【高中數(shù)學】全概率公式課件 2022-2023學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第3冊

7.1.2全概率公式人教A版2019必修第三冊1.條件概率：在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率稱為條件概率，即由條件概率公式可得復習導入：2.概率的乘法公式：3.概率的性質(zhì)：注：采用縮減樣本空間計算條件概率在上節(jié)計算按對銀行儲蓄卡密碼的概率時，我們首先把一個復雜事件表示為一些簡單事件運算的結果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率，下面我們再看一個求復雜事件概率的問題.思考從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?因為抽簽具有公平性，所以第2次摸到紅球的概率也應該是.但是這個結果并不顯然，因為第2次摸球的結果受第1次摸球結果的影響.下面我們給出嚴格的推導.

用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”，i=1,2.如圖示，那么事件R2可按第1次可能的摸球結果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2.利用概率的加法公式和乘法公式，得

按照某種標準,將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個復雜事件的概率.R2思考：按照某種標準,將一個復雜事件B表示為n個(A1,A2,....An)互斥事件的并,根據(jù)概率的加法公式和乘法公式，如何求這個復雜事件B的概率？

加法公式

乘法公式A1∪A2∪…∪An=ΩB=ΩB=(A1∪A2∪…∪An)B全概率公式：全概率公式使用條件:①A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；

③P(Ai)>0,且.9對全概率公式的理解

某一事件B的發(fā)生可能有各種的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai

兩兩互斥，構成一個完備事件)所引起，則B發(fā)生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai).

每一原因都可能導致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1,2,…,n)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因求結果”，每個原因?qū)Y果的發(fā)生有一定的“作用”，即結果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關.解:例4某學校有A,B兩家餐廳，王同學第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.

設事件

寫概率

代公式全概率公式求概率的步驟：1.設事件：把事件B(結果事件)看作某一過程的結果,把A1,A2,…,An

看作導致結果的若干個原因；2.寫概率：由已知，寫出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai

)),且每一原因?qū)Y果的影響程度(即P(B|Ai

))；3.代公式：用全概率公式計算結果發(fā)生的概率(即P(B)

).方法總結

例5有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個零件，計算它是次品的概率；

設B＝“任取一個零件為次品”,Ai＝“零件為第i臺車床加工”(i＝1,2,3),則解：

設事件

寫概率

代公式

例5有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(2)如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1，2，3)臺車床加工的概率.如果取到的零件是次品，計算它是第i(i＝1,2,3)臺車床加工的概率，就是計算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率，即解：思考例5中P(Ai)，P(Ai|B)的實際意義是什么?P(Ai)是試驗之前就已知的概率，它是第i臺車床加工的零件所占的比例，稱為先驗概率，當已知抽到的零件是次品(B發(fā)生)，P(Ai|B)是這件次品來自第i臺車床加工的可能性大小，通常稱為后驗概率.如果對加工的次品，要求操作員承擔相應的責任，那么就分別是第1，2，3臺車床操作員應承擔的份額.將例5中的問題(2)一般化，可以得到貝葉斯公式.（選學內(nèi)容，不作考試要求）貝葉斯公式：例6在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.(1)分別求接收的信號為0和1的概率；解：

設事件

寫概率

代公式例6在數(shù)字通信中，信號是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設發(fā)送信號0和1是等可能的.*(2)已知接收的信號為0，求發(fā)送的信號是1的概率.解：課堂小結：1.全概率公式：2.貝葉斯公式：課堂練習（課本P52）解：1.現(xiàn)有12道四選一的單選題，學生張君對其中9道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個答案，猜對答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機選擇1題，求他做對該題的概率.

設A＝“選到有思路的題”,B＝“選到的題做對”,則由全概率公式,可得解：2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.

設A＝“取到合格品”,Bi＝“取到的產(chǎn)品來自第i批”(i＝1,2),則THANKS“”創(chuàng)新設計習題講解訓練1

某商店新進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個，廢品率為0.06，乙廠每箱裝120個，廢品率為0.05，求： (1)任取一箱，從中任取一個為廢品的概率；解記事件A，B分別為“甲、乙兩廠的產(chǎn)品”，事件C為“取到的是廢品”，則Ω＝A∪B，且A，B互斥，P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放，求任取一個為廢品的概率.P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)例2

甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，

三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7.飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2，被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中，

飛機必定被擊落，

求飛機被擊落的概率.題型二多個事件的全概率問題解設B＝“飛機被擊落”，Ai＝“飛機被i人擊中”，i＝1，2，3，則B＝A1B＋A2B＋A3B，依題意，得P(B|A1)＝0.2，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.由全概率公式P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)，設Hi＝“飛機被第i人擊中”，i＝1，2，3，P(A3)＝P(H1H2H3)，又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，P(H3)＝0.7，所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，P(A3)＝0.14，則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.故飛機被擊落的概率為0.458.題型三貝葉斯公式(*)(選學)例3

同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應.由長期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.95，0.90，0.80，三家產(chǎn)品數(shù)按2∶3∶5的比例混合在一起. (1)從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；解設A＝“取到的產(chǎn)品為正品”，B1，B2，B3分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8，＝0.2×0.95＋0.3×0.9＋0.5×0.8＝0.86，(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？解由貝葉斯公式得由以上3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小.訓練3

經(jīng)過普查，了解到人類患有某種癌癥的概率為0.5%，某病人因患有類似病癥前去求醫(yī)，醫(yī)生讓他做某項生化試驗.經(jīng)臨床多次試驗，患有該病的患者試驗陽性率為95%，而非該病患者的試驗陽性率僅為10%.現(xiàn)該病人化驗結果呈陽性，問該病人患癌癥的概率.解設事件C為“病人患有癌癥”，事件A為“試驗呈陽性”，則由貝葉斯公式得創(chuàng)新設計習題講解

——分層精練6.有兩箱同一種產(chǎn)品，第一箱內(nèi)裝50件，其中10件優(yōu)質(zhì)品，第二箱內(nèi)裝30件，其中18件優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)在隨意地打開一箱，然后從箱中隨意取出一件，則取到的是優(yōu)質(zhì)品的概率是________.0.08710.玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2個次品的概率分別為0.8，0.1，0.1，一顧客購買一箱玻璃杯，在購買時售貨員隨機取出一箱，顧客開箱任意抽查5只，若無次品，則購買該箱玻璃杯，否則退回.求顧客買下該箱玻璃杯的概率.解設Ai＝“該箱玻璃杯有i個次品