1,2]a性即可．由題意知函數(shù)上為減函數(shù)，故－2∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．2－x7．函數(shù)y＝x＋1，x∈(m，n]的最小值為0，則m的取值范圍是()A．(1,2)B．(－1,2)C．[1,2)D．[－1,2)2－x3－x－13分析：選D函數(shù)y＝x＋1＝x＋1＝x＋1－1，且在x∈(－1，＋∞)時(shí)單一遞減，在x＝2時(shí)，y＝0；依據(jù)題意x∈(m，n]時(shí)y的最小值為0，所以－1≤m＜2.8．已知函數(shù)f(x)＝x2－2＋a在區(qū)間(－∞，1)上有最小值，則函數(shù)()＝fx在axgxx區(qū)間(1，＋∞)上必定()A．有最小值B．有最大值C．是減函數(shù)D．是增函數(shù)分析：選D由題意知a＜1，a又函數(shù)g(x)＝x＋x－2a在[|a|，＋∞)上為增函數(shù)，應(yīng)選D.9．(2019·湖南四校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上單一遞加，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．分析：∵f(x)＝x2＋a|x－2|，x2＋ax－2a，x≥2，∴f(x)＝2－＋2，＜2.xaxax又∵f(x)在(0，＋∞)上單一遞加，a2≤2，∴∴－4≤a≤0，a0，2∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－4,0]．答案：[－4,0]10．已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?4，則函數(shù)(x)＝f()＋1－2x的值域?yàn)椋?9gxf________．3411分析：∵8≤f(x)≤9，∴3≤1－2fx≤2.令t＝1－2fx，則f(x)＝1(1－t2)1≤t≤1，232令y＝g(x)，則y＝1(1－t2)＋t，21211即y＝－2(t－1)＋13≤t≤2.∴當(dāng)t＝1時(shí)，y有最小值7；3917當(dāng)t＝2時(shí)，y有最大值8.∴g(x)的值域?yàn)?7，8.977答案：9，8二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1．函數(shù)y＝log1(－x2＋2x＋3)的單一遞加區(qū)間是()3A．(－1,1]B．(－∞，1)C．[1,3)D．(1，＋∞)分析：選C令t＝－2＋2x＋3，由－2＋2＋3>0，得－1＜＜3.xxxx函數(shù)t＝－x2＋2x＋3的對(duì)稱軸方程為x＝1，則函數(shù)t＝－x2＋2x＋3在[1,3)上為減函數(shù)，而函數(shù)y＝log1t為定義域內(nèi)的減函數(shù)，3所以函數(shù)y＝log1(－x2＋2x＋3)的單一遞加區(qū)間是[1,3)．32．(2019·西安模擬)已知函數(shù)y＝log(ax－1)在(1,2)上單一遞加，則實(shí)數(shù)a的取值范2圍是( )A．(0,1]B．[1,2]C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)分析：選C要使y＝log2(－1)在(1,2)上單一遞加，則a>0且a－1≥0，∴≥1.故axa選C.3．已知函數(shù)f(x)＝ax2－x－41，x≤1，是R上的單一函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍logax－1，x>1是()A.11B.114，24，211C.0，2D.2，1分析：選B由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得a>0，且a≠1.21又函數(shù)f(x)在R上單一，則二次函數(shù)y＝ax－x－4的圖象張口向上，所以函數(shù)f(x)在R上單一遞減，0＜a＜1，0＜a＜1，11故有2a≥1，即0＜a≤2，21a1a×1－1－4≥log1－1，a≥4.11所以a∈4，2.4．已知函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，若f(a2－a)>f(a＋3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．a(chǎn)2－a>0，分析：由已知可得a＋3>0，解得－3＜＜－1或，所以實(shí)數(shù)a的取值范aa>3a2－a>a＋3，圍為(－3，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)(二)技法專練——活用快得分5．[結(jié)構(gòu)法]已知減函數(shù)f(x)的定義域是實(shí)數(shù)集R，m，n都是實(shí)數(shù)．假如不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)建立，那么以下不等式建立的是( )A．m－n＜0B．m－n>0C．m＋n＜0D．m＋n>0分析：選A設(shè)()＝f()－(－)，F(xiàn)xxfx因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，f(－x)是R上的增函數(shù)，－f(－x)是R上的減函數(shù)，F(xiàn)(x)是R上的減函數(shù)，∴當(dāng)m＜n時(shí)，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)建立．所以，當(dāng)f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)建即刻，不等式m－n＜0必定建立，應(yīng)選A.6．[三角換元法]函數(shù)y＝x＋－x2＋10x－23的最小值為________．分析：原函數(shù)可化為：y＝x＋22－x－.由2－(x－5)2≥0?|x－5|≤2，令x－5＝2cosα，那么|2cosα|≤2?|cosα|≤1?0≤α≤π，于是y＝2cosπα＋5＋2sinα＝2sinα＋4＋5.ππ5ππ2因?yàn)棣粒?∈4，4，所以sinα＋4∈－2，1，所以函數(shù)的最小值為5－2.答案：5－2m＋x2，|x|≥1，7．[數(shù)形聯(lián)合法]設(shè)函數(shù)f(x)＝的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1)，函數(shù)g(x)是二x，|x|＜1次函數(shù)，若函數(shù)f(g(x))的值域是[0，＋∞)，則函數(shù)g(x)的值域是________．＋x2，|x|≥1，的圖象過(guò)點(diǎn)(1,1)，所以m＋1＝1，解得m分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x，|x|＜1x2，|x|≥1，畫出函數(shù)y＝f(x)的大概圖象如下圖，＝0，所以f(x)＝x，|x|＜1.察看圖象可知，當(dāng)縱坐標(biāo)在[0，＋∞)上時(shí)，橫坐標(biāo)在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上變化．而f(x)的值域?yàn)閇－1，＋∞)，f(g(x))的值域?yàn)閇0，＋∞)，因?yàn)間(x)是二次函數(shù)，所以g(x)的值域是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)(三)修養(yǎng)專練——學(xué)會(huì)更學(xué)通8．