矩形折疊問(wèn)題

關(guān)于矩形折疊問(wèn)題第一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、什么是折疊二、與折疊有關(guān)的問(wèn)題第二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二一.

折疊的意義1．折疊就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180o，使它與另一部分在這條直線的同旁，與其重疊或不重疊.顯然，“折”是過(guò)程，“疊”是結(jié)果;

第三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二ABOB?l圖1如圖（1）是線段AB沿直線l折疊后的圖形，其中OBˊ是OB在折疊前的位置；

OBˊ=OB；

第四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

圖（2）是平行四邊形ABCD沿著對(duì)角線AC折疊后的圖形，△ABC是△ABˊC在折疊前的位置，它們的重疊部分是三角形EAC；

△ABˊC≌△ABCAB′DB圖2CE第五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二2.

圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形;3.圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng).第六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、和折疊有關(guān)的問(wèn)題第七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二問(wèn)題1.如圖，將寬度為a的長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的形狀，觀察折疊后重疊部分三角形AEFFEAˊ

a這是一個(gè)什么三角形?第八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二FEAˊ

a

三角形AEF是等腰三角形123證明（方法一）∵圖形在折疊前和折疊后是全等的,

∴∠1=∠2,又∵矩形的對(duì)邊是平行的,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴

AE=AF

∴三角形AEF是等腰三角形第九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二FEAˊ

a∴

三角形AEF是等腰三角形證明：（方法二）∵圖形在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，只是位置不同。∴表示矩形寬度的線段EP和FQ相等,即?AEF的邊

AE和AF上的高相等，∴AE=AFPQ第十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二思考題：改變折疊的角度α的大小，三角形AEF的面積是否會(huì)改變？為什么?

αAˊEFα的改變影響了AE的長(zhǎng)度，但卻不能改變邊AE上的高，三角形AEF的面積會(huì)隨著α的確定而確定.第十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1.如圖，標(biāo)出點(diǎn)A在折疊前對(duì)應(yīng)的位置A,問(wèn):四邊形AEAF是什么四邊形?

證明你的發(fā)現(xiàn).答:四邊形AEAF是菱形.

FEAˊA第十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二1、矩形折疊給我們帶來(lái)哪些信息？2、證明四邊形是菱形通常有哪些方法？第十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二FEAˊA∵

A是A在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,∴A和A關(guān)于直線EF軸對(duì)稱(chēng)

,∴AA⊥EF,且AO=AO,又∵AE∥AF,∴EO∶OF=AO∶OA,

∴EO=OF，∴AA與EF互相垂直平分O證明:（方法一）∴四邊形AEAF是菱形.第十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

A是A在折疊前對(duì)應(yīng)的位置,∴?AEF≌?AEF,AE=AE,AF=AF，又∵?AEF是等腰三角形,AE=AF（已證）,∴AE=AF=AE=AF,

∴四邊形AEAF是菱形.

(方法二)證明:FEAˊA第十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二例2在前面的思考題中,若翻折的角度α=30o,a=2.求四邊形AEAF的面積.A

FEA30o30o30o30oQ2S四邊形AEAF=a分析：圖中被覆蓋的部分△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩形的寬度2,所以，本題的解題關(guān)鍵就是要求出腰AˊF(AˊE)的長(zhǎng)。

第十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二例3：如圖,將矩形ABCD折疊,使B點(diǎn)落在MN上,落點(diǎn)為P.已知M、N分別為CD、AB的中點(diǎn),且AB=,求折痕AE的長(zhǎng).分析:AE是直角三角形ABE的斜邊，解決本題的關(guān)鍵是求PE(或BE)的長(zhǎng)P第十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法一∵

M、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，P∴MN∥AD∥BC∴MN⊥AN且AN是AB的一半

又AP=AB.

∴AN是AP的一半∴∠PAN=60°,∠PAE=∠BAE=30°∴AEcos30°=,∴AE=2.

第十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法二：延長(zhǎng)EP交AD與F則FE=FA(已證)F231P∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，又∠APE=∠B=90?,∴AE=AF∴AE=AF=EF,∴∠1=∠2=30?,∴AE=2.∵AP=第十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法二：連結(jié)PB,F231P∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC∴PN垂直平分AB，∴PB=PA,又PA=BA，∴PA=BA=AB.∴∠2+∠3=60?,∴∠2=∠3=30?,∴AE=2.∵AP=第二十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法三：F231PO又FE=FA(問(wèn)題1的結(jié)論)∴AE=AF=EF∴∠EAF=60°,∠1=∠2=30°,∠3=30°∴AE=2.

由BC//MN//DA且M、N分別為CD和AB的中點(diǎn)可得EP=PF，EO=AO∴PO=AF，又∠EPF=90°

∴PO=AE，∴AE=AF，第二十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二xF例4

在例3中,若M、N分別為CD、AB的三等份點(diǎn),AB=,求PE和AE的長(zhǎng).

P

A

C

B

D

EMN分析：本題與上一題略有不同，MN由原來(lái)的二等分線變?yōu)槿确志€，其他條件不變。所以本題的解題關(guān)鍵還是求出EB(或EP)的長(zhǎng)

第二十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二x2x3xF

P

A

C

B

D

EMN解：延長(zhǎng)EP交AD于F,則FE=FA(已證)∵M(jìn)、N分別是矩形的邊AB和CD的三等分點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC,∴EP∶PF=BN∶NA=1∶2,設(shè)EP=x,則PF=2x,AF=EF=3x,在Rt?APF中有AP2+PF2=AF2,∴5+(2x)2=(3x)2,∴x=1,PE=1∴AE2=1+5=6∴AE=,第二十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二思考題：如上題中M、N為四等分或五等分點(diǎn)，其它條件不變你還能求出折痕的長(zhǎng)嗎？第二十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例5如圖：將正方形ABCD對(duì)折，折痕為MN，再沿AE折疊，把B點(diǎn)疊在MN上（圖中的P）,若AB=3,(1)求PM的長(zhǎng)；(2)以PE為邊長(zhǎng)的正方形的面積.分析：將本題與例題3比較，不難看出它們的共同之處，顯然，解決本題的關(guān)鍵是求PE和PN的長(zhǎng)。

EDCNMBAP33第二十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二EDCNMBAP解:(1)M、N分別是正方形的邊AB和CD的中點(diǎn)，∴MN∥AD∥BC,∴MN⊥AN且AN=AB又AP=AB.∴AN=AP∴∠APN=30°,PN=AN=∴PM=3-(2)∵∠APN=30°,∴∠PAN=60°

∠EAB=∠EAP=30°,∴EP=BE=,∴以EP為邊長(zhǎng)的正方形的面積為3.第二十六頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

例6

如圖，將矩形ABCD折疊，使C點(diǎn)落在邊AB上，（如圖所示），若AB=10,BC=6,求四邊形CNMD的面積。分析：本題與上一題區(qū)別在于點(diǎn)C折疊后落在矩形的邊AB上，ΔACN和ΔAMN是全等的，所以，求四邊形CNMD的面積可以轉(zhuǎn)化為求ΔDCN或ΔDMN的面積，所以本題的解題關(guān)鍵還是求出NC(或BN)的長(zhǎng).

第二十七頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解:在直角三角形ADM中,AD=6,DM=DC=10,由勾股定理可以求得AM=8.BM=10-8=2.設(shè)NC=x,則MN=x,BN=6-x,在Rt△BMN中，MN2=BN2+BM2∴x2=（6-x）2+4∴x=S四邊形CNMD=2S△DCN==第二十八頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解法二：由折疊的意義可知∠

DMN=∠C=90°∠DMA+∠NMB=90°∠A=∠C=90°,∴?DMA∽ΔMNB，∴

6∶8=2∶(6-x),∴x=S四邊形CNMD=2S△DCN==第二十九頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二例7:

將長(zhǎng)為8，寬為6的矩形ABCD折疊,使B、D重合，1.求折痕EF的長(zhǎng)。2.求?DEF的面積。EF分析：由矩形折疊的意義可知，EF垂直平分BD（O為BD的中點(diǎn)),由AB//DC可得EO:FO=BO:DO=1:1,∴O為EF的中點(diǎn)，所以可設(shè)法先求出EO的長(zhǎng)，或直接求EF的長(zhǎng),進(jìn)而求?DEF面積。

O第三十頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二解（法一）：∵D、B關(guān)于EF成軸對(duì)稱(chēng)∴EF垂直平分DB，又DC⊥CB,∴△DOE∽△DCB在Rt△DCB中，由勾股定理可得BD=10

∴DO=5,又AB//DC,∴EO:OF=DO:OB=1:1,(1)由△DOE∽△DCB得DO:DC=DE:BC∴EO:6=5:8∴EO=,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

ABCDQPEFO第三十一頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二EFOP解法二：(1)過(guò)C作CP//EF，交AB于P,∵EF⊥DB∴CP⊥DB易得△CBP∽△DCB∴CP:BD=CB:DC∴,∴EF=(2)S△DEF=EF·DO=××5=

第三十二頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二EFOP設(shè)BF=x則FD=DE=x，AF=8-x,在Rt△ADF中，

AF2=AD2+DF2

∴(8-x)2+62=x2

∴x=(2)S△DEF=××6=

EF·DO=2×∴EF=解法三：又DO=5且EF·DO=ED·AD第三十三頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、什么是折疊二、與折疊有關(guān)的問(wèn)題小結(jié)：第三十四頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二一、折疊的意義圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的形狀、大小不變，是全等形；圖形的翻折部分在折疊前和折疊后的位置關(guān)于折痕成軸對(duì)稱(chēng)

ABOB?l圖1AB′DB圖2第三十五頁(yè)，共三十八頁(yè)，編輯于2023年，星期二

將