2009年高考試題數(shù)學(xué)理卷解析版

★啟用前2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（卷數(shù)學(xué)（理科34150120分鐘?？忌⒁馐马棧旱胤教顚懞妥惶柡髢晌?。動，用橡皮檫干凈后，在選涂其他答案標(biāo)號。答第II卷時，必須使用用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡寫，要求字體工整、筆0.5毫米的黑色墨水簽字草稿紙上答題無效?？荚嚱Y(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。參考：如果A、B互斥，那 S表示底面積，h表示底面上的高PABPA 棱柱體積VSh P(AB)P(A)

V Sh131I卷(選擇題50分一.10550分，在每小題給出的四個選項中，只有（1）i是虛數(shù)單位，若17iabi(abR，則乘積ab的值是 （D）15 17i(17i)(2i)13i，∴a1,b3,ab3，選B2 （2）若集合Ax|2x1|3Bx2x10A∩B 3

x1x1或2x

(B)x2x

x1x

(D) 1

x1x2 AC//DB,AD//CB,AE//BF,AF//BE,CE//FD,CF// 共12對，所以所求概率為 ，選 2009年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（卷）考生注意事項：

第Ⅱ卷(100分二.5525 量X~N(,2)，則P(X) 12 x12位。已知直線的極坐標(biāo)方程為4(R，它與曲線y22sin（為參數(shù)開否是輸結(jié)相交于兩點A開否是輸結(jié)[解析]yx，曲線的普通方程(x1)2y2)222(|1222(|121(13)程序框圖（即算法流程圖）如圖所示，其輸出結(jié)果 [解析]由程序框圖知，循環(huán)體被執(zhí)行后a3、7、15、31、63、127127。給定兩個長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為120oCOAB上變動.若OCxOAyOBx,yR,xy [解析]設(shè)AOC cosx1 cos(1200)

x ∴xy2[cos

)]cos

sin2sin(

)6 1ABCD2A作四面體的高，其垂足是BCD3若分別作ABC和ABDAB45三．解答題;675分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.解答寫在（16（在ABC中，sin(CA)1 sinB=13（I）sinA66

，求ABC的面積 12 A（Ⅰ由CACAB，∴BA

sinAsin(B)2(cosB B

3C3∴sin2A

(1sinB) ，又sinA0sinA 6

sin3

sin∴BCACsinAsin

32123

，又sinCsinABsinAcosBcosAsin 322 61 2 2∴ 1ACBCsinC1

632

6

（17（ 流感，其中只有A到過疫區(qū).B肯定是受的.對于C，因為難以斷定他是受A還是受B的，于是假定他受A和受B的概 2.DA、BC3.在這種假定之下，B、C、D的人數(shù)X就是一個隨量.寫出X的分布列(不要求寫出計算過程),并求X的均值（即數(shù)12分。解：隨量X的分布列X123P131216 X的均值為EX 2 附：X16種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是6①②③④⑤⑥在情形①和②之下，A直接了一個人；在情形③、④、⑤之下，A直接了兩個人；在情形⑥之下，A直接了三個人。（18（F－ABCDABCD22

，AE、CFABCDB－AF－DE－ABCDF－ABCD公共部分的體積.13分。（I（GBG、DGBDAC，BDCFBDACFBDAFAFBGDBGAF，DGAFBGD為二面角B－AF－DFCAC

FCAC2，得FAC，OG 由OBOGOBOD

，得BGD2BGO （向量法）ABDACAEx軸、y軸、z軸的正方向建立空 設(shè)平面ABF的法向量n1(x,y,z)，則由 得

xy22222z1，得y

，n1

2,

ADF的法向量n221,1n1n20ABFADFB-AF-D的大小等于。2（II）EB、EC、EDAFCE相交于點HE-ABCDF-ABCD的H-ABCD。HHPABCD，PABCD 1 1S菱形ABCD2ACBDH-ABCD的體積V13

2,菱形

HP229（19（f(x)x2a(2lnx),(a0)f(x的單調(diào)性x12分。 x2ax解：f(x)的定義域是(0,+),f(x) g(xx2ax2,g(x)0的判別式a282①當(dāng)a280，即0a 時，對一切x0都有f(x)0,此時f(x)在(0,22②當(dāng)a280,即a22時僅對x 有f(x)0,對其余的x0都有f(x)02f(x在(0a a2③當(dāng)a280，即aa a2a a2g(xa a2

,x2

,0x1x2x(0,x1(x1,x2x(x2,f+0_0+f單調(diào)遞增單調(diào)遞減a a2a a2a a2此時f(x)a a2a a2a a2 a a2 ,a a22（20（ P(x0y0a2b21(ab0x0acosy0bsin02直線與直線l:x0xy0y1垂直，OOP的傾斜角為，直線l的傾斜角為1 證明:點P是橢

1與直線l1證明tantantan構(gòu)成等比數(shù)列13分。0（I（0

2b(ax0x2b

2y y

a2

b2x 2b2 得 0)x2 0x 1)0 a4y

a2 y 將x0acos代入上式,x22acosxa2cos20xacosybsinx2y2

x因此,方程組

有唯一解 0,即直線l與橢圓有唯一交點1x0xy0y1

y (方法二)P是橢圓與l1Q(acos1bsin1012是橢圓與l1代入lcosxsin

y1，得coscos

sinsin

即cos(111P與Qbaa2baa2baa2x0

1y b2

,y0 a2x0橢圓在點P處的切線斜率ky(x) a2x0b2

0a0x y

a2切線方程為y 0(xx)y,即0010a20

l1就是橢圓在點P根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線l1 x y 01（II）tan0 tan,l的斜率為 ,l的斜率為tan0 01

tan0 0

y

x 由此得tantantan20,tantantan（21（首項為正數(shù)的數(shù)列a滿足 1(a23),nN 證明：若a1為奇數(shù)，則對一切n2an若對一切nN都有an1an，求a1的取值范圍13（I）已知a1是奇數(shù)，假設(shè)ak2m1是奇數(shù)，其中m則由遞推關(guān)系得ak1

a2k4k

m(m11根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何nNan1（II（方法一）由an1an4(an1)(an3an1an當(dāng)且僅當(dāng)an1或an31另一方面，若0ak1則0ak1

14

1ak3，則ak1

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0a110an1nNa13an3n綜合所述，對一切nN都有an1an的充要條件是0a11或a13a2 （方法二）由a2 a