07年高考數(shù)學(xué)(理科)試卷及答案(湖南卷)

2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)等于（）A．B．C．D．2．不等式的解集是（）A． B．C． D．3．設(shè)是兩個集合，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．設(shè)是非零向量，若函數(shù)的圖象是一條直線，則必有A．B．C．D．5．設(shè)隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.9756．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是A．4B．3C．2D．17．下列四個命題中，不正確的是（）A．若函數(shù)在處連續(xù)，則B．函數(shù)的不連續(xù)點是和C．若函數(shù)，滿足，則D．8．棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（）A． B．C．D．9．設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．10．設(shè)集合，都是的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的，（，），都有（表示兩個數(shù)中的較小者），則的最大值是（）A．10B．11C．12D．13二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上。11．圓心為且與直線相切的圓的方程是。12．在中，角所對的邊分別為，若，b=，，則。13．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是。14．設(shè)集合，，，20．（本小題滿分12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點。（I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。21．（本小題滿分13分）已知（）是曲線上的點，，是數(shù)列的前項和，且滿足，，…。（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；（III）證明：當(dāng)時，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增。2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C2．D3．B4．A5．C6．B7．C8．D9．D10．B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在橫線上。11．12．13．14．（1）（2）15．，32三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．（本小題滿分12分）解：（I）由題設(shè)知因為是函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，即（）。所以當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，（II）當(dāng)，即（）時，函數(shù)是增函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）17．（本小題滿分12分）解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計算機培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨立，且，．（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II）因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項分布，，，即的分布列是01230.0010.0270.2430.729的期望是（或的期望是）18．（本小題滿分12分）解：解法一：（Ｉ）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點作于點，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，故因為，，所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題設(shè)，，，則所以，，，因為平面，，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，從而．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（II）由（I）可知，平面．故可以為原點，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，，，則，，，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，，，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是19．（本小題滿分12分）解：（I）如圖，，，，由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，設(shè)，．則記總造價為萬元，據(jù)題設(shè)有當(dāng)，即時，總造價最小（II）設(shè)，，總造價為萬元，根據(jù)題設(shè)有則，由，得當(dāng)時，，在內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)時，，在內(nèi)是增函數(shù)故當(dāng)，即（km）時總造價最小，且最小總造價為萬元（III）解法一：不存在這樣的點，事實上，在上任取不同的兩點，為使總造價最小，顯然不能位于與之間，故可設(shè)位于與之間，且=，，，總造價為萬元，則．類似于（I）、（II）討論知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，同時成立時，上述兩個不等式等號同時成立，此時，，取得最小值，點分別與點重合，所以不存在這樣的點，使沿折線修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價．解法二：同解法一得當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時成立時，取得最小值，以上同解法一。20．（本小題滿分12分）解：由條件知，，設(shè)，．解法一：（I）設(shè)，則則，，，由得即于是的中點坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時，，即又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即將代入上式，化簡得當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程所以點的軌跡方程是（II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以，，于是因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，此時故在軸上存在定點，使為常數(shù)解法二：（I）同解法一的（I）有當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是代入有則是上述方程的兩個實根，所以由①②③得④⑤當(dāng)時，，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得。當(dāng)時，點的坐標(biāo)為，滿足上述方程當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程。故點的軌跡方程是。（II）假設(shè)在軸上存在定點點，使為常數(shù)，當(dāng)不與軸垂直時，由（I）有，。以上同解法一的（II）。21．（本小題滿分13分）解：（I）當(dāng)時，由已知得因為，所以①于是②由②－①得③于是④由④－③得，⑤所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列（II）由①有，所以．由③有，，所以，而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列，所以，，，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立。且即所求的取值集合是（