高數(shù)第十章曲線積分與曲面積分

/第十章曲線積分與曲面積分一、對弧長的曲線積分（又稱第一類曲線積分）1、定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<02、物理意義線密度為SKIPIF1<0的曲線SKIPIF1<0質量為SKIPIF1<0線密度為SKIPIF1<0的曲線SKIPIF1<0質量為SKIPIF1<03、幾何意義曲線SKIPIF1<0的弧長SKIPIF1<0SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的弧長SKIPIF1<04、若SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（常數(shù)），則SKIPIF1<05、計算（上限大于下限）（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0二、對坐標的曲線積分1、定義SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、計算（下限對應起點，上限對應終點）（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<03、兩類曲線積分之間的聯(lián)系SKIPIF1<0其中，SKIPIF1<0為有向曲線弧SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0處的切線向量的方向角。SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為有向曲線弧SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0處切向量的方向角。三、格林公式及其應用1、格林公式SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的取正向的整個邊界曲線2、平面上曲線積分與路徑無關的條件（SKIPIF1<0為單連通區(qū)域）定理設SKIPIF1<0是單連通閉區(qū)域，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內連續(xù)，且具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：(i)沿SKIPIF1<0內任一按段光滑封閉曲線SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；(ii)對SKIPIF1<0內任一光滑曲線SKIPIF1<0，曲線積分SKIPIF1<0與路徑無關，只與SKIPIF1<0的起點和終點有關；(iii)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內某一函數(shù)SKIPIF1<0的全微分，即在SKIPIF1<0內有SKIPIF1<0；(iv)在SKIPIF1<0內處處成立SKIPIF1<0注若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的全微分SKIPIF1<0：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0四、對面積的曲面積分1、定義SKIPIF1<0SKIPIF1<02、物理意義：SKIPIF1<0表示面密度為SKIPIF1<0的光滑曲面SKIPIF1<0的質量。3、幾何意義曲面SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<04、若SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（常數(shù)），則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<05、計算（一投、二代、三換元）（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0。五、對坐標的曲面積分1、定義SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、物理意義流量SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<03、計算（一投、二代、三定號）（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（上側取正，下側取負）（2）SKIPIF1<0:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（前側取正，后側取負）（3）SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（右側取正，左側取負）4、兩類曲面積分之間的聯(lián)系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為有向曲面Σ上點SKIPIF1<0處的法向量的方向余弦六、高斯公式1、高斯公式SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的整個邊界曲面的外側，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上點SKIPIF1<0處的法向量的方向角。2、通量向量場SKIPIF1<0，沿場中有向曲面ΣSKIPIF1<0稱為向量場SKIPIF1<0向正側穿過曲面Σ的通量3、散度設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0七、斯托克斯公式1、Stokes公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中有向曲線SKIPIF1<0是有向曲面SKIPIF1<0的整個邊界，且滿足右手系法則2、環(huán)流量向量場SKIPIF1<0沿場SKIPIF1<0中某一封閉的有向曲線SKIPIF1<0上的曲線積分SKIPIF1<0稱為向量場SKIPIF1<0沿曲線SKIPIF1<0按所取方向的環(huán)流量。SKIPIF1<03、旋度向量SKIPIF1<0為向量場SKIPIF1<0的旋度SKIPIF1<0。旋度SKIPIF1<0SKIPIF1<0典型例題1.曲線積分1計算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。解：(方法一)根據(jù)公式將曲線積分化為定積分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于在曲線SKIPIF1<0上SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0為曲線段SKIPIF1<0的長,所以SKIPIF1<02計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0及SKIPIF1<0軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界。分析由于曲線SKIPIF1<0分段光滑，所以先將SKIPIF1<0分為若干光滑曲線段之和，再利用曲線積分的可加性計算曲線積分。解：SKIPIF1<0圖10-2SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圖10-2SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03計算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為折線段SKIPIF1<0,這里SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。分析求本曲線積分的關鍵是求直線SKIPIF1<0的參數(shù)方程.空間過點SKIPIF1<0的直線的對稱式方程SKIPIF1<0令該比式等于SKIPIF1<0,可得到直線的參數(shù)方程。圖10－3解：SKIPIF1<0圖10－3線段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<04計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為折線段SKIPIF1<0所圍成區(qū)域的整個邊界。解：(方法一)如圖10-4SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-4SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0圖10-4SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0(方法二)由于曲線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱,而SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的奇函數(shù),故SKIPIF1<0。又SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱,而SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的奇函數(shù),故SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。注意一般地,若曲線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱,則有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的部分。若曲線SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱,則有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的部分。5計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0SKIPIF1<0。解：(方法一)如圖10-5（a）,SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0圖10-5(a)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-5(a)SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-5(b)圖10-5(b)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(方法二)如圖10－5（b）SKIPIF1<0的極坐標方程為SKIPIF1<0，由直角坐標與極坐標的關系,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0。注意①在方法一中,參數(shù)SKIPIF1<0表示圓心角,而在方法二中,參數(shù)SKIPIF1<0表示極坐標系下的極角,參數(shù)的意義不同,一般取值范圍也不相同。②若曲線在極坐標系下的方程為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,可直接引用此式。③該例也可以先利用對稱性化簡,再化為定積分計算。6計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0。分析計算這個曲線積分的關鍵,是正確的寫出SKIPIF1<0的參數(shù)方程。一般地,如果SKIPIF1<0的方程形式為SKIPIF1<0時,先求出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的投影柱面SKIPIF1<0,即利用兩個曲面方程消去SKIPIF1<0,再求出平面曲線SKIPIF1<0的參數(shù)方程SKIPIF1<0,并將其代入其中一個曲面方程解出SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0的參數(shù)方程。解：(方法一)由于SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上過球SKIPIF1<0的中心的大圓．兩個曲面方程聯(lián)立消去SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0①在①式中,令SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③將②,③代入平面SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于積分曲線方程中的變量SKIPIF1<0具有輪換性,即三個變量輪換位置方程不變,且對弧長的曲線積分與積分曲線的方向無關。故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意利用變量之間的輪換對稱性技巧來解對弧長的曲線積分,往往有事半功倍之效。7計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是擺線SKIPIF1<0上對應SKIPIF1<0從0到SKIPIF1<0的一段弧。解：根據(jù)公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<08計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0對應于SKIPIF1<0的點到SKIPIF1<0的點。解：如圖10-6，SKIPIF1<0圖10-6SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-6(方法一)取SKIPIF1<0為參數(shù),SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。(法二)取SKIPIF1<0為參數(shù),SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0始點對應的參數(shù)值為1,終點對應的參數(shù)值為0。由于SKIPIF1<0,故有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<09SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是用平面SKIPIF1<0截球面SKIPIF1<0SKIPIF1<0所得的截痕,從SKIPIF1<0軸的正向看去,沿逆時針方向。解：將SKIPIF1<0代入球面方程SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,并將其代入SKIPIF1<0得,SKIPIF1<0。SKIPIF1<0的參數(shù)方程為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0始點對應的參數(shù)值為0,終點對應的參數(shù)值為SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<010利用格林公式計算SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為圓周SKIPIF1<0,沿逆時針方向。解：SKIPIF1<0由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0常見錯解設SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0錯誤原因在曲線積分中SKIPIF1<0的方程可以直接代入曲線積分中,但在二重積分中SKIPIF1<0所以把SKIPIF1<0的方程代入二重積分的被積函數(shù)中是錯誤的。注意①利用格林公式計算對坐標的曲線積分時,SKIPIF1<0不要顛倒了。②計算沿閉曲線對坐標的曲線積分時,常利用格林公式簡化計算。圖10-711計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為上半圓周SKIPIF1<0,沿順時針方向。圖10-7解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0如圖10-7,由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意①利用格林公式計算沿非封閉曲線的積分時，常用坐標軸上或平行于坐標軸的直線段作為輔助線。圖10-8圖10-812計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,沿逆時針方向。解：如圖10-8適當選取SKIPIF1<0,作圓周SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0包含在SKIPIF1<0的內部,并取SKIPIF1<0的方向為順時針.則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所包圍的區(qū)域SKIPIF1<0內有連續(xù)的一階偏導數(shù),且SKIPIF1<0構成SKIPIF1<0的正邊界.由格林公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常見錯解SKIPIF1<0錯誤原因SKIPIF1<0及一階偏導數(shù)在SKIPIF1<0點沒有定義,故不能直接使用格林公式。注意在本例中，若把SKIPIF1<0換為不過原點的任意分段光滑且無重點的閉曲線，應該分為原點在SKIPIF1<0所包圍的區(qū)域內和原點不在這個區(qū)域內兩種情況進行討論。對前一種情況，曲線積分利用此例的方法就可以求出。圖10-913證明曲線積分SKIPIF1<0在整個坐標面SKIPIF1<0上與路徑無關,并計算積分值。圖10-9解：(方法一)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在整個坐標面SKIPIF1<0上有連續(xù)的一階偏導數(shù),所以曲線積分與路徑無關。SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由于被積表達式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以曲線積分與路徑無關.設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0。14設SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0。解：(方法一)設SKIPIF1<0由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(方法二)由SKIPIF1<0,把SKIPIF1<0看作不變的,對SKIPIF1<0積分得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。注意①利用方法一求函數(shù)SKIPIF1<0時，選擇的起點不同求出的SKIPIF1<0可能相差一個常數(shù)。②此例還可以用例13中方法二來求。曲面積分例1計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0在第一卦限的部分。圖10-11解：設SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影區(qū)域SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0.由于圖10-11SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。例2計算SKIPIF1<0SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為錐面SKIPIF1<0被圓柱面SKIPIF1<0所截得的有限部分。解：(方法一)如圖10-12,SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影區(qū)域SKIPIF1<0為:SKIPIF1<0。因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-12所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0圖10-12在極坐標系下SKIPIF1<0為:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。(注意奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于0)(方法二)由于SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0面對稱,且被積函數(shù)SKIPIF1<0及SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0的奇函數(shù),故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0注意在計算對面積的曲面積分中,經(jīng)常用對稱性來化簡運算.但應用這一性質時,不僅要考慮積分曲面的對稱性,同時要考慮被積函數(shù)的對稱性。例3計算SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是界于平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<0之間的圓柱面SKIPIF1<0。解：將SKIPIF1<0投影到坐標面SKIPIF1<0上,其投影區(qū)域為SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為:SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常見錯解因為SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影為圓周,其面積為0,于是SKIPIF1<0錯誤原因此例中,說“圓柱面SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影為圓周,其面積為0”是對的,但據(jù)此確定曲面積分為0是錯誤的。由于SKIPIF1<0的方程不能寫成SKIPIF1<0的形式，所以應將曲面投影到其它兩個坐標面上。注意計算對面積的曲面積分時,把積分曲面投影到哪個坐標面上,要根據(jù)積分曲面方程的表達式來確定。一般地,把SKIPIF1<0投影到坐標面SKIPIF1<0上,則SKIPIF1<0的方程應寫為SKIPIF1<0的形式；把SKIPIF1<0投影到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0坐標面上,SKIPIF1<0的方程應寫為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式。圖10-13例4計算積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0含在柱面SKIPIF1<0內部分的上側。圖10-13解：如圖10-13,SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影區(qū)域為SKIPIF1<0。SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常見錯解SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的面積。錯誤原因這里把對坐標的曲面積分與對面積的曲面積分混淆了,SKIPIF1<0是正確的,而在對坐標的曲面積分中,微元SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影與SKIPIF1<0不同,其正負由SKIPIF1<0的側來確定。圖10-14例5計算曲面積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是拋物柱面SKIPIF1<0被平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所截下的那部分的后側曲面。圖10-14解：如圖10-4,因為柱面SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影是一條曲線,由定義知SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在坐標面SKIPIF1<0上的投影區(qū)域記為SKIPIF1<0。由于SKIPIF1<0取后側,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意將對坐標的曲面積分投影到坐標面上時,不要忽視了SKIPIF1<0側。圖10-15例6計算曲面積分SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側。圖10-15解：(方法一)將分片光滑曲面SKIPIF1<0化為若干片光滑曲面之和,即SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0,SKIPIF1<0。則在SKIPIF1<0上積分為0,而由輪換對稱性SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影記為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。(方法二)設SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0在整個平面上有連續(xù)的一階偏導數(shù),由SKIPIF1<0所包圍的空間區(qū)域記為SKIPIF1<0,根據(jù)高斯公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。注意如果認為SKIPIF1<0,則是錯誤的,因為在三重積分中SKIPIF1<0。例7計算曲面積分SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0是連續(xù)函數(shù),SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0在第四卦限部分的上側。圖10-16分析在被積函數(shù)中含有未知函數(shù)SKIPIF1<0,而根據(jù)已知條件不圖10-16能求出SKIPIF1<0,因此不能直接利用公式計算積分.雖然已知被積函數(shù)連續(xù),但沒有偏導數(shù)存在的條件,不能用高斯公式計算積分.在此題中,SKIPIF1<0上任意一點的法向量的方向余弦是常數(shù),化為對面積的曲面積分可以消去SKIPIF1<0。解：由于SKIPIF1<0取上側,故SKIPIF1<0上任意一點的法向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的夾角為銳角,其方向余弦為SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例8SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為有向曲面SKIPIF1<0,其法向量與SKIPIF1<0軸正向的夾角為銳角。分析直接利用公式計算這個積分,需要將SKIPIF1<0分別投影到SKIPIF1<0兩個坐標面上,計算兩個二重積分,比較麻煩。雖然SKIPIF1<0不是閉曲面,不能直接用高斯公式,但可以通過添加輔助面化為沿封閉曲面的積分。圖10-17解：設SKIPIF1<0取下側,SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所包圍的空間區(qū)域SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0面上的投影為SKIPIF1<0。圖10-17SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例9SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0閉曲面SKIPIF1<0包含原點且分片光滑,取其外側。解：設SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0所圍成的空間區(qū)域,在SKIPIF1<0內以原點為中心,作球面SKIPIF1<0,取其外側。SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所圍成的閉區(qū)域記為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內具有一階連續(xù)的偏導數(shù),由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)高斯公式,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于在球面SKIPIF1<0上的任意點SKIPIF1<0的外法線向量的方向余弦為:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。常見錯解設SKIPIF1<0是由SKIPIF1<0所圍成的空間區(qū)域,根據(jù)高斯公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0錯誤原因因為SKIPIF1<0及一階偏導數(shù)在SKIPIF1<0處無定義,不滿足高斯公式的條件,所以直接應用高斯公式計算這個積分是錯誤的。注意①由輪換對稱性,積分SKIPIF1<0，然后直接用公式計算該積分也較簡單。②積分SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為曲面SKIPIF1<0上在點SKIPIF1<0處的外法線向量,SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0的向徑,是本題的另一種表達形式,這個積分也稱為高斯積分。例10計算SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0為下半球面SKIPIF1<0的上側,a為大于零的常數(shù)。 分析本題可以根據(jù)公式分塊計算,也可以添加輔助平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0構成封閉曲面，然后利用高斯公式計算。但應注意,被積函數(shù)在（0,0）點沒有定義,所以應先根據(jù)曲面積分的性質處理,再添加輔助平面SKIPIF1<0。解：(方法一)將SKIPIF1<0代入被積函數(shù),SKIPIF1<0SKIPIF1<0分塊計算.分別設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0及SKIPIF1<0面上的投影,即SKIPIF1<0:SKIPIF1<0;SKIPIF1<0:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以,SKIPIF1<0。(方法二)設SKIPIF1<0,取其上側,由高斯公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所包圍的區(qū)域,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的平面區(qū)域SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0。例11計算曲面積分SKIPIF1<0，其中Σ為錐面SKIPIF1<0介于平面SKIPIF1<0及SKIPIF1<