模糊聚類分析的應用

數(shù)學建模論文題目：模糊聚類分析在數(shù)學考研真題中的應用本文采用模糊聚類分析方法和GM(1,1)灰色預測模型，利用軟件matlab求解，預測出出卷者在未來怎樣出題以及對考研者的復習指導。關鍵詞:模糊聚類分析相關系數(shù)法平方法matlab 時間序列一、問題的重述在數(shù)學建模中，如何用模糊數(shù)學中的“模糊聚類分析的方法解決近10年數(shù)學考研試題”這一個很模糊的問題？二、模型假設假設本小組從網(wǎng)上下載的考研真題具有真實性。假設從題目中提取的數(shù)據(jù)是合理的。假設本小組所用的算法在電腦中執(zhí)行的結果是正確的。三、變量說明TOC\o"1-5"\h\z函數(shù) X1極限 X2連續(xù) x3一元函數(shù)微積分學 x4向量代數(shù)與空間解析幾何 x5多元函數(shù)的微積分學 x6無窮級數(shù) x7常微分方程 x8行列式 x9矩陣 x10向量 x11線性方程組 x12矩陣的特征值和特征向量 x13二次型 x14隨機事件和概率 x15隨機變量及其概率分布 x16二維隨機變量及其概率分布 x17隨機變量的數(shù)字特征 x18大數(shù)定律和中心極限定理 x19數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 x20參數(shù)估計 x21四、模型的準備首先，本小組對2004-2013年的數(shù)學考研試題中的每一道題目進行知識點的標記，然后對所有標記的題目通過知識點進行統(tǒng)計，如下表：年份200420052006200720082009201020112012201324323123424x34211321001x42123258342x51012010101x61432432343x72120101010x81111201111x91010101021x102222342323x111012101210x122111001210x130101210210x141000010111x150101020101x162011303212x172222022232x180110110100x190100000100x200000010000x211012101021其中，表中的數(shù)據(jù)又分為三類:高等數(shù)學（X1至x8）線性代數(shù)（x9至X14）概率論與數(shù)理統(tǒng)計（x15至x21）五、模型的建立與求解模型一通過上面模型的準備，下面開始對數(shù)進行相應的處理。對上面每一類的數(shù)據(jù)進行相應的處理得到模糊相似矩陣,下面以高等數(shù)學中的知識點為例。步驟如下：（1）提取表1中的X1到x8中的數(shù)據(jù)，利用相關系數(shù)法，構造模糊相似關系矩陣C=氣）nxn，即C=氣）8x8。其中-(了-匚)2c=e(x,+xj)2i廠廠分別為矩陣C每一行和每一列的均值；IjX,x分別為矩陣C每一行和每一列的標準差；i=j,j為原始數(shù)據(jù)所得矩陣的列數(shù)。利用軟件matlab編寫程序得到高等數(shù)學知識點的模糊相似矩陣:-1.00000.83790.28680.96710.01130.85720.02690.0072一0.83791.00000.57320.99500.09111.00000.14810.08800.28680.57321.00000.73100.84420.60680.89080.92080.96710.99500.73101.00000.37390.99540.43370.4046C=0.01130.09110.84420.37391.00000.12660.99530.93380.85721.00000.60680.99540.12661.00000.18950.12840.02690.14810.89080.43370.99530.18951.00000.97510.00720.08800.92080.40460.93380.12840.97511.0000（2）利用平方法，得到模糊相似矩陣C的模糊等價矩陣。利用matlab計算（代碼見附錄）得到，且R=C=C3。1.00000.96710.96711.00000.73100.73100.96710.99540.73100.73100.96711.00000.73100.73100.73100.96710.73100.99541.00000.73100.73101.00000.92080.73100.73100.99540.92080.73100.73100.96710.73101.00000.92080.73100.73100.99541.00000.73100.73101.00000.99530.73100.73100.73100.73100.73100.92080.92080.73100.73100.99530.97510.73100.73101.00000.97510.73100.73100.92080.73100.97510.73100.97511.0000取入=0.995(見附錄)，得到:一10000000-0101010000100000R二01010100力00001010010101000000101000000001通過上面的矩陣人人對上面的x1至x8進行分類得到如下的結果：(x1),(x2,x4,x6),(x3,),(x5,x7),(x8)下面對所分類的結果進行檢驗：利用軟件matlab的命令把(x2,x4,x6)，(x5,x7)的圖形分別畫出如下:

12004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份0.6數(shù)1.2次的出112004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份0.6數(shù)1.2次的出1識知0.8各2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份0.40.2圖1通過圖1確定：x5和x7的走向趨勢具有相反性，x2與x4具有一致性，均與x6具有相反性。同上面的過程，我們再對線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計就簡單了。線性代數(shù)的步驟如下：數(shù)據(jù)來源于（x9至x14）模糊相似矩陣「1.00000.1353線性代數(shù)的步驟如下：數(shù)據(jù)來源于（x9至x14）模糊相似矩陣「1.00000.13530.95110.92620.95111.00000.13531.00000.19980.29340.19980.07240.95110.19981.00000.99471.00000.93520.92620.29340.99471.00000.99470.90480.95110.19981.00000.99471.00000.93521.00000.07240.93520.90480.93521.0000模糊等價矩陣1.00000.29340.95110.95110.95111.00000.29341.00000.29340.29340.29340.29340.95110.29341.00000.99471.00000.95110.95110.29340.99471.00000.99470.95110.95110.29341.00000.99471.00000.9511_1.00000.29340.95110.95110.95111.0000=0.996(:見附錄)，得到：R=取入100001010000001010000100001010100001通過上面的矩陣R人對上面的x9至x14進行分類得到如下的結果：(x9,x14),(x11,x13),(x10),(x12)下面對所分類的結果進行檢驗：利用軟件matlab的命令把(x9,x14)，(x11,x13)的圖形分別畫出如下:21.8■64'28642 oooO數(shù)次的現(xiàn)出點識知各21.80?O2份821.8■64'28642 oooO數(shù)次的現(xiàn)出點識知各21.80?O2份8年OO210O20,212O2O3002數(shù)次的現(xiàn)出點識知各,3O2,02|>01212O2圖2從上面的圖2中得出結論：x9與x14具有相反性，x11與x13具有相反性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計的步驟如下:數(shù)據(jù)來源于（x15至x21）模糊相似矩陣：0.78471.00000.36600.72781.00000.77430.44120.99340.88040.77431.00000.95270.67900.47270.78471.00000.36600.72780.44120.95271.00000.29380.11650.05410.34160.99340.67900.29381.00000.90480.79850.99090.88040.47270.11650.90481.00000.98180.83370.78470.36600.05410.79850.98181.00000.69721.00000.72780.34160.99090.83370.69721.0000模糊等價矩陣：P1.00000.29340.95110.95110.95111.00000.29341.00000.29340.29340.29340.29340.95110.29341.00000.99471.00000.95110.95110.29340.99471.00000.99470.95110.95110.29341.00000.99471.00000.95111.00000.29340.95110.95110.95111.0000取入=0."9（見附錄），得到:1000001010000000100000001000000010000000101000001通過上面的矩陣R人對上面的x15至x21進行分類得到如下的結果:(x15,x21),(x16),(x17),(x18),(x19),(x20)下面對所分類的結果進行檢驗:數(shù)1.2次的「現(xiàn)1出數(shù)1.2次的「現(xiàn)1出1點識知0.8各02004 20052006 20072008 2009 2010 2011 2012 2013年份圖3通過圖3得出：x15與x21具有相反性。模型二下面開始通過灰色預測模型(GM(1,1))來對2014年各知識點出現(xiàn)的頻率做預測。記x(0)為原始數(shù)列x(0)二(x(0)(k)xk=1,2,…，n)=(x(0)⑴，x(0)⑵，…，x(0)(n))記x⑴為生成數(shù)列x⑴=(x⑴(k)xk=1,2，…，n)=(x⑴⑴，x⑴⑵，…，x⑴(n))如果x(0)與x⑴之間滿足下列關系，艮口工⑴⑴=玄舟)《)1=1稱為一次累加生成。5建模步驟a、 建模機理b、 把原始數(shù)據(jù)加工成生成數(shù)；c、 對殘差(模型計算值與實際值之差)修訂后，建立差分微分方程模型；d、 基于關聯(lián)度收斂的分析；e、 gm模型所得數(shù)據(jù)須經(jīng)過逆生成還原后才能用。f、 采用“五步建模(系統(tǒng)定性分析、因素分析、初步量化、動態(tài)量化、優(yōu)化”法，建立一種差分微分方程模型gm(1,1)預測模型。GM(1，1)模型令x(0)=(x⑴，x⑵，…，x(n))作一次累加生成，kx(k)=Ex(m)消除數(shù)據(jù)的隨機性和波動性m=1有x=(x⑴，x⑵，…，x(n))=(x⑴，x⑴+x⑵，…，x(n-1)+x(n))x可建立白化方程：dx/dt+ax=u即gm(1,1).該方程的解為：x(k+1)=(x⑴-u/a)e+u/a其中：a稱為發(fā)展灰數(shù)；p稱為內(nèi)生控制灰數(shù)利用matlab軟件預測2014年21個變量的值，得到的結果如下表（代碼見附錄）：各知識點出現(xiàn)的次數(shù)預測2014預測20143 3 1 4 1 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0 2 2 0 0 0 1六、模型結果的分析通過上面模型一和模型二的建立與求解過程，可以得出：x5和x7的走向趨勢具有相反性，x2與x4具有一致性，均與x6具有相反性。x9與x14具有相反性，x11與x13具有相反性。x15與x21具有相反性。從而可以對考研者在未來一年的考研輔導過程中，進行以下指導：對x1、x2、x4、x6、x10、x14、x16、x17重點復習，但是在復習x2、x4、x6時，先復習x2和x4,因為x6呈下降趨勢，x2、x4與x6具有相反性。在復習x5和x7時重點復習x5,x7可以不復習，因為在預測中x7=0,x5=1;表示復習x5，符合x5和x7具有相反性。在復習x9和x14時重點復習x14，雖然可能會考乂9,但可正常復習一下x9即可。在復習x11和x13以及x15和x21的時候，只需復習x13,x11可以簡單蓋過，符合x11與x13具有相反性;只需復習x21,x15可以簡單蓋過，符合x15與x21具有相反性。其他的知識點，根據(jù)預測的結果得出以下結論：x3x8x10均需復習，x18x19x20可以簡單的復習一下。對于出卷者而言：在高數(shù)方面，重點出x1x2x4x6四個知識點，x7不出，其他的知識點正常出題；在線性代數(shù)方面，重點出x10x14,x11不出，其他的知識點正常出題；在概率論與數(shù)理統(tǒng)計方面，重點出x16x17,再出x21,其他的知識點可以不出。七、模型的優(yōu)缺點1、模糊聚類分析優(yōu)點：聚類分析模型的優(yōu)點就是直觀，結論形式簡明。缺點：在樣本量較大時，要獲得聚類結論有一定困難。由于相似系數(shù)是根據(jù)被試的反映來建立反映被試間內(nèi)在聯(lián)系的指標，而實踐中有時盡管從被試反映所得出的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)他們之間有緊密的關系，但事物之間卻無任何內(nèi)在聯(lián)系，此時，如果根據(jù)距離或相似系數(shù)得出聚類分析的結果，顯然是不適當?shù)?，但是，聚類分析模型本身卻無法識別這類錯誤。2、灰色預測模型優(yōu)點：要求負荷數(shù)據(jù)少、不考慮分布規(guī)律、不考慮變化趨勢、運算方便、短期預測精度高、易于檢驗。缺點：當數(shù)據(jù)離散程度大，即數(shù)據(jù)灰度大，預測精度越差。為了解決這一問題，一般提出對歷史數(shù)據(jù)的平滑處理、模型參數(shù)修正等方法。八、參考文獻［美］MATLAB實用教程（第二版）HollyMoore著高會生劉童娜議/s?wd=模糊聚類分析在數(shù)學建模中的應用&ie=utf-8十、附錄高等數(shù)學的知識點的代碼:1.求模糊相似矩陣的MATLAB程序a=[55421121532104113312132143142301433404123223130033180201430314014204041134121311]；mu=mean(a);sigma=std(a);fori=1:8forj=1:8r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))A2/(sigma(i)+sigma(j))A2);endendrsavedatalra矩陣合成的MATLAB函數(shù)functionrtha=hecheng(r);n=length(r);fori=1:nforj=1:nrtha(i,j)=max(min([r(i,:);r(:,j)']));endend求模糊等價矩陣和聚類的程序loaddata1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(8);bh(find(r2>0.995))=1線性代數(shù)的知識點代碼:1.求模糊相似矩陣的MATLAB程序b=[121211;021110;021110;021110;030020;040001;121100;032211;221111;1];30001mu=mean(b);sigma=std(b);fori=1:6forj=1:6r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))A2/(sigma(i)+sigma(j))A2);endendrsavedata2rb矩陣合成的MATLAB函數(shù)functionrtha=hecheng(r);n=length(r);fori=1:nforj=1:nrtha(i,j)=max(min([r(i,:);r(:,j)']));endend求模糊等價矩陣和聚類的程序loaddata1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(n);bh(find(r2>0.996))=1概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識點代碼1.求模糊相似矩陣的MATLAB程序c=[0220001;1021101;0121001;1120001;0301001;2021010;0320000;1221100;1130000;0];220001mu=mean(c);sigma=std(c);fori=1:7forj=1:7r(i,j)=exp(-(mu(j)-mu(i))A2/(sigma(i)+sigma(j))A2);endendrsavedata3rc矩陣合成的MATLAB函數(shù)functionrtha=hecheng(r);n=length(r);fori=1:nforj=1:nrtha(i,j)=max(min([r(i,:);r(:,j)']));endend求模糊等價矩陣和聚類的程序loaddata1;r1=hecheng(r)r2=hecheng(r1)r3=hecheng(r2)bh=zeros(n);bh(find(r2>0.999))=1高等數(shù)學的代碼和圖形:x2=[432x2=[432312x4=[212325x6=[143243x5=[101201x7=[212010x=[2004:1:2013];3424];8342];2343];0101];1010];subplot(1,2,1)plot(x,x2,'r',x,x4,'b',x,x6,'k')holdonsubplot(1,2,2)plot(x,x5,'b',x,x7,'k')線性代數(shù)的代碼和圖形:x=[2004:1:2013];x9=[1010101021];x14=[0101210210];x11=[1012101210];x13=[1210201210];subplot(1,2,1)plot(x,x9,'k',x,x14,'b')holdonsubplot(1,2,2)plot(x,x11,'b',x,x13,'k')概率論與數(shù)理統(tǒng)計的代碼和圖形:x=[2004:1:2013];x15=[0 1 0 1 0 2 0 1 0 1];x21=[1 0 12 10 10 2 1];plot(x,x15,'b-v',x,x21,'o-k')調用函數(shù)代碼：functiony=gm11(x,n)%x為行向量數(shù)據(jù)%做一次累加x1=zeros(size(x));fori=1:size(x1,2)x1(i)=sum(x(1:i));end%x1的均值數(shù)列z1=zeros(size(x));fori=1:size(x1