定積分習(xí)題及答案

4exdxx4xx1xdxx1x4exdxx4xx1xdxx1x(A層)1

20

3

；2．

x

2

；3

1

3

2

dx

2

；4

1

xdx5x

；5

1

；6

134

dx

；7

1

1lnx

；8

x2

；9

1cos2；10

11

22

cos

4

；12

5

sinx4x

；133dx142

1

x

；15

；16

cos

；17

2；18

e

sin

19

24

3

20．

40

x1

；21dx；1222

120

ln231

24

；24．

lnsinxdx；25

0

dx

。(B層次1求由

xt

tdt所決定的隱函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)

。2當(dāng)為何值時，函數(shù)

I

2dt有極值？3

sinx

cos

dt。

4設(shè)

xfx,x

，求5

lim

0

2x

。

fx7設(shè)f1fx7設(shè)f1f6設(shè)

12

sinx,0

，

f

其它當(dāng)時1當(dāng)x時x8n2。

，求

20

fxdx。9求

k

kenn

。10設(shè)是持續(xù)函數(shù)，且

ff11若

2x

dtt

6

，求12證明：

12

12

dx2

。

1213已知

lim

xx

e

，求常數(shù)。14設(shè)

x

，求

f15設(shè)f為1sin

x

2

016設(shè)f，b使

3

117已知f0

18設(shè)f

2

2

1

19

00

2

。020x時

x2

窮小，試求

0(C次)1．設(shè)f任意的二次多項式，g個二次多項式，已知

23bdtlimx23bdtlimx

f

f0

，求

ba

g2設(shè)函數(shù)f間續(xù)階導(dǎo)，則在在，得

ba

f

f24

3．f

上二次可微，且

f

，

f

。試證a

f2

。4設(shè)函數(shù)ff

，f

12

ba

f

。5

11

點x06．設(shè)f

x20x

Fx4

。7．設(shè)f

則

4

ba

fa

8．設(shè)fB，求lim

fdxfba。9設(shè)f奇函數(shù)；F10設(shè)f

11若

，證明：

12求曲線y13設(shè)f對任意實有

xff

14設(shè)方

2tdt，求

dy2

。15設(shè)lim0

16當(dāng)x時，f

x

ff0

xxbba17設(shè)xxbba

f

18設(shè)

19g一個根。120設(shè)dt，證明：fta(1)F(2)F。

fb

0少有21設(shè)f

a

f22設(shè)的持續(xù)函數(shù)，證明：

0

23設(shè)一，使

f

f24證

10

lnf

0

ln

ff

du

10

lnf25設(shè)f，a26設(shè)fa

M2

。27．設(shè)f二階導(dǎo)，且f

一續(xù)函數(shù)，則1a

a0

f

028設(shè)f

ba

f

。29設(shè)

ba

30為正常數(shù))，試證第章定分

f(M，

5du(A)5du1

sinxcos

xdx解：原

1x4

1422a22解：令xasintdxcostdt當(dāng)xt0，當(dāng)at

2原式

20

a2sintttdt

a4

20

2

tdt

a8

20

ta41sin482

16

a

3

dxx

解：令

，sec

當(dāng)x別離為，43原式

23

34

1

xdx5解：令5x，x

51udxudu44當(dāng)1u原

13

1218

4原2222e54原2222e1

解：令tdt當(dāng)x；當(dāng)4時ttdt2dt1tln2ln11

236

134

dx解：令，則x31當(dāng)x,1,042

dx原式

u220

ln71

1x解：原式

e1

11ln

dx

e1

11

d

2x

e

238

x

x解：原

0

1

arctgarctg

4

4

29

xdx解：原式

2

2

xdx2

cos0

02sinx

x

210

x

sinxdx

212x2sin449解：∵x奇函數(shù)212x2sin449∴xxdx411解：原4

2

cos4xdx

2

2cosxdx0

02

2

2

2

20

02

20

0

20

2sin2x

20

12

20

4212

5

sin24x

解：∵

24x

為奇函數(shù)

5

3x2

013

x2

dx解：原

xdctgxxctgx

ctgxdx

x

3342

414xdx1313414xdx1492141

x

解：原

4

xd1xxdln124ln2

41

1

8ln12

12

15

xarctgxdx解：原式

1122011120

x1

111811arctgx8220

2

416e2cosxdx解：原式

2

e

2x

d02x

20

x2x0

2xd

cosx

cosx

cosxdx

2e02故2e02

20

e

2x

1e2517．

0解：原式

0

xsinx

2

dxx0

2

12

dx12

0

xdx

12

0

x216

x

3

0

14

0

x236

14

x22xdx003164

0

xdcos2x3164

xcos2x

0

0

36418．1解：原式

e1

e1

xcoslnx

1x

dx

lnxdxlnx

e1

e1

xsinlnx

1x

dx11

dx故

e1

sinlnx

e2

119．

24

cosx3xdx解：原式

2

12

xdx40

dx

2

4232cosx334

0

32

20

2142213320

40

x1

解：原

40

x1sin2

40

cos2

2x

dx

40

dcosxcosx

40

2

cosx

21

xx

x

解：令x

2

則原式

2

2

ttcostdt1sin2tsin2t22

120

t2101xln1

2

dtt2t0解：原

1x212x21

x221

1ln3ln8x

2

2

xxx令xtx1xxx令xtxln38

120

1xln22x

1ln32823

24

解：原式

0

24

2

0

x2x

x2

2

1

d

1x1x222

24

ln解：原

2ln2sin4020

lntlncost2

lnsin4tdtt

2

ln2

4lnsin2sinudu

2

2

20

lntdt故

20

lnsinxdx

2

ln25

0

dx2

1解：令x，dttt

11x1xx11x1xxx3．dt。costdcostdxdtdtxcos原式

0

t22t2

t

0

t∴

dx2

0

11

2

dx02故

0

dx2

(B)1．求dttdt0所決定的隱函數(shù)yx的導(dǎo)數(shù)解：將兩邊對x求導(dǎo)得

。e

y

dydx

0∴

dyxdxy2．當(dāng)為何值時，函數(shù)I

dt有極值？解：I

當(dāng)，I

當(dāng)，I∴當(dāng)，函數(shù)Icos解：原dtcosadsinxxdxaa

sin

2

xsin2xx2

x

sin

2

x

fdxxx型0x1xfdxxx型0x1xx4．設(shè)

,x

，解

210

12

xx

5．lim

0

。

x

2

解：x

limx

12lim

2

lim

arctgxx

x2

26．設(shè)

12

sinx0

，

f

。

其它

解：當(dāng)，

0

0dt0時

x0

1xsintdt2當(dāng)x時02

當(dāng)時當(dāng)x7．設(shè)fx1

當(dāng)時當(dāng)x時

，

20

f解：f1

當(dāng)x當(dāng)

xdx1xdx1

20

f

10

1x

21

11

10

1x1

d

21

ln1

x

28lim

2

n

。解：原limnnn

1n9．

lim

iken

i1。

k

nn解：原式lim

nn

10

e1

2x

10

410設(shè)f解：令

10

f從即

f01，A22

12

∴11

2x

dtt

6

，求x。解：令t，t1dt

2u1

2

dut2時3tx時ue

在0處取最大值，且y在0處取最大值，且y

2ln2x

dtt

3e

udu12u

3e2e

6從而xln12證明：2

12

12

dx2。

12證：考慮2

上的函數(shù)y

，則，令x1當(dāng)xy2

當(dāng)xy

∴y

在

12

處取最小

12

e2

dx

e

dx

即2

12

12

dx2。13已知lim

12

42e，常。2a解：左limx

a右端

2

e

x

2

de

xa

a

xe

2

2axa2a

a

x

2ae

a∴

2

e

0t2tsint4330000t2tsint433000114設(shè)x解：令x則

xx

，求f

f

f0

dt

115設(shè)f為1sin

x求

2

xf

0解：x，且f

20

xf

0

t1fdt24

0

tf

1tdfttftft40401216設(shè)f，b

3

解：當(dāng)

1x小，由x知，在1ylnx的上方間所夾面積最小ln的切線

1x

設(shè)切點011則切線xx，故x00于是Ix

a2

x

xdx1

3

1令I(lǐng)

a

2得aa從而xb20又I

a

2a

現(xiàn)在

31

17已知f

1

0解：

0

f2

1122xfb1122xfb

12

2

18設(shè)f

2

2

1

00解：設(shè)

1

2

f

Bx20∴03∴0031解得：，，于是342fxx33190解：原式

xf

0

sin

0

0

020x時

x

是等價無窮小，試求

解lim

x

0lim

xfx

lim

f

x

lim

xf

x

f

故f

12(C)1．設(shè)f任意的二次多項式，g個二次多項式，已知

ff

f

，求a解：設(shè)I

b

g

1

ga0

13bb00020013bb0002000令于是f0，f12由已知得I

g2設(shè)函數(shù)f間續(xù)階導(dǎo)，則在在，使得

ba

f

f24

證：由泰勒公式f0

0

0

f

2!

0

其中xx與之間。0兩邊積分得：

ba

f00aa

baf

fx

0

令x0

a2

，則

f

aa222

f

124

3．f

上二次可微，且

f

，

f

。試證

ba

f

f2

。證明：f

ff

fb

b

b

a

a

fxdxfab1bx1b111fxdxfab1bx1b111fxdxfxfxdx4，這

ba

bfaffb2fb24設(shè)函數(shù)ff

，f2a

(x)。證明：因為

b

xb

a

ax而fa

x于是f

12

x

f

bx

f

f

12

x

f

bx

f

2a

f

50證：假設(shè)f

點x0由已

1100

10

11200

f

10

1204

122

故

10

122從而

10

12

f∴因為矛盾。故

110

xxb證dxffxbbdxffxfdx6．設(shè)fxxb證dxffxbbdxffxfdx0xx解：令x2，20Fff于limlimlimlimf。xx0xx2x042

。7．設(shè)f

則

4

fa

a證：因在ab上持續(xù)可微，則x在和b上均知足拉格朗日定理條件，2設(shè)Mmaxf

f

f

f

f

f

f

f

故

M4

ba

xf

xdx

M

8．設(shè)fB，求limabf1b1bakk

fdxfba。令u，

于

ba

aaf1bbkklim0a

1kfdxlim0

ff

ff9設(shè)f奇函數(shù)；F

xxxxxxx1xfxtxxxxxxx1xfxtx0x3

t

f

0∴F

0(2)F0

0

x

0

0由于增加，時，f

0故F10設(shè)f

解：記0

100

由f

解之f為任意常數(shù)）11若

，證明：

解：f0sin

0

0

0xdf00f

0

0

因

12求曲線y解：

即y2x13設(shè)f對任意實有證：兩邊對導(dǎo)

xffsin

即f

a

，即得

14設(shè)方

sec2tdt，求

dy2

。解：方程兩邊對x求導(dǎo)，得2sec

2

從而2

215設(shè)lim0

(axb)證：設(shè)F左側(cè)limh0

1h

limh0

Fhhf16當(dāng)x時，f解：等式兩邊對x求導(dǎo)，得

x0

fffx

2

2

1aa2a1aa2a

將x代入得：故f517設(shè)

f證

f

f

f

1

00

1

0121

2

由于

f

f

f18設(shè)

證：F

20

0

2

a

0

0

2a

0a

a

0在第一個積分中，a，則

2

a

a0f故F

19g一個根。

fb

0少有

bxxbfdxf2aabxxbfdxf2aafx2af即g0bf方程g0的一個根。b20設(shè)

fa

1ft

dt，證明：(1)F

(2)F。證：(1)F

1f

2(2)F

ab

1f

dt0，a又FF又FF。21設(shè)f

a

f證

a

f

2

f

令則

a

f

f故

20

022設(shè)續(xù)函數(shù)，證明：

證0令，則

2

x

x

0

sinu0

xblnfxdtlnxx