第12章-結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算

一、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)和內(nèi)容1、動(dòng)力計(jì)算的特點(diǎn)

“靜力荷載”是指其大小、方向和作用位置不隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力可以忽略不計(jì)，由它所引起的內(nèi)力和變形都是確定的。

“動(dòng)力荷載”是指其大小、方向和作用位置隨時(shí)間而變化的荷載。這類荷載對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的慣性力不能忽略，因動(dòng)力荷載將使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生相當(dāng)大的加速度，由它所引起的內(nèi)力和變形都是時(shí)間的函數(shù)。

與靜力計(jì)算的對比：兩者都是建立平衡方程，但動(dòng)力計(jì)算，利用動(dòng)靜法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了慣性力，考慮的是瞬間平衡，荷載、內(nèi)力都是時(shí)間的函數(shù)。建立的平衡方程是微分方程。第一節(jié)概述退出2、動(dòng)力計(jì)算的目的和內(nèi)容

結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的目的在于確定結(jié)構(gòu)在荷載作用下產(chǎn)生的最大內(nèi)力與最大位移，為設(shè)計(jì)提供可靠的依據(jù)。此外還需求出結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下產(chǎn)生的最大速度和加速度，用以判別所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)是否超過規(guī)范中的允許值，因?yàn)檫^大的速度和加速度對人工健康、工藝過程和建筑物不利。

結(jié)構(gòu)在動(dòng)力荷載作用下的計(jì)算，要涉及內(nèi)外兩個(gè)方面的因素，即結(jié)構(gòu)本身的動(dòng)力特性和干擾力的變化規(guī)律。所謂結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性是指結(jié)構(gòu)的自振頻率、振型和阻尼，其中阻尼的大小取決于結(jié)構(gòu)的物理性質(zhì)，它是由試驗(yàn)測定的，而結(jié)構(gòu)的自振頻率和振型的計(jì)算就構(gòu)成結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算中一個(gè)很重要的組成部分。

至于干擾力的變化規(guī)律可事先設(shè)定或由統(tǒng)計(jì)得到。

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力計(jì)算將分為兩大類，即自由振動(dòng)(結(jié)構(gòu)自身的動(dòng)力特性)和強(qiáng)迫振動(dòng)(結(jié)構(gòu)受到激勵(lì)后的動(dòng)力反應(yīng))。退出3、動(dòng)力計(jì)算的研究方法理論分析實(shí)驗(yàn)研究數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的質(zhì)量是連續(xù)分布結(jié)構(gòu)的質(zhì)量離散化無限自由度體系多自由度體系材料性能的測定結(jié)構(gòu)動(dòng)力相似模型結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)測定振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)聯(lián)機(jī)實(shí)驗(yàn)退出二、動(dòng)力荷載分類(1)簡諧荷載按正弦函數(shù)或余弦函數(shù)變化的周期荷載，稱為簡諧荷載。P(t)t(2)一般周期荷載它是指除簡諧荷載以外的其它型式的周期荷載。tP(t)

圖12-1

圖12-2退出(3)沖擊荷載

這類荷載的特點(diǎn)是在很短的時(shí)間內(nèi)，荷載值急劇增大或急別減小。例如，鍛錘對基礎(chǔ)的撞擊作用以及爆炸型荷載部屬于這類荷載。因?yàn)樵跊_擊荷載作用下．結(jié)構(gòu)很快就達(dá)到它的最大反應(yīng)值，由阻尼所吸收的能量較小，所以阻尼對這類荷載的動(dòng)力反應(yīng)的影響是比較小的。PtP(t)ttrPtrP

圖12-3退出

它們不僅隨時(shí)間作復(fù)雜變化，而且在基本條件不變的情況下，由于偶然因素的影響，兩次荷載不會重現(xiàn)同一波形，因而不可能將荷載與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系作出精確的數(shù)學(xué)描述。如地震荷載、風(fēng)荷載、海浪作用等。(4)隨機(jī)荷載

圖12-4退出三、體系振動(dòng)的自由度確定體系上全部質(zhì)量位置所需獨(dú)立參變數(shù)的數(shù)目稱為該體系的振動(dòng)自由度。

實(shí)際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，嚴(yán)格地說來都是無限自由度體系。計(jì)算困難，常作簡化如下：

1、集中質(zhì)量法把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)，將一個(gè)無限自由度的問題簡化成有限自由度問題。mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱廠房排架水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算簡圖單自由度體系

圖12-5退出水平振動(dòng)時(shí)的計(jì)算體系多自由度體系構(gòu)架式基礎(chǔ)頂板簡化成剛性塊θ(t)v(t)u(t)4個(gè)自由度m1m2m32個(gè)自由度

圖12-6退出y(x,t)x無限自由度體系2、廣義座標(biāo)法如簡支梁的變形曲線可用三角級數(shù)來表示

用幾條函數(shù)曲線來描述體系的振動(dòng)曲線就稱它是幾個(gè)自由度體系，其中

——是根據(jù)邊界約束條件選取的函數(shù)，稱為形狀函數(shù)。

ak(t)——稱廣義座標(biāo)，為一組待定參數(shù)，其個(gè)數(shù)即為自由度數(shù)，用此法可將無限自由度體系簡化為有限自由度體系。xyxa1，a2，……..any(x,t)

圖12-7

圖12-8四、動(dòng)力計(jì)算的方法動(dòng)力平衡法（達(dá)朗伯爾原理）…………..運(yùn)動(dòng)方程m設(shè)其中FP(t)＝FI(t)…………..平衡方程FI

(t)－慣性力，與加速度成正比，方向相反。改寫成虛功原理（拉格朗日方程）哈米頓原理（變分方程）都要用到抽象的虛位移概念

圖12-9退出

一、運(yùn)動(dòng)微分方程的建立1、剛度法m...yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移：k11.ydmmW彈性力：慣性力：(a)上式可以簡化為：或上式即為以位移為未知量的平衡方程式，由于引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。(b)剛度系數(shù)

圖12-10第二節(jié)單自由度體系的自由振動(dòng)2、柔度法..m靜平衡位置研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。..靜平衡位置1根據(jù)比例關(guān)系可得到質(zhì)點(diǎn)的位移為可進(jìn)一步寫成(c)由于，故式(b)與式(c)等效。上式平衡方程式，由于引用了柔度系數(shù)，稱柔度法。柔度系數(shù)

圖12-11退出二、自由振動(dòng)微分方程的解它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：積分常數(shù)B，C由初始條件確定。單自由度體系的自由振動(dòng)微分方程可改寫為其中設(shè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)：(d)(f)(e)則由式(e)可求出退出于是，式（e）可以寫成

由式可知，動(dòng)位移是由初位移y0

引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v0

引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng)，令

(g)式(g)

改寫成它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)。其中A和可由下式確定(h)(i)退出y0tTTTyt0yt0A-A

圖12-12退出三、結(jié)構(gòu)的自振周期和頻率由式及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。Tyt0A-A周期－工程頻率－園頻率－計(jì)算頻率和周期的幾種形式

圖12-13退出[例12-1]圖示三種不同支承情況的單跨梁，EI＝常數(shù)，在梁中點(diǎn)有一集中質(zhì)量m，當(dāng)不考慮梁的質(zhì)量時(shí)，試比較三者的自振頻率。[解]先按前面章節(jié)的方法算出此三種情況下的靜力位移分別為然后分別求得三種情況的自振頻率為據(jù)此可求得

圖12-14退出[例12-2]

試求圖示剛架的自振頻率。略去柱的質(zhì)量。IIEI1=mhk11

[解]先求剛架的剛度系數(shù)k11。為此，作出剛架橫梁發(fā)生水平單位位移時(shí)的彎矩圖，根據(jù)橫梁的平衡條件可求得于是剛架的自振頻率為

圖12-15退出T當(dāng)

k11

較大或者

m

較小時(shí)，周期

T

取較低值。Displacement(m)四、自由振動(dòng)反應(yīng)討論time(sec)

圖12-16退出TDisplacement(m)當(dāng)

k11

較小或者

m

較大時(shí)，周期

T

取較大值。

圖12-17退出

圖12-18退出建筑物自振周期隨著高度增加而增加，下表給出的是周期估計(jì)(按照美國規(guī)范

IBC-2000

中的經(jīng)驗(yàn)公式推算)建筑高度(m)砼抗抗彎框架砼剪力墻180.640.43601.581.06120--1.8240--3.0420--4.6

圖12-19退出橋梁儲水罐T=3-4secT=6-15sec

圖12-20

圖12-21退出橋梁自振周期T=0.5secT=1secT=2secT=5secT=10sec

圖12-22退出五、簡諧自由振動(dòng)的特性由式可得，加速度為：

在無阻尼自由振動(dòng)中，位移、加速度和慣性力都按正弦規(guī)律變化，且作相位相同的同步運(yùn)動(dòng)，即它們在同一時(shí)刻均達(dá)極值，而且慣性力的方向與位移的方向一致。它們的幅值產(chǎn)生于時(shí)，其值分別為：

既然在運(yùn)動(dòng)的任一瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)都處于平衡狀態(tài)，在幅值出現(xiàn)時(shí)間也一樣，于是可在幅值處建立運(yùn)動(dòng)方程，此時(shí)方程中將不含時(shí)間t，結(jié)果把微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程了，使計(jì)算得以簡化。慣性力為：退出[例12-3]

計(jì)算圖示體系的自振頻率。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2[解]：單自由度體系，以表示位移參數(shù)的幅值,各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：建立力矩平衡方程化簡后得

圖12-23退出mk11(a)(b)

所謂愛迫振動(dòng)，是指體系在干擾力作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)。下圖(a)所示為單自由度體系的振動(dòng)模型，由圖(b)所示隔離體，可列出它的運(yùn)動(dòng)微分方程為或?qū)懗?a)

圖12-24第三節(jié)單自由度體系的受迫振動(dòng)退出一、一般動(dòng)力荷載作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)計(jì)算

單自由度體系不考慮阻尼時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程如式(a)所示。它的一般解為相應(yīng)齊次方程的一般解及任一特解之和。前者由本章第二節(jié)所述自由振動(dòng)可知為而特解

則可利用拉格朗日變動(dòng)常數(shù)法來求。設(shè)特解為則有令則(b)退出而將、代人方程(a)可得(c)解(b)、(c)兩式得積分得退出于是特解可表示為故可得方程(a)的一般解為設(shè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)：(e)則由式(d)可求出(d)故可得方程(a)的一般解可進(jìn)一步表達(dá)為(f)退出二、簡諧荷載作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)計(jì)算設(shè)簡諧荷載的表達(dá)式為其中，θ為簡諧荷載的園頻率，F(xiàn)P為荷載的最大值(稱為干擾力的幅值)。將式(g)代人式(f)

得(g)自由振動(dòng)伴生自由振動(dòng)

純受迫振動(dòng)由于在實(shí)際振動(dòng)過程中存在阻尼力，自由振動(dòng)及伴生自由振動(dòng)將很快地衰減，我們將振動(dòng)剛開始時(shí)的這兩種振動(dòng)都同時(shí)存在的階段稱為過渡階段，而將伴隨自由振動(dòng)衰減后只按荷載頻率振動(dòng)的階段稱為平穩(wěn)階段。(h)退出以下只討論純受迫振動(dòng)的情況。此時(shí)有由于故(i)其中yst

為將干擾力幅值

FP

視為靜力荷載作用于體系時(shí)所引起的位移。于是有其中位移放大系數(shù)動(dòng)位移幅值退出

為了進(jìn)一步說明單自由度體系在簡諧荷載下的動(dòng)力特性，現(xiàn)在來分析動(dòng)力系數(shù)的變化情況式中，

=/稱為頻率比。(1)當(dāng)θ＜ω，β＜1時(shí)，μ＞1

這表明動(dòng)力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相同，而且動(dòng)力位移恒大于干擾力幅值所產(chǎn)生的靜力位移。當(dāng)θ

＜＜ω時(shí)，μ≈1(2)當(dāng)θ＞ω，β＞1時(shí)，μ＜0這表明動(dòng)力位移的方向與干擾力Fp(t)的方向相反。當(dāng)θ

＞＞ω時(shí)，μ→0退出(3)當(dāng)θ=ω，β=1時(shí)，μ=∞

這表明當(dāng)干擾力的頻率與自振頻率重合時(shí)，動(dòng)位移和動(dòng)內(nèi)力都將無限增加，這種現(xiàn)象稱之為共振。由于共振時(shí)將產(chǎn)生較大的位移和內(nèi)力，在設(shè)計(jì)中應(yīng)盡量加以避免。對于干擾力作用于質(zhì)量上的單自由度體系來說，它所承受的慣性力和干擾力可以合并為一個(gè)外力，因而位移和內(nèi)力是按同一比例變化的，故位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)完全相同，可以不作區(qū)分，并統(tǒng)稱為動(dòng)力系數(shù)。在工程設(shè)計(jì)中，采用動(dòng)力系數(shù)去計(jì)算動(dòng)力反應(yīng)只限于此種情況。對于多自由度體系，不僅位移動(dòng)力系數(shù)與內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)不相同，而且不同截面上的位移動(dòng)力系數(shù)和內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)也各不相同，故無法采用統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)去計(jì)算動(dòng)力響應(yīng)。值得指出退出

[例12-4]圖示一簡支梁，其上安裝有一臺質(zhì)量為m=20kg的發(fā)動(dòng)機(jī)，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的離心力FP＝1960N。設(shè)梁為22b號工字型鋼(I＝3570cm2)，E＝205.8×103

MPa，[σ]＝120MPa，試驗(yàn)算當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)為400～500r／min時(shí)梁的強(qiáng)度。[解]先求梁的自振頻率

圖12-25退出當(dāng)轉(zhuǎn)速為時(shí)，

再求干擾力的頻率：增大梁的截面尺寸當(dāng)轉(zhuǎn)速為時(shí)，由以上數(shù)值可知，梁的自振頻率接近干擾力的頻率，故應(yīng)加以避免。設(shè)選用25a號工字鋼(I＝5023．54cm4)，其自振頻率為梁的自振頻率更加接近干擾力的頻率，所以并不是截面大就越安全。反而使工作條件更加惡化。退出減小梁的截面尺寸以20b號工字鋼(I＝2500cm4，W＝250cm3)試算，此時(shí)算得對于此例，采用較小截面的梁既可避免共振，又能獲得較好的經(jīng)濟(jì)效果。退出三、沖擊荷載作用下的結(jié)構(gòu)反應(yīng)計(jì)算(1)突加荷載

如果原結(jié)構(gòu)的初始位移和初始速度都等于零，則在突加荷載下的受迫振動(dòng)可按下式計(jì)算：突加荷載引起的最大動(dòng)力位移為(2)爆炸荷載退出

如果原結(jié)構(gòu)的初始位移和初始速度都等于零，則在爆炸荷載下的受迫振動(dòng)可按下式計(jì)算：當(dāng)t≤t0時(shí)當(dāng)t≥t0時(shí)(a)當(dāng)t0＜0.35T，μ＜

1。(b)當(dāng)t0＞10T，μ→2。(c)當(dāng)t0→∞

，爆炸荷載變成了突加荷載

。退出一、工程結(jié)構(gòu)中的阻尼及其力學(xué)模型阻尼內(nèi)部材料結(jié)構(gòu)內(nèi)部接觸區(qū)域外部滯后作用(粘滯,摩擦,屈服)子結(jié)構(gòu)間的相對變形與運(yùn)動(dòng)(軸承，節(jié)點(diǎn))外接觸(非結(jié)構(gòu)部件，幅射至土中的能量)等效粘滯阻尼一般較小第四節(jié)考慮阻尼時(shí)單自由度體系的振動(dòng)退出實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用等效粘滯阻尼模擬阻尼系數(shù)=c

振動(dòng)的衰減和能量的耗散都通過阻尼力來考慮，由于對阻尼力的描述不同，目前主要有兩種阻尼理論：*粘滯阻尼理論——非彈性力與變形速度成正比：*滯變阻尼理論其他阻尼力也可化為等效粘滯阻尼力來分析。外力抗力(a)(b)1c(c)(a)

圖12-26退出(a)(b)(c)動(dòng)力荷載函數(shù)(b)

圖12-27退出二、單自由度體系的自由振動(dòng)并且特征方程特征值一般解令(c)阻尼比

退出（1）弱阻尼情形

(<1)令由初始條件確定C1和C2；設(shè)得則方程(c)的一般解為退出其中討論：（a）衰減周期運(yùn)動(dòng)振幅周期yt0AnAn+1（b）阻尼對振幅的影響

圖12-28退出振幅對數(shù)遞減量由于:退出00.20.40.60.81.002468101214近似結(jié)果阻尼比

振幅對數(shù)遞減量振幅對數(shù)遞減量與阻尼比的關(guān)系精確結(jié)果

圖12-29退出(2)臨界阻尼情形(

=1)于是

r1,2=-（重根）微分方程的解由初始條件確定C1和C2設(shè)得y(t)t0臨界阻尼ccr因阻尼比系數(shù)原特征根

圖12-30退出（3）強(qiáng)阻尼情形

(＞1)此時(shí)，r1

和r2為兩個(gè)負(fù)的實(shí)根，方程(c)的解為該情況下與臨界阻尼情形相似，它也無振動(dòng)發(fā)生。退出

強(qiáng)阻尼情形(＞1)t弱阻尼情形(<1)

圖12-31退出臨界阻尼情形(

=1)

圖12-32退出三、單自由度體系受迫振動(dòng)的一般解答一般荷載作用下，考慮阻尼時(shí)單自由度體系的運(yùn)動(dòng)方程為可轉(zhuǎn)化為(d)它的一般解為相應(yīng)齊次方程的一般解及任一特解之和。前者由上述自由振動(dòng)可知為而特解

則可利用拉格朗日變動(dòng)常數(shù)法來求。設(shè)特解為(e)退出則有令(f)于是可得退出將、代人方程(d)可得(g)解(f)、(g)兩式得積分得于是特解可表示為(h)退出設(shè)在初始時(shí)刻t=0時(shí)：則由式(i)可求出(i)故可得方程(d)的一般解可進(jìn)一步表達(dá)為(j)故可得考慮阻尼時(shí)單自由度體系受迫振動(dòng)的一般解答，即方程(d)的一般解為退出四、單自由度體系在簡諧荷載作用下的計(jì)算及討論設(shè)簡諧荷載的表達(dá)式為將上式代入式(j)，積分后可得開始處于靜止?fàn)顟B(tài)后來承受簡諧荷載的結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)為式中(k)(l)退出

在式(k)中，振動(dòng)由兩部分組成，一部分振動(dòng)的頻率與干擾力的頻率θ一致，而另一部分的頻率則與體系的自振頻率ω一致。由于阻尼的作用，頻率為那一部分振動(dòng)(稱伴生自由振動(dòng))將很快衰減而消失掉，最后只剩下頻率為θ的那一部分振動(dòng)(稱為純受迫振動(dòng))。0.51.01.52.00-2-1012純受迫振動(dòng)y(t)/yst簡諧荷載作用下單自由度結(jié)構(gòu)的反應(yīng)()總反應(yīng)

圖12-33退出下面著重討論在平穩(wěn)階段純受迫振動(dòng)的—些性質(zhì)或(m)(n)即即式中(o)退出

動(dòng)力系數(shù)取決于、/（頻率比），各種下-曲線如下圖所示。可見對影響十分顯著，增大將使減小，也即使反應(yīng)減小。

z=5%z=10%z=20%z=50%DRF(=μ)z=70%

圖12-34退出

(4)的最大值有阻尼時(shí)的最大值并不在=1處，而在處。由于阻尼很小，可近似認(rèn)為在=1處。從上圖可以看出(1)當(dāng)θ

＜＜ω時(shí)，μ≈1

這表明當(dāng)體系振動(dòng)很慢時(shí)，可近似地將簡諧荷載作為靜力荷載FP來計(jì)算。(2)當(dāng)θ

＞＞ω時(shí)，μ→0這表明質(zhì)量m接近于不動(dòng)或只作極微小的振動(dòng)。(3)0.751.25的范圍稱共振區(qū)在1時(shí)1/2，當(dāng)無阻尼共振時(shí)趨于無窮，可見阻尼對共振影響顯著，必須考慮。退出一、運(yùn)動(dòng)方程的建立(1)列位移方程-----柔度法寫成矩陣形式柔度矩陣質(zhì)量矩陣

圖12-35第五節(jié)兩個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)(2)列動(dòng)力平衡方程-----剛度法寫成矩陣形式剛度矩陣注意

圖12-36二、頻率和振型設(shè)體系的運(yùn)動(dòng)為簡諧振動(dòng)，則質(zhì)點(diǎn)m1、m2的位移可以表示為

（a）式中，A1、A2分別是質(zhì)點(diǎn)m1、m2

的位移幅值，為體系的自振頻率。(1)柔度法令頻率方程

退出將頻率方程展開得

解得于是可以求得頻率得兩個(gè)值為

(b)(c)退出第一振型或基本振型

第二振型

兩個(gè)振型可分別表示為退出兩個(gè)主振型之間存在的正交關(guān)系

即

圖12-37退出(2)剛度法解上述方程即可得到結(jié)構(gòu)的頻率。結(jié)構(gòu)的第一振型由下列代數(shù)方程確定如令，則可得同理可得第二振型，不再贅述。退出三、運(yùn)動(dòng)方程的一般解

上述體系按其主振型所作的簡諧振動(dòng)，是在特定的初始條件下才能出現(xiàn)的一種運(yùn)動(dòng)形式，在數(shù)學(xué)上稱為微分方程組的特解。由此可知，兩自由度體系自由振動(dòng)方程有兩個(gè)特解，它們的線性組合將給出方程的一般解。就是說，在一般的情況下，兩個(gè)自由度體系的主要振動(dòng)可以看作是兩個(gè)頻率及其主振型的組合振動(dòng)。

，

由上述可知，在一般情況下，體系的自由振動(dòng)是由具有不同頻率的簡諧振動(dòng)疊加而成的，它不再是簡諧運(yùn)動(dòng)。

退出四、示例[例12-5]試列出圖示體系的運(yùn)動(dòng)方程并確定其頻率和振型。

圖12-38退出【解】

（1）列運(yùn)動(dòng)方程

對圖示體系，先利用圖乘法求出柔度系數(shù)如下，于是可得運(yùn)動(dòng)方程如下（2）頻率方程和頻率

＝0，

（3）求主振型第一振型第二振型

圖12-39退出或?qū)懗?/p>

圖示的兩個(gè)自由度體系，其上受有同頻率的簡諧荷載和的作用，其運(yùn)動(dòng)方程可按位移方程列出如下(1)運(yùn)動(dòng)方程的建立(a)

圖12-40第六節(jié)兩個(gè)自由度體系在簡諧荷載作用下的受迫振動(dòng)退出(2)運(yùn)動(dòng)方程的求解

式（a）是一個(gè)非齊次的線性微分方程組，它的一般解由兩部分組成