2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)圓追曲線中的定值問題（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)2023年高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題解析幾何模型通關(guān)圓錐曲線中的定值問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)處理圓錐曲線中定值問題的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1證明某些幾何量為定值【例1】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)漸近線方程→點(diǎn)D到漸近線距離列方程→雙曲線線的離心率→求得→雙曲線的方程.（2）考慮直線斜率不存在和為0時(shí)→點(diǎn)到直線的距離→設(shè)直線方程方程→根與系數(shù)關(guān)系→列方程→點(diǎn)到直線距離公式→求得點(diǎn)到直線的距離.【例2】（2022·湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求證：k1·k2＝－eq\f(1,4)；(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由．【解題指導(dǎo)】【解題技法】參數(shù)法解決圓錐曲線中最值問題的一般步驟【跟蹤訓(xùn)練】(2020·北京卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)B(－4，0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線x＝－4于點(diǎn)P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值.考法2證明某些代數(shù)式為定值【例3】（2022·山東泰安·三模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形面積為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過上任意點(diǎn)P做的切線l與橢圓E交于點(diǎn)M，N，求證為定值．【解題指導(dǎo)】【解后反思】常見處理技巧：(1)在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；(2)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符號曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算.【例4】（2022·湖南懷化·一模）如圖.矩形ABCD的長，寬，以A?B為左右焦點(diǎn)的橢圓恰好過C?D兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓M上的動點(diǎn).(1)求橢圓M的方程，并求的取值范圍；(2)若過點(diǎn)B且斜率為k的直線交橢圓于M?N兩點(diǎn)（點(diǎn)C與M?N兩點(diǎn)不重合），且直線CM?CN的斜率分別為，試證明為定值.【解題技法】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)證明代數(shù)式為定值:依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式并化簡,即可得出定值;(2)證明點(diǎn)到直線的距離為定值:利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、證明?！靖櫽?xùn)練】(2022·衡水模擬)已知點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝6上運(yùn)動，點(diǎn)P在x軸上的投影為Q，動點(diǎn)M滿足(1－eq\r(3))eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(→)).(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)(2，0)的動直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))2的值為定值？若存在，求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請說明理由.方法總結(jié)方法總結(jié)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1.求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2.求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；3.求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的離心率和雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過定點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合）.證明：直線AC，BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，三個(gè)點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.4．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一條長為的線段的端點(diǎn)分別在雙曲線的兩條漸近線上滑動，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程．(2)直線過點(diǎn)且與交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．設(shè)，，求證：為定值．5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．6．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知動點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．7．（2023·山東菏澤聯(lián)考一模）已知圓：，為圓上一動點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)G.(1)求動點(diǎn)G的軌跡C的方程；(2)已知，軌跡C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M，N，射線AM，AN分別與圓交于P，Q兩點(diǎn)，記直線MN和直線PQ的斜率分別為，.①求AM與AN的斜率的乘積；②問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.8．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由9．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.10．（2023·北京順義·統(tǒng)考一模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若以為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)P在橢圓C上，求證：平行四邊形的面積是定值．圓錐曲線中的定值問題思路引導(dǎo)思路引導(dǎo)處理圓錐曲線中定值問題的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)考法1證明某些幾何量為定值【例1】（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為2，右頂點(diǎn)到一條漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由.【解題指導(dǎo)】（1）設(shè)漸近線方程→點(diǎn)D到漸近線距離列方程→雙曲線線的離心率→求得→雙曲線的方程.（2）考慮直線斜率不存在和為0時(shí)→點(diǎn)到直線的距離→設(shè)直線方程方程→根與系數(shù)關(guān)系→列方程→點(diǎn)到直線距離公式→求得點(diǎn)到直線的距離.【解析】(1)由題意，得雙曲線的漸近線方程為，右頂點(diǎn)為.又，且，所以，故.又，解得，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè).當(dāng)直線和軸線平行時(shí)，，解得，所以點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線和軸線不平行時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，，所以.又，所以，得，解得.又點(diǎn)到直線的距離為，則，故，所以點(diǎn)到直線的距離為定值.【例2】（2022·湖北省天門中學(xué)模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求證：k1·k2＝－eq\f(1,4)；(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值，并說明理由．【解題指導(dǎo)】【解析】(1)證明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又m·n＝0，∴eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0，即eq\f(x1x2,4)＝－y1y2，∴k1·k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,4).(2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時(shí)，由eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(1,4)，得eq\f(x\o\al(2,1),4)－yeq\o\al(2,1)＝0.又∵點(diǎn)P(x1，y1)在橢圓上，∴eq\f(x\o\al(2,1),4)＋yeq\o\al(2,1)＝1，∴|x1|＝eq\r(2)，|y1|＝eq\f(\r(2),2).∴S△POQ＝eq\f(1,2)|x1||y1－y2|＝1.②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b.聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，其中Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2.∴x1＋x2＝eq\f(－8kb,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(4b2－4,4k2＋1).∵eq\f(x1x2,4)＋y1y2＝0，∴eq\f(x1x2,4)＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(滿足Δ>0)．∴S△POQ＝eq\f(1,2)·eq\f(|b|,\r(1＋k2))·|PQ|＝eq\f(1,2)|b|eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2|b|eq\f(\r(4k2＋1－b2),4k2＋1)＝1.綜合①②知△POQ的面積S為定值1.【解題技法】參數(shù)法解決圓錐曲線中最值問題的一般步驟【跟蹤訓(xùn)練】(2020·北京卷)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1過點(diǎn)A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)B(－4，0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)M，N，直線MA，NA分別交直線x＝－4于點(diǎn)P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值.解(1)由橢圓過點(diǎn)A(－2，－1)，得eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.又a＝2b，∴eq\f(4,4b2)＋eq\f(1,b2)＝1，解得b2＝2，∴a2＝4b2＝8，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不合題意.設(shè)直線l：y＝k(x＋4)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋4），,x2＋4y2＝8))得(4k2＋1)x2＋32k2x＋64k2－8＝0.由Δ＞0，得－eq\f(1,2)＜k＜eq\f(1,2).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－32k2,4k2＋1)，x1x2＝eq\f(64k2－8,4k2＋1).又∵直線AM：y＋1＝eq\f(y1＋1,x1＋2)(x＋2)，令x＝－4，得yP＝eq\f(－2（y1＋1）,x1＋2)－1.將y1＝k(x1＋4)代入，得yP＝eq\f(－（2k＋1）（x1＋4）,x1＋2).同理yQ＝eq\f(－（2k＋1）（x2＋4）,x2＋2).∴yP＋yQ＝－(2k＋1)＝－(2k＋1)·eq\f(2x1x2＋6（x1＋x2）＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)·eq\f(\f(2（64k2－8）,4k2＋1)＋\f(6×（－32k2）,4k2＋1)＋16,（x1＋2）（x2＋2）)＝－(2k＋1)×eq\f(128k2－16－192k2＋64k2＋16,（4k2＋1）（x1＋2）（x2＋2）)＝0.∴|PB|＝|BQ|，∴eq\f(|PB|,|BQ|)＝1.考法2證明某些代數(shù)式為定值【例3】（2022·山東泰安·三模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形面積為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)過上任意點(diǎn)P做的切線l與橢圓E交于點(diǎn)M，N，求證為定值．【解題指導(dǎo)】【解析】(1)由題意得，，可得，b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，【提醒】求直線方程時(shí)忽略直線斜率不存在的情況．當(dāng)時(shí)，將代入橢圓方程得，∴，，，∴當(dāng)時(shí)，同理可得，當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，，，因?yàn)閘與相切，所以，所以【技巧】圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題．由，得，∴，∴∴綜上，為定值．【解后反思】常見處理技巧：(1)在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏；(2)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符號曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算.【例4】（2022·湖南懷化·一模）如圖.矩形ABCD的長，寬，以A?B為左右焦點(diǎn)的橢圓恰好過C?D兩點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓M上的動點(diǎn).(1)求橢圓M的方程，并求的取值范圍；(2)若過點(diǎn)B且斜率為k的直線交橢圓于M?N兩點(diǎn)（點(diǎn)C與M?N兩點(diǎn)不重合），且直線CM?CN的斜率分別為，試證明為定值.【解題指導(dǎo)】【解析】(1)由題意得.又點(diǎn)在橢圓上，所以，且，所以，，故橢圓的方程為.（3分）設(shè)點(diǎn)，由，得.又，所以.（5分）【技巧】利用隱含的不等關(guān)系，即點(diǎn)P在圓上轉(zhuǎn)化為，從而確定的取值范圍(2)設(shè)過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得.設(shè)兩點(diǎn)M?N，故，.（7分）因?yàn)?，其中，，?分）故所以為定值．（12分）【解題技法】圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)證明代數(shù)式為定值:依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式中參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式并化簡,即可得出定值;(2)證明點(diǎn)到直線的距離為定值:利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、證明?！靖櫽?xùn)練】(2022·衡水模擬)已知點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝6上運(yùn)動，點(diǎn)P在x軸上的投影為Q，動點(diǎn)M滿足(1－eq\r(3))eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(→)).(1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)過點(diǎn)(2，0)的動直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)D，使得eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))2的值為定值？若存在，求出定點(diǎn)D的坐標(biāo)及該定值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，由(1－eq\r(3))eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(→))，得eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\r(3)eq\o(MQ,\s\up6(→))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝x，,y0＝\r(3)y，))又點(diǎn)P(x0，y0)在圓O：x2＋y2＝6上，∴xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝6，∴x2＋3y2＝6，∴軌跡E的方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y＝k(x－2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,6)＋\f(y2,2)＝1，,y＝k（x－2），))消去y得(1＋3k2)x2－12k2x＋12k2－6＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq\f(12k2,1＋3k2)，x1·x2＝eq\f(12k2－6,1＋3k2)，根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)D(m，0)，使得eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))為定值，則有eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝(k2＋1)×eq\f(12k2－6,1＋3k2)－(2k2＋m)·eq\f(12k2,1＋3k2)＋(4k2＋m2)＝eq\f(（3m2－12m＋10）k2＋（m2－6）,3k2＋1)，要使上式為定值，即與k無關(guān)，則3m2－12m＋10＝3(m2－6)，即m＝eq\f(7,3)，此時(shí)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝m2－6＝－eq\f(5,9)為常數(shù)，定點(diǎn)D的坐標(biāo)為.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝2，易求得直線l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，此時(shí)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝·＝－eq\f(5,9).綜上所述，存在定點(diǎn)D，使得eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))2為定值－eq\f(5,9)方法總結(jié)方法總結(jié)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略1.求代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式，化簡即可得出定值；2.求點(diǎn)到直線的距離為定值：利用點(diǎn)到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設(shè)條件化簡、變形求得；3.求某線段長度為定值：利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進(jìn)行化簡、變形即可求得．模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練1．（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)橢圓：的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，橢圓的離心率和雙曲線的離心率互為倒數(shù).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過定點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合）.證明：直線AC，BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【分析】（1）直接求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)得到值，再結(jié)合雙曲線離心率即可求出橢圓的離心率，則可求出橢圓方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，寫出直線,的方程，聯(lián)立直線方程解出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，將以及韋達(dá)定理式代入化簡計(jì)算為定值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為,所以橢圓的半焦距.又因?yàn)殡p曲線的離心率是,所以橢圓的離心率，從而,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可得.若過點(diǎn)的直線方程為時(shí)，此時(shí)與橢圓交點(diǎn)為點(diǎn)，不合題意，故可設(shè)過點(diǎn)的直線為,設(shè)，聯(lián)立，整理得.則，，，則直線AC的斜率，直線BD的斜率則直線的方程為，直線的方程為,聯(lián)立兩條直線方程,解得，將代人上式，得，將代人,得，所以直線,的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵在于采取設(shè)線法，設(shè)過點(diǎn)的直線方程，注意為了簡便計(jì)算和避免分類討論，我們引入?yún)?shù)，然后聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理式，再分別寫出直線,的方程，聯(lián)立解出其橫坐標(biāo)，這一步計(jì)算量較大，再根據(jù)點(diǎn)在這個(gè)直線上，進(jìn)行換元化簡，最后再代入韋達(dá)定理式化簡即可.2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考一模）已知雙曲線過點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．【分析】（1）由與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4得出，再將代入的方程得出的方程；（2）聯(lián)立直線和雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理得出，再由點(diǎn)坐標(biāo)得出，最后由結(jié)合證明直線的斜率為定值.【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，將代入的方程可得，，故的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線，，．與聯(lián)立，整理得，所以，，解得，且，，，所以．（*）又，所以的坐標(biāo)為，由可得，，從而可得的縱坐標(biāo)，將（*）式代入上式，得，即．所以，，將（*）式代入上式，得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在解決問題二時(shí)，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理得出，建立的關(guān)系，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此得出.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知，，三個(gè)點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系用表示，代入橢圓方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以解得，又因?yàn)?，所以解得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.（2）設(shè)直線與斜率分別為，是定值.4．（2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知一條長為的線段的端點(diǎn)分別在雙曲線的兩條漸近線上滑動，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程．(2)直線過點(diǎn)且與交于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．設(shè)，，求證：為定值．【分析】（1）求出雙曲線漸近線的方程，設(shè)，，，再根據(jù)以及點(diǎn)是線段的中點(diǎn)來列式整理即可；（2）先計(jì)算直線斜率為零時(shí)的情況，再計(jì)算直線斜率不為零時(shí)，設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算來計(jì)算即可.【詳解】（1）由已知，雙曲線的漸近線方程為和，設(shè)，，∵，∴，即∵，∴，∴，∴；（2）證明：當(dāng)直線斜率為零時(shí)，方程為，此時(shí)，又，，；當(dāng)直線斜率不為零時(shí)，設(shè)，，，∴，∴，，，，∵，∴，∴，同理：∴．∵E、F、M、D四點(diǎn)共線，∴滿足l方程，∴，∴∴為定值．5．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．【分析】（1）根據(jù)圓弦長公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，方程為，顯然與圓也相切，不符合題意，設(shè)直線l的斜率為，方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€l與C相切，所以有，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，因?yàn)椋杂?；?），由，設(shè)，則有，，，把，代入上式，得，而，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.6．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知動點(diǎn)與點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)若點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，證明：的面積為定值．【分析】(1)由題意，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式化簡即可；(2)先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)再應(yīng)用點(diǎn)在橢圓上求出兩直線方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式求面積，化簡即可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知，化簡整理得曲線的軌跡方程為．（2）設(shè)，由題意知．由，可知分別為的中點(diǎn)，所以，．由得，．同理，所以都在直線上．由得，又因?yàn)橹本€過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，又點(diǎn)到直線的距離，所以，．又，故．所以的面積為定值．7．（2023·山東菏澤聯(lián)考一模）已知圓：，為圓上一動點(diǎn)，，線段的垂直平分線交于點(diǎn)G.(1)求動點(diǎn)G的軌跡C的方程；(2)已知，軌跡C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M，N，射線AM，AN分別與圓交于P，Q兩點(diǎn)，記直線MN和直線PQ的斜率分別為，.①求AM與AN的斜率的乘積；②問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【分析】（1）根據(jù)已知條件知點(diǎn)G的軌跡符合橢圓定義，運(yùn)用橢圓定義求解即可.（2）①設(shè)出M、N坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)M、N在橢圓上進(jìn)行等量代換及斜率公式計(jì)算即可；②設(shè)出直線AM與直線AN的方程，聯(lián)立直線AM方程與橢圓方程可得、，進(jìn)而求得，聯(lián)立直線AM方程與圓方程可得、，同理可得、，進(jìn)而求得，代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，如圖所示，由題意知，，所以，所以動點(diǎn)G的軌跡為：以、為焦點(diǎn)且長軸長為4的橢圓.即：，，所以，，所以動點(diǎn)G的軌跡C的方程為.（2）①由題意知，直線AM與直線AN的斜率存在且不為0，設(shè)，，，則，∵M(jìn)、N在橢圓上，∴，即，∴,即：直線AM與直線AN的斜率的乘積為.②設(shè)直線AM方程為，由①知，，所以，則直線AN方程為，聯(lián)立，因?yàn)锳、M在軌跡C上，所以，即：，所以，所以，聯(lián)立，因?yàn)锳、P在圓上，所以，即：，所以，同理：，，所以，所以，即為定值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．(2)求點(diǎn)到直線的距離為定值．利用點(diǎn)到直線的距離公式得