計量經(jīng)濟學(xué)-汪家義課件 第2章 第2節(jié) 一元線性回歸模型

經(jīng)濟計量學(xué)汪家義經(jīng)濟計量學(xué)第二章一元線性回歸模型第二節(jié)一元線性回歸模型

一、引例假定我們要研究一個局部區(qū)域的居民消費問題，該區(qū)域共有80戶家庭組成，將這80戶家庭視為一個統(tǒng)計總體。我們研究每月家庭消費支出Y與每月可支配收入X的關(guān)系。就是說，已知家庭每月可支配收入，要預(yù)測家庭每月消費支出的總體平均水平。假定：家庭消費支出記為Y，可支配收入為X為此，將80戶家庭分為10組。表2.1給出了人為數(shù)據(jù)。

XY每月家庭可支配收入（元）1000150020002500300035004000450050005500每月家庭消費支出（元）7007407808208609009401050107011201170122012701320137014201380144015001560162016801740180018601780184019001960202020802140220022602180224023002360242024802540260026602620268027402820290029803160290029803060314032203300338034603540332034203520362037203820392037103810391040204130423043304090420043104420453046404750合計5740109801458018180217801974022540253402814030940表2.1居民收入、消費數(shù)據(jù)表2.1給出了以X的給定值為條件的Y

的條件分布。由此可以計算給定X=Xi時Y

的條件期望，記為E(Y︱X=Xi)。例如，X=1000時，Y的條件期望值為：類似地可得：由此可以看出：隨著收入的增加，消費支出平均地說也在增加。令，將點連成一條線，我們稱這條線叫做總體回歸線，它是Y對X的回歸線。XY1000200030004000500010001500200025003000

3500

4000

4500

5000

5500

此例中的總體回歸線是一條直線：一般地：二、總體回歸函數(shù)（PRF）由引例可知，條件均值是Xi的函數(shù)，即:（2.1）

式（2.1）就是總體回歸函數(shù)，簡稱總體回歸。它表明在給定Xi

下Y的分布的總體均值與Xi有函數(shù)關(guān)系，就是說它給出了Y的均值是怎樣隨X值的變化而變化的。函數(shù)f(Xi)采取什么函數(shù)形式，是一個需要解決的重要問題。在實際經(jīng)濟系統(tǒng)中，我們不會得到總體的全部數(shù)據(jù)，因而就無法據(jù)已知數(shù)據(jù)確定總體回歸函數(shù)的函數(shù)形式。所以，對總體回歸函數(shù)的形式只能據(jù)經(jīng)濟理論與經(jīng)驗去推斷。在經(jīng)濟計量學(xué)中經(jīng)常把總體回歸函數(shù)設(shè)定為線性函數(shù)，這是因為：

1.線性函數(shù)是最簡單的函數(shù)，數(shù)學(xué)處理比較簡單方便；

2.線性函數(shù)中的參數(shù)估計與檢驗相對容易；

3.經(jīng)濟計量學(xué)中線性函數(shù)具有普遍性。雖然有時候經(jīng)濟變量之間不是表現(xiàn)為線性關(guān)系，但是，可以通過簡單的數(shù)學(xué)處理（函數(shù)變換）化為線性關(guān)系。例如Cobb-Dauglas生產(chǎn)函數(shù)：Q-產(chǎn)出量；K-資本投入量；L-勞動投入量。線性化：（2.2）

在引例中，消費支出與收入有線性關(guān)系。則總體回歸函數(shù)為：其中，和為未知而固定的參數(shù)，稱為回歸系數(shù)；為截距系數(shù)，為斜率系數(shù)。式（2.2）為線性總體回歸函數(shù)。三、線性的含義1．對變量為線性對線性的第一種解釋是指Y的條件期望是Xi

的線性函數(shù)。在經(jīng)濟計量學(xué)中對線性有兩種不同的解釋：2．對參數(shù)為線性對線性的第二種解釋是指Y的條件期望 是參數(shù)的一個線性函數(shù)。它可以是也可以不是變量的X

的線性函數(shù)。對變量是“線性的”，對參數(shù)是“非線性的”。例如，對變量、對參數(shù)都是“線性的”。對參數(shù)是“線性的”，對變量是“非線性的”。在本課中，主要考慮的是對參數(shù)為線性的回歸模型，線性回歸是指對參數(shù)β為線性的一種回歸（即參數(shù)只以它的1次方出現(xiàn)）；對解釋變量X則可以不是線性的。（這主要是考慮到參數(shù)估計問題）。四、總體回歸模型設(shè)定方式是描述Xi與Y的平均水平的關(guān)系。但就個別家庭而言，其消費支出不一定在總體回歸線上，而是圍繞回歸線上下波動，即個別值Yi

總是圍繞條件均值波動。總體回歸函數(shù)我們把個別的Yi

圍繞它的條件均值的離差表示如下：或（2.3）其中離差ui是一個不可觀測的可正可負的隨機變量，在專業(yè)術(shù)語中，把ui

稱為隨機干擾項或隨機誤差項。所以，總體回歸模型（個別形式）可設(shè)定為：當總體回歸模型為線性模型時：在模型中，是系統(tǒng)性或確定性成份，ui

為隨機或非系統(tǒng)性成份，代表所有可能影響Y，但又未能包括到回歸模型中來的被忽略變量的代理變量。（2.4）

五、隨機誤差項u的意義

1．理論的欠缺。（未知影響因素）

雖然有決定Y的行為的理論，但常常是不能完全確定的，理論常常有一定的含糊性。我們可以肯定每月收入X影響每月消費支出Y。但不能確定是否有其它變量影響Y，只好用ui作為模型所忽略的全部變量的替代變量。

2．數(shù)據(jù)的欠缺。

即使能確定某些變量對Y

有顯著影響，但由于不能得到這些變量的數(shù)據(jù)信息而不能引入該變量。例如，從經(jīng)濟理論分析，家庭財富量是影響家庭消費的重要因素，應(yīng)該引入該變量作為解釋變量。但是，通常我們得不到有關(guān)家庭財富的信息。因此，我們只得把這個很重要的解釋變量舍棄掉。

3．核心變量與非核心變量。（細小影響因素）例如，在引例的居民消費模型中，除了收入X1

外，家庭的人口數(shù)X2

、戶主宗教信仰X3、戶主受教育水平X4也影響家庭消費支出。但很可能X2、X3、X4合起來的影響也是很微弱的，是一種非系統(tǒng)的或隨機的影響。從效果與成本角度來看，引入它們是不合算的。所以，人們把它們的聯(lián)合效用當作一個隨機變量來看待。

4．人類行為的內(nèi)在隨機性。

即使我們成功地把所有有關(guān)的變量都引進到模型中來，在個別的Y中仍不免有一些“內(nèi)在”的隨機性，無論我們花了多少力氣都解釋不了的。例如，某些涉及人的思想行為的變量，很難完全控制，具有內(nèi)在的隨機性，這種內(nèi)在隨機性可能影響人的經(jīng)濟行為。這種影響只能歸入隨機誤差項ui。

5．節(jié)省原則，我們想保持一個盡可能簡單的回歸模型。（模型設(shè)定誤差）

如果我們能用兩個或三個變量就基本上解釋了Y

的行為，就沒有必要引進更多的變量。讓ui

代表所有其它變量是一種很好的選擇。從數(shù)學(xué)處理的角度來說，在不影響模型預(yù)測能力的前提下，變量越少，模型越簡單越容易處理。此時，在相同容量的樣本下，參數(shù)的估計會更準確?？傊阂腚S機擾動項u的主要原因：是未知影響因素的代表（理論的模糊性）是無法取得數(shù)據(jù)的已知影響因素的代表（數(shù)據(jù)欠缺）是眾多細小影響因素的綜合代表（非系統(tǒng)性影響）模型可能存在設(shè)定誤差（變量、函數(shù)形式的設(shè)定）模型中變量可能存在觀測誤差（變量數(shù)據(jù)不符合實際)變量可能有內(nèi)在隨機性（人類經(jīng)濟行為的內(nèi)在隨機性)六、樣本回歸函數(shù)（SRF）在實際回歸分析中，我們無法獲得像引例中的總體數(shù)據(jù)，而只能做到對應(yīng)于解釋變量X

的某些固定值（水平）對被解釋變量Y的某些樣本進行觀測。然后通過樣本信息估計總體回歸函數(shù)。例如在引例中，我們在10

種收入水平的每一個水平中隨機抽取兩個家庭的消費水平可得到兩個隨機樣本如下：XY1000150020002500300035004000450050005500900132016202140248027403300352040204310表2.2總體的一個隨機樣本XY1000150020002500300035004000450050005500700132016201840242028203380342038104640表2.3總體的另一個隨機樣本XY1000200030004000500010001500200025003000

3500

4000

4500

5000

5500×●

●×

●×

●×

●×

●×

●×

●×

×

●

×

●

S2S1×第一個樣本（表4.2）●第二個樣本（表4.3）圖2.3兩個不同樣本的回歸線

S1是根據(jù)第1個樣本畫的；S2是根據(jù)第2個樣本畫的。圖2.3中的回歸線稱為樣本回歸線，因抽樣波動，它們都是總體回歸線的一個近似。一般地講，由幾個不同的樣本會得到幾個不同的樣本回歸線，通常這些樣本回歸線會彼此不同。（2.5）

據(jù)任一樣本，我們可得樣本回歸直線，其函數(shù)形式為：其中，是相應(yīng)于Xi的Y

的樣本條件均值，可以看成是總體條件期望的估計量。

是