邏輯函數(shù)的卡若圖化簡法

關(guān)于邏輯函數(shù)的卡若圖化簡法第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.20232復(fù)習與或表達式最簡的標準是什么？公式化簡法的優(yōu)點？局限性？第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202331.3.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

公式化簡法評價：優(yōu)點：變量個數(shù)不受限制。缺點：目前尚無一套完整的方法，結(jié)果是否最簡有時不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡法對最終化簡結(jié)果難以確定等缺點。卡諾圖是按一定規(guī)則畫出來的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡法，同時它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項，所以先討論一下最小項及最小項表達式。

第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202341.最小項及最小項表達式（1）最小項返回具備以上條件的乘積項共八個，我們稱這八個乘積項為三變量A、B、C的最小項。

設(shè)A、B、C是三個邏輯變量，若由這三個邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項：①每個乘積項都只含三個因子，且每個變量都是它的一個因子；②每個變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。AB是三變量函數(shù)的最小項嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項嗎？推廣：一個變量僅有原變量和反變量兩種形式，因此N個變量共有2N個最小項。第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.20235最小項的定義:對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個變量的一個最小項。表1-17三變量最小項真值表第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.20236（2）最小項的性質(zhì)①對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時，該最小項均為0；②任意兩個不同的最小項之積恒為0；③變量全部最小項之和恒為1。第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.20237最小項也可用“mi”表示，下標“i”即最小項的編號。編號方法：把最小項取值為1所對應(yīng)的那一組變量取值組合當成二進制數(shù)，與其相應(yīng)的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。

表1-18三變量最小項的編號表

第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.20238（3）最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式——標準與或表達式。而且這種形式是惟一的，就是說一個邏輯函數(shù)只有一種最小項表達式。例1-7將Y=AB+BC展開成最小項表達式。解：或：第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202392.卡諾圖及其畫法

返回（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個小方塊（最小項）；

②最小項排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對——任一行或一列的兩頭；三是相重——對折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項的幾何相鄰性，其優(yōu)點是十分突出的。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202310圖1-11三變量卡諾圖的畫法

（2）卡諾圖的畫法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202311圖1-12四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰正確認識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202312

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。例1-8已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表3.

用卡諾圖表示邏輯函數(shù)ABCY00000011010101101001101011001111圖1-13例1-8的卡諾圖返回第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202313

（2）從最小項表達式畫卡諾圖

把表達式中所有的最小項在對應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例1-9畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。圖1-14例1-9的卡諾圖第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202314

（3）從與－或表達式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的的公因子）所對應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=0111第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202315

（4）從一般形式表達式畫卡諾圖

先將表達式變換為與或表達式，則可畫出卡諾圖。第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202316

（1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。4.卡諾圖化簡法由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡化。返回第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202317圖1-15兩個最小項合并

m3m11BCD第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202318圖1-16四個最小項合并

第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202319圖1-17八個最小項合并第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202320

（2）利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項（圈組）；③從圈組寫出最簡與或表達式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項；②每個取值為1的相鄰最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個數(shù)要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202321

C．從圈組寫最簡與或表達式的方法：

①將每個圈用一個與項表示

圈內(nèi)各最小項中互補的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項相或，便得到最簡與或表達式。第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202322例1-10用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202323相鄰BCA第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202324BCABD第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202325例1-11化簡圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈11223344第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期三26.03.202326圈組技巧(防止多圈組的方法)：