材料力學(xué)第9章-壓桿穩(wěn)定3+第8章-能量法1課件

第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界載荷的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀臨界載荷Fcr的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)

=1

0.7

=0.5

=29.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷2ABCD臨界應(yīng)力總圖中柔度桿的臨界應(yīng)力也可用拋物線公式計(jì)算：9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力細(xì)長(zhǎng)桿中長(zhǎng)桿短粗桿39.4壓桿的穩(wěn)定條件二、折減系數(shù)法其中：為許用壓應(yīng)力。為折減系數(shù)，位于0和1之間。折減系數(shù)同時(shí)取決于材料性質(zhì)和壓桿的柔度（參考圖9.11)。根據(jù)折減系數(shù)法，壓桿的穩(wěn)定條件可寫(xiě)為：穩(wěn)定計(jì)算的三類問(wèn)題

1.穩(wěn)定校核

2.選擇截面

3.確定許用載荷59.4壓桿的穩(wěn)定條件壓桿穩(wěn)定性計(jì)算步驟a、計(jì)算、與:b、由壓桿類型算，大柔度桿，，中柔度桿，根據(jù)有關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算。c、由穩(wěn)定性條件進(jìn)行穩(wěn)定校核或確定許用載荷：d、設(shè)計(jì)截面，這一類穩(wěn)定性計(jì)算一般用折減系數(shù)法通過(guò)試算來(lái)實(shí)現(xiàn)。69.5壓桿的合理設(shè)計(jì)影響壓桿穩(wěn)定性的因素有截面形狀，壓桿長(zhǎng)度，約束條件及材料性質(zhì)等。要提高壓桿穩(wěn)定性，也要從這幾方面著手。一、合理選擇材料細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力只與彈性模量有關(guān)。由于各種鋼材的E值大致相等，所以選用高強(qiáng)度鋼或低碳鋼并無(wú)差別。中柔度桿臨界應(yīng)力與材料的強(qiáng)度有關(guān)，選用高強(qiáng)度鋼在一定程度上可以提高壓桿的穩(wěn)定性。7增大截面慣性矩I（合理選擇截面形狀）9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9三、改變壓桿的約束條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力與相當(dāng)長(zhǎng)度的二次方成反比，所以增強(qiáng)對(duì)壓桿的約束可極大的提高其臨界壓力。如采用穩(wěn)定性比較好的約束方式，或者在壓桿中間增添支座，都可以有效的提高壓桿的穩(wěn)定性。109.5壓桿的合理設(shè)計(jì)

例6廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯(lián)結(jié)成整體，承受軸向壓力F=270kN。根據(jù)桿端約束情況，該鋼柱的長(zhǎng)度系數(shù)取為m＝1.3。鋼柱長(zhǎng)7m，材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個(gè)直徑為d0=30mm的螺釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼型號(hào)。119.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由型鋼表查得，14a號(hào)槽鋼的橫截面面積為A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它對(duì)z軸的慣性半徑為iz=5.52cm=55.2mm。下面來(lái)檢查采用兩根14a號(hào)槽鋼的組合截面柱其穩(wěn)定因數(shù)j是否不小于假設(shè)的j＝0.5。注意到此組合截面對(duì)于z軸的慣性矩

Iz和面積

A都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz值就等于單根槽鋼的iz值。于是有該組合截面壓桿的柔度：139.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由圖9.11查得，Q235鋼壓桿相應(yīng)的穩(wěn)定因數(shù)為j＝0.262。顯然，前面假設(shè)的j＝0.5這個(gè)值過(guò)大，需重新假設(shè)j值再來(lái)試算；重新假設(shè)的j值大致上取以前面假設(shè)的j＝0.5和所得的j＝0.262的平均值為基礎(chǔ)稍偏于所得j的值。重新假設(shè)j＝0.35，于是有149.5壓桿的合理設(shè)計(jì)試選16號(hào)槽鋼，其

A=25.15×10-4m2，iz=61mm，從而有組合截面壓桿的柔度：由圖9.11得j=0.311，它略小于假設(shè)的j＝0.35?，F(xiàn)按采用2根16號(hào)槽鋼的組合截面柱而j＝0.311進(jìn)行穩(wěn)定性校核。此時(shí)穩(wěn)定許用應(yīng)力為按橫截面毛面積(不計(jì)螺孔)算得的工作應(yīng)力為159.5壓桿的合理設(shè)計(jì)如果z0，Iy0，Iz0，A0分別代表單根槽鋼的形心位置和自身的形心主慣性矩以及橫截面面積則Iy＝Iz的條件可表達(dá)為亦即消去公因子2A0后有在選用16號(hào)槽鋼的情況下，上式為179.5壓桿的合理設(shè)計(jì)由此求得h＝81.4mm。實(shí)際采用的間距h不應(yīng)小于此值。3.按鋼柱的凈橫截面積校核強(qiáng)度鋼柱的凈橫截面積為按凈面積算得的用于強(qiáng)度計(jì)算的工作應(yīng)力為它小于強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]=170MPa，滿足強(qiáng)度條件。18第九章壓桿穩(wěn)定9.1引言9.2細(xì)長(zhǎng)壓桿的歐拉(Euler)臨界載荷9.3中、小柔度壓桿的臨界應(yīng)力9.4壓桿的穩(wěn)定條件9.5壓桿的合理設(shè)計(jì)9.6用能量法求壓桿的臨界載荷材料力學(xué)199.6用能量法求壓桿的臨界載荷如圖所示壓桿，假設(shè)在臨界載荷作用下達(dá)到微彎平衡狀態(tài)，臨界壓力在軸向位移上所做的功等于壓桿微彎狀態(tài)下的應(yīng)變能即：B點(diǎn)的軸向位移：其中：所以：AByxlFcrxB′dxds219.6用能量法求壓桿的臨界載荷又：由以上兩式有：所以撓曲線確定后，就可以知道臨界壓力的大小。撓曲線一般可以采用滿足位移邊界條件的近似曲線代替。AByxlFcrxB′dxds229.6用能量法求壓桿的臨界載荷AByCyxlFx例用能量法求兩端球鉸的壓桿的臨界壓力。解：設(shè)壓桿微彎曲時(shí)的撓曲線方程為：該撓曲線滿足位移邊界條件：則任一截面上的彎矩為：由：有：239.6用能量法求壓桿的臨界載荷因?yàn)閾锨€只是近似曲線，如果對(duì)它求兩次導(dǎo)數(shù)，會(huì)引起數(shù)值上更大的偏差?；谑剑旱慕Y(jié)果比基于式。的結(jié)果更精確。259.6用能量法求壓桿的臨界載荷qlxfx例如圖細(xì)長(zhǎng)桿，一端固定，另一端自由，承受集度為q的軸向均布載荷作用。試用能量法確定載荷q的臨界值qcr。解：假設(shè)壓桿微彎時(shí)的撓曲線方程為：其中為壓桿自由端的撓度。解法一：壓桿微彎時(shí)，橫截面x的軸向位移為：均布載荷所做的功：26第九章壓桿穩(wěn)定材料力學(xué)歐拉臨界應(yīng)力穩(wěn)定條件或折減系數(shù)法歐拉臨界載荷29第八章能量法一、桿件的應(yīng)變能二、應(yīng)變能普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理)三、卡氏定理能量法四、互等定理五、虛功原理單位力法圖乘法六、超靜定問(wèn)題力法七、沖擊應(yīng)力30

求解彈性體系(如桿件)的變形可采用的方法：1、分析法/解析法

平衡方程——靜力平衡關(guān)系幾何方程——變形幾何關(guān)系物理方程——應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

利用應(yīng)變能的概念，解決與彈性體系變形有關(guān)的問(wèn)題的方法。在求解組合變形、曲桿或桿系以及超靜定問(wèn)題時(shí)，能量法是一種非常有效的方法，是結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。

能量法/基本概念2、能量法31

能量法有關(guān)的幾個(gè)基本概念

3、能量守恒：忽略緩慢加載過(guò)程中動(dòng)能和其它形式的能量損失，桿件能量守恒，即桿內(nèi)所儲(chǔ)存的應(yīng)變能U在數(shù)值上與外力所作的功W相等。功能原理

U＝W1、外力功:線彈性體系在外力的作用下產(chǎn)生變形，每個(gè)外力在與它相對(duì)應(yīng)的位移上所作的功W。2、應(yīng)變能:彈性體受外力作用下產(chǎn)生變形而儲(chǔ)存了能量，這個(gè)被儲(chǔ)存的能量即為應(yīng)變能或變形能U。能量法/基本概念32

一、桿件產(chǎn)生基本變形時(shí)的應(yīng)變能1、軸向拉伸或壓縮FLLOBLFA能量法/桿件的應(yīng)變能式中——軸力，

A——橫截面面積33

由拉壓桿件組成的桿系的應(yīng)變能：F12345——結(jié)構(gòu)中第i桿的軸力

Li——結(jié)構(gòu)中第i桿的長(zhǎng)度，

Ai——第i桿的截面面積式中n——桿系中桿件的總數(shù)。能量法/桿件的應(yīng)變能34

取微段研究：微段的應(yīng)變能：整個(gè)桿件的拉壓應(yīng)變能受力復(fù)雜桿(軸力沿桿的軸線變化)的應(yīng)變能qLdxdx(dx)x能量法/桿件的應(yīng)變能35

2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)mLmOBmA圓截面桿的應(yīng)變能式中T——圓桿橫截面上的扭矩；——圓桿橫截面對(duì)圓心的極慣性矩。

能量法/桿件的應(yīng)變能36

受力復(fù)雜的圓截面桿(扭矩沿桿的軸線為變量)ddxTT整個(gè)桿的扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為可取微段分析：能量法/桿件的應(yīng)變能37

3、平面彎曲純彎曲梁的應(yīng)變能：式中M——梁橫截面上的彎矩；

I——梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩LmmoBAm能量法/桿件的應(yīng)變能38

橫力彎曲梁(彎矩沿梁的軸線為變量)的應(yīng)變能整梁的彎曲應(yīng)變能按微段分析：和拉壓、扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能比較能量法/桿件的應(yīng)變能39

4、剪切純剪切時(shí)微段梁的應(yīng)變能：FSdxFSOBCFS/A由于切應(yīng)力在截面上并非均勻分布。引入系數(shù)k,因此微段梁的應(yīng)變能為：能量法/桿件的應(yīng)變能40

整個(gè)梁的剪切應(yīng)變能：式中(b為截面的寬度，S為截面對(duì)中性軸的靜矩)(2)一般實(shí)心截面的細(xì)長(zhǎng)梁:剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于其彎曲應(yīng)變能，通常忽略不計(jì)。(1)

k

由截面的幾何形狀決定:矩形截面:k=1.2,圓截面:k=10/9,圓環(huán)形截面:k=2能量法/桿件的應(yīng)變能41

F例：矩形截面懸臂梁，長(zhǎng)L，截面高h(yuǎn)，寬b，k=1.2。細(xì)長(zhǎng)梁整個(gè)梁的彎曲應(yīng)變能：細(xì)長(zhǎng)梁的剪切應(yīng)變能遠(yuǎn)小于彎曲應(yīng)變能，可忽略不計(jì)！整個(gè)梁的剪切應(yīng)變能：得解：42

二、應(yīng)變能的普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理)FOB

A基本變形下應(yīng)變能的一般表達(dá)式：式中F——廣義力(力或力偶)；

——廣義位移(線位移或角位移)且F=C(力與位移成線性關(guān)系)表明：彈性體的應(yīng)變能是一個(gè)狀態(tài)量，僅決定于外力和位移的最終值，與加載的過(guò)程無(wú)關(guān)。能量法/克拉貝隆原理43

應(yīng)變能的普遍表達(dá)式(克拉貝隆原理)的導(dǎo)出設(shè)在某彈性體上作用有外力，在支承約束下，在相應(yīng)的力方向產(chǎn)生的位移為，(i=1,2,…,n)。則物體的應(yīng)變能為：能量法/克拉貝隆原理44

證明：彈性體在載荷作用下同時(shí)發(fā)生幾種基本變形(即組合變形）。且彈性體在變形過(guò)程中貯存的應(yīng)變能只取決于外力和位移的終值，與加力順序無(wú)關(guān)。因此可假設(shè)

按同一比例從零逐漸增加到終值，即外力增加的過(guò)程為：若材料是線彈性的，則對(duì)應(yīng)的位移也以的比例增加，相應(yīng)的位移為：式中：01(從0線性增加到1)能量法/克拉貝隆原理45

如果增加d，則位移的相應(yīng)增量為：則外力在以上位移增量上所作的功為（略去高階微量）：積分得此式稱為克拉貝隆原理。能量法/克拉貝隆原理46

特別注意點(diǎn)：——廣義力，可以是一個(gè)力，也可以是一個(gè)力偶，或者是一對(duì)力，或者是一對(duì)力偶?！谒辛餐饔孟?因與全部作用力有關(guān))，與廣義力相對(duì)應(yīng)的沿著力的方向的廣義位移。力——沿力矢方向的線位移力偶——力偶轉(zhuǎn)向的角位移一對(duì)力——該對(duì)力兩作用點(diǎn)沿力矢方向的相對(duì)線位移一對(duì)力偶——該對(duì)力偶兩作用截面間沿力偶轉(zhuǎn)向的相對(duì)角位移能量法/克拉貝隆原理47

F

力：F，位移：力：m，位移：FFLL+例子力：F，位移：力：m，位移：mmm能量法/克拉貝隆原理48

關(guān)于應(yīng)變能計(jì)算的討論以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的應(yīng)變形能的計(jì)算。應(yīng)變能可以通過(guò)外力功計(jì)算，也可以通過(guò)桿件微段上的內(nèi)力功等于微段的應(yīng)變能，然后積分求得整個(gè)桿件上的應(yīng)變能。3應(yīng)變能為內(nèi)力（或外力）的二次函數(shù)，故疊加原理在應(yīng)變能計(jì)算中不能使用。只有當(dāng)桿件上任一載荷在其他載荷引起的位移上不做功時(shí)，才可應(yīng)用。例如：能量法/克拉貝隆原理49

4應(yīng)變能是恒為正的標(biāo)量，與坐標(biāo)軸的選擇無(wú)關(guān)，在桿系結(jié)構(gòu)中，各桿可獨(dú)立選取坐標(biāo)系。能量法/克拉貝隆原理M(x)

—只產(chǎn)生彎曲轉(zhuǎn)角FN

(x)

—只產(chǎn)生軸向線位移T(x)—只產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角不計(jì)FS產(chǎn)生的應(yīng)變能50

例1試計(jì)算圖示吊車(chē)架的應(yīng)變能，并應(yīng)用它求節(jié)點(diǎn)A的豎直位移。已知E=200GPa,F

=57.6kN。斜桿AB由兩根

50505mm等邊角鋼組成，每根角鋼的橫截面面積，橫桿AC由兩根No.10槽鋼組成，每根槽鋼的橫截面面積。設(shè)各桿自重可以不計(jì)。F30°ACB2m能量法/克拉貝隆原理51

解:FA由節(jié)點(diǎn)A