近代物理導(dǎo)論曹禺第十三章

PAGEPAGE82第十三章近獨(dú)立粒子的最概然分布概率基礎(chǔ)知識在概率理論中，被研究對象所出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個“事件”，在一定條件下必然會發(fā)生的事件，稱為必然事件。必然不會發(fā)生的事，稱為不可能事件。這兩種事件有一個共同的特點(diǎn)，就是事先可以對其發(fā)生與否作肯定性回答，它們統(tǒng)稱為確定性事件。隨機(jī)事件的概率在一定的條件下，如果一個事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，稱此事件為隨機(jī)事件，與其相應(yīng)的自然現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。如投擲硬幣時，正面朝上是一個隨機(jī)事件。對于隨機(jī)事件，在一次試驗(yàn)或觀測中是無法預(yù)知其結(jié)果的，但當(dāng)觀測次數(shù)N趨于無窮時，某一事件（事件A）發(fā)生的次數(shù)與總觀測次數(shù)N的比值將趨于某一穩(wěn)定的極限值。這個極限值可以作為隨機(jī)事件A出現(xiàn)可能性的客觀量度，稱為事件A發(fā)生的概率：，當(dāng)＝0時，A不可能發(fā)生；當(dāng)＝1時，A肯定發(fā)生。顯然，事實(shí)上，試驗(yàn)的次數(shù)不可能無限多，但是，只要試驗(yàn)次數(shù)足夠多，我們就可以用來表示事件發(fā)生的概率，如擲一質(zhì)量均勻的硬幣，若只擲少數(shù)幾此，正面向上和北面向上的次數(shù)可能相差很大，但隨著擲的次數(shù)的增加，會發(fā)現(xiàn)正面向上和背面向上各有的可能性，于是可以說擲硬幣時，正面向上和北面向上的概率各為。2、互斥事件概率的加法定律在一定的條件下，不可能同時發(fā)生的兩個事件，稱為互斥事件，如擲硬幣時，正面、背面不可能同時向上，所以正面向上和背面向上是互斥事件。設(shè)A、B是互斥事件，在N次觀測中，事件A出現(xiàn)次，事件B出現(xiàn)次，則出現(xiàn)事件A或B次數(shù)為，所以，A、B中任意一個出現(xiàn)的概率為兩個互斥事件中任意一個出現(xiàn)的概率等于兩個事件出現(xiàn)的概率之和，稱為概率的加法定理，推廣至n個互斥事件：如擲硬幣時，正面向上，背面向上出現(xiàn)的概率為：若某一隨機(jī)現(xiàn)象總共包含n種互斥事件，則由概率加法定理知：，稱為概率的歸一化條件，它表明，在一次觀測中，全部互斥事件中總有一個是要發(fā)生的。3、獨(dú)立事件概率的乘法定理如果兩個隨機(jī)事件彼此沒有任何關(guān)聯(lián)，一個事件發(fā)生與否與另一事件發(fā)生與否毫不相關(guān)，這兩個事件稱為獨(dú)立事件，如同時擲二硬幣，第一枚出現(xiàn)正面向上與第二枚出現(xiàn)背面向上是毫無關(guān)聯(lián)的，是兩個獨(dú)立事件。設(shè)A、B是兩個獨(dú)立事件，這兩事件同時（依次）發(fā)生記為。以表示在N次觀測中事件A發(fā)生的次數(shù)。表示在N次觀測中事件A和事件B同時發(fā)生的次數(shù)，這也是在事件Ａ發(fā)生的次數(shù)中事件B發(fā)生的次數(shù)則事件A和B同時發(fā)生的概率為：兩個獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率等于兩事件各自發(fā)生的概率的乘積，稱為概率的乘法定理。如同時擲兩枚硬幣時，第一枚正面向上，第二枚背面向上同時發(fā)生的概率為，推廣至n個獨(dú)立事件:4、隨機(jī)變量的概率分布如果一變量以一定的概率取各種可能值，這變量稱作隨機(jī)變量，分為離散型和連續(xù)型。離散型：離散型隨機(jī)變量所取的數(shù)值是可數(shù)的分立值，以X表示隨機(jī)變量，表示離散型隨機(jī)變量的可能取值，表示取相應(yīng)值的概率，稱為隨機(jī)變量X的概率分布。顯然，連續(xù)型：連續(xù)型隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的一切數(shù)值，以X表示連續(xù)型隨機(jī)變量，假設(shè)它的取值x在a與b之間，隨機(jī)變量x取值在的概率表為，稱為概率密度，滿足以下條件：5、統(tǒng)計(jì)平均值和漲落離散型：設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為。設(shè)在N次試驗(yàn)或觀測中，測得X取上述數(shù)值的次數(shù)相應(yīng)為則X的算術(shù)平均值為。當(dāng)X的算術(shù)平均值趨于一定的極限，稱作X的統(tǒng)計(jì)平均值。取的概率。連續(xù)型隨機(jī)變量X，統(tǒng)計(jì)平均值，積分遍及x的取值范圍。獨(dú)立，另一類平均值，方均值，定義為由于各次觀測結(jié)果不一定等于統(tǒng)計(jì)平均值，引入一個量描述X在其統(tǒng)計(jì)平均值上下漲落的平均幅度，由于不能用來表示漲落。用方差描述漲落對大的偏差是敏感的，它表明了隨機(jī)變量取值的分散程度，越小，隨機(jī)變量的取值越靠近平均值。還可引入相對漲落更能說明精確度。1粒子運(yùn)動狀態(tài)的經(jīng)典描述統(tǒng)計(jì)物理學(xué)是從物質(zhì)的微觀運(yùn)動來闡明物質(zhì)宏觀性質(zhì)的科學(xué)。由于物質(zhì)是大量微觀粒子組成的，每個粒子在不停地運(yùn)動，在統(tǒng)計(jì)物理中把物質(zhì)的宏觀性質(zhì)看作是大量粒子作熱運(yùn)動的平均效果，而把系統(tǒng)的宏觀量看作是對應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。統(tǒng)計(jì)物理中討論的系統(tǒng)是由大量微觀粒子組成的，大約有數(shù)量級，描述大量粒子組成的系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)的量稱為宏觀量，描述單個粒子性質(zhì)的物理量稱為微觀量。粒子（指微觀粒子）的運(yùn)動狀態(tài)是指它的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)。一般來說，微觀粒子遵從量子力學(xué)規(guī)律，不過在一定極限條件下，經(jīng)典理論還是有意義的。粒子運(yùn)動狀態(tài)的經(jīng)典描述對于一個自由度為的粒子，它在任一時刻的運(yùn)動狀態(tài)，由粒子的個廣義坐標(biāo)和與之共軛的個廣義動量在該時刻的值確定，粒子的能量是其廣義坐標(biāo)和廣義動量的函數(shù)：如果存在外場，還是描述外場參量的函數(shù)。為了形象地描述粒子的力學(xué)運(yùn)動狀態(tài)，用共個變量為直角坐標(biāo)，構(gòu)成維空間，稱為相空間或空間。粒子在某一時刻的力學(xué)狀態(tài)可用相空間的一個點(diǎn)來表示，稱為粒子運(yùn)動狀態(tài)的代表點(diǎn)。當(dāng)粒子的運(yùn)動狀態(tài)隨時間改變時，代表點(diǎn)相應(yīng)地在空間中移動，描繪出一條軌跡，稱為相軌跡，空間中的廣義體積，稱為相體積。統(tǒng)計(jì)物理中的幾個例子（1）自由粒子當(dāng)自由粒子在三維空間中運(yùn)動時，其自由度為3，所以相空間是6維的，粒子在任一時刻的位置由坐標(biāo)確定，共軛的動量分別為，相空間坐標(biāo)分別為當(dāng)自由粒子在一維空間運(yùn)動時，自由度為1，相空間維數(shù)為2，坐標(biāo)。（2）一維線性諧振子質(zhì)量為m的粒子，沿著軸在平衡位置附近作角頻率為的諧振動，稱為線形諧振子，其自由度為1，可以用一個坐標(biāo)和一個動量來確定其運(yùn)動狀態(tài)，其空間是二維的，諧振子的能量Px等能面是相空間中的一條橢圓曲線，改寫為:兩個半軸長分別為和橢圓面積：而能量在之間的相體積為：諧振子能量不同，橢圓不同。2.粒子運(yùn)動狀態(tài)的量子描述微觀粒子服從量子力學(xué)規(guī)律波粒二象性：粒子波，粒子量，波量普朗克常量海森堡不確定關(guān)系經(jīng)典：粒子沿軌道運(yùn)動。量子：無軌道。不能同時確定。量子態(tài)——量子力學(xué)中微觀粒子的運(yùn)動狀態(tài)量子態(tài)數(shù)的計(jì)算，量子的描述（1）自由粒子先考慮一微自由粒子，設(shè)粒子在長為L的一維容器中，邊界條件可取駐波條件或周期邊界條件取周期邊界條件，自由粒子波函數(shù)為，一維自由粒子動量，一維自由粒子能量，所以，是表征一維自由粒子運(yùn)動的量子數(shù)，對于在邊長為L的立方體內(nèi)運(yùn)動的三維自由粒子，其波函數(shù)考慮到周期邊界條件：，，與一維情況一樣，可得粒子動量，粒子能量所以，這組數(shù)就是表征三維自由粒子運(yùn)動的量子數(shù)，不同的代表不同的量子態(tài)，而當(dāng)不同（代表不同的量子態(tài)），但一樣時，就表示不同的量子態(tài)具有相同的能量，即在同一能級上有不止一個量子態(tài)，此時稱此能級是簡并的，簡并度就是方程：整數(shù)解的個數(shù)?？紤]在體積內(nèi)，在，，的動量范圍內(nèi)自由粒子的量子態(tài)數(shù)，由于不同的代表不同的量子態(tài)，且與一一對應(yīng)，在的范圍內(nèi)，可能的的數(shù)目同理：在的范圍內(nèi)，可能的數(shù)目在的范圍內(nèi)，可能的數(shù)目為所以在，，范圍內(nèi)可能的數(shù)目，即可能的量子態(tài)數(shù)目為上式可用不確定關(guān)系來理解，由不確定關(guān)系可知：粒子的坐標(biāo)不確定值與動量不確定值滿足：這反映在量子力學(xué)中粒子的軌道概念是不存在的，因?yàn)榱Ｗ拥奈恢煤蛣恿渴遣豢赡芡瑫r確定的。這也是粒子波動性的反映，因?yàn)椴荒馨蚜Ｗ涌闯梢粋€點(diǎn)，而要看成波包，因此若用坐標(biāo)和動量來描述粒子的運(yùn)動狀態(tài)，一個態(tài)必然占有空間的一定體積，稱之為相格。對于自由度為1的粒子，相格的大小為，對于自由度為的粒子，各自由度的坐標(biāo)和動量的不確定值和分別滿足相格大小為這是自由度為的粒子的一個量子態(tài)在空間所占有的體積。式表示三維自由粒子的量子態(tài)數(shù)等于其在空間占有的體積除以相格大小（一個量子態(tài)占有的空間體積）用動量空間的球坐標(biāo)來表示。，，體積元：在體積V內(nèi)，動量大小在內(nèi)，方向在的范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：對所有方向求知，對從積分，從積分，便得到在體積V內(nèi)，動量大小在的范圍內(nèi)（動量方向任意），自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：由于在能量范圍內(nèi)，自由粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：，表示單位能量間隔內(nèi)的可能狀態(tài)數(shù)，稱為態(tài)密度。若考慮進(jìn)粒子的自旋S則上述的所有狀態(tài)數(shù)均還須乘上自旋簡并度，對，即乘以2。3.系統(tǒng)微觀運(yùn)動狀態(tài)的描述僅討論全同和近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)全同粒子系統(tǒng)——具有完全相同屬性（如相同的質(zhì)量、電荷和自旋等）的粒子組成的系統(tǒng)。近獨(dú)立粒子系統(tǒng)——系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個粒子的平均能量，因此可以忽略粒子之間的相互作用，整個系統(tǒng)的能量可表達(dá)為單個粒子的能量之和其中為第粒子的能量，總粒子數(shù)，且僅為粒子的坐標(biāo)和動量及外場的函數(shù)。但應(yīng)注意，僅獨(dú)立粒子之間雖然相互作用，各粒子完全獨(dú)立地運(yùn)動，彼此毫不相干，這些粒子所組成的系統(tǒng)也就無從達(dá)到熱力學(xué)平衡了。系統(tǒng)的微觀狀態(tài)經(jīng)典：按經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)，由全同粒子組成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)，其粒子是可以分辨的，可以編號的，對于N個粒子組成的系統(tǒng)，當(dāng)給出了第1，第2、、、、第N號粒子的運(yùn)動狀態(tài)的代表點(diǎn)處于空間的哪些相格中時，就給出了系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)，或者說N個編了號的粒子的代表點(diǎn)在空間中按相格的一種分配方式對應(yīng)系統(tǒng)的一個微觀狀態(tài)，當(dāng)然，N個編了號的粒子的代表點(diǎn)按相格的不同分配方式對應(yīng)系統(tǒng)的不同的微觀狀態(tài)，如交換兩個粒子的代表點(diǎn)在空間的位置，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。量子：全同性原理：全同粒子是不可分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，如果將兩個全同粒子交換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運(yùn)動狀態(tài)。不可分辨是因?yàn)槲⒂^粒子具有波動性，在兩個波重疊的區(qū)域無法區(qū)分哪個是第一個波，哪個是第二個波，也就無法區(qū)分哪個是第一個粒子，哪個是第二個粒子。在量子力學(xué)中粒子分為二類：波色子——自旋為整數(shù)，費(fèi)米子——自旋為半整數(shù)。對于費(fèi)米子，服從泡利不相容原理的限制，即每個單粒子量子態(tài)最多只能容納一個費(fèi)米子。對于波色子，不受泡利不相容原理的限制，即每個單粒子量子態(tài)上可以被任意數(shù)目的波色子所占據(jù)。另一種全同粒子組成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)玻爾茲曼系統(tǒng)——由可分辨的全同近獨(dú)立粒子組成的，且處在每個單粒子量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。確定由全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)歸結(jié)為確定每個單粒子量子態(tài)上的粒子數(shù)，對于可分辨的全同粒子還要進(jìn)一步確定到哪些粒子處于哪個量子態(tài)上。對于相同粒子數(shù)的系統(tǒng)，由于玻爾茲曼系統(tǒng)受限制最少，交換粒子產(chǎn)生系統(tǒng)的不同的微觀狀態(tài)，所以其微觀狀態(tài)數(shù)最多，對于波色系統(tǒng)，受全同性原理限制，交換粒子不產(chǎn)生系統(tǒng)的不同微觀狀態(tài)，所以其微觀狀態(tài)數(shù)比玻爾茲曼系統(tǒng)少，對于費(fèi)米系統(tǒng)，不但受全同性原理約束，更受泡利不相容原理限制，其微觀狀態(tài)數(shù)比波色系統(tǒng)少。所以對于相同數(shù)目的粒子系統(tǒng)，就微觀狀態(tài)數(shù)而言：玻爾茲曼系統(tǒng)波色系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)例如：對于一個二粒子系統(tǒng)，每個粒子有3個量子態(tài)玻爾茲曼：量子態(tài)123可分辨A，BABABABABBAABBAABBA波色系統(tǒng)：123不可分辨AAAAAAAAAAAA費(fèi)米系統(tǒng)：123不可分辨AAAAAA4.等概率原理等概率原理：對于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，粒子數(shù)N，體積V，能量E，都給定時，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。由玻爾茲曼于19世紀(jì)70年代提出的這個等概率原理，是統(tǒng)計(jì)物理的一個基本假設(shè)，不能由其他的更基本的原理推導(dǎo)而得，它的正確性由它所導(dǎo)出的種種推論均與客觀實(shí)際相符而得到肯定。等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的基礎(chǔ)。對于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，粒子運(yùn)動是完全無序的，系統(tǒng)微觀狀態(tài)的出現(xiàn)是完全隨機(jī)的，沒有理由認(rèn)為滿足宏觀條件的所有可能微觀狀態(tài)中，哪一個微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率具有更大的可能性，因而認(rèn)為所有可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。5.分布和微觀狀態(tài)設(shè)有一個由大量全同近獨(dú)立粒子組成的系統(tǒng)，具備確定的粒子數(shù)N，能量E，和體積V，以表示粒子的能級，表示能級的簡并度。設(shè)N個粒子在各能級的分布描述如下：能級簡并度粒子數(shù)即能級的簡并度為，有個粒子占據(jù)，。。。。。能級的簡并度為，有個粒子占據(jù)，。。。。用符號表示數(shù)列稱為一個分布。對于具有確定的粒子數(shù)N，能量E和體積V的系統(tǒng)，分布必須滿足條件，（所有粒子數(shù)能量之和為系統(tǒng)能量）分布和微觀狀態(tài)是兩個不同的概念，給定了粒子按能級的一個分布，只是確定了在每一個能級上的粒子數(shù)，但系統(tǒng)的微觀狀態(tài)并未被唯一確定，確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)要求確定處在每一個單粒子量子態(tài)上的粒子數(shù)，如前所述，一般情況下，單粒子的能級是簡并的，能級上有個量子態(tài)，確定了個能級上的粒子數(shù)，并不能前確定粒子在能級上各量子上的分配，因此，一個分布可對應(yīng)許多不同的微觀狀態(tài)，例如對于波色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)，在給定分布后，要確定波色或費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須確定每個能級上個粒子占據(jù)其個量子態(tài)的方式，對于玻爾茲曼系統(tǒng)，由于粒子是可分辨的，所以確定系統(tǒng)的微觀狀態(tài)就要求確定每一個粒子的單粒子量子態(tài)，因此給定了分布后，為了確定玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀狀態(tài)，還必須確定在各個能級上究竟被哪些個粒子占據(jù)，以及在每一個能級上個粒子占據(jù)其個量子態(tài)的方式?？傊c一個分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)往往是很多的。而微觀狀態(tài)數(shù)對于玻爾茲曼系統(tǒng)，波色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)是顯然不同的。給定分布后，三種系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)玻爾茲曼系統(tǒng)對于玻爾茲曼系統(tǒng)，粒子可分辨，可以對粒子進(jìn)行編號，個編了號的粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)時，第一個粒子可以占據(jù)個量子態(tài)中的任一個，有種可能的占據(jù)方式，由于一個量子態(tài)可以容納的粒子數(shù)不受限制，在第一個粒子占據(jù)了某個量子態(tài)后，第二，第三。。。個粒子仍然有種可能的占據(jù)方式，于是個編了號的粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)共有種可能的占據(jù)方式，因此，在玻爾茲曼系統(tǒng)中，個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)時，是彼此獨(dú)立互不關(guān)聯(lián)的，分布中，個編了號的粒子分別占據(jù)能級上個量子態(tài)的可能占據(jù)方式共有種，由于玻爾茲曼系統(tǒng)的粒子可分辨，所以交換粒子將給出系統(tǒng)不同的微觀狀態(tài)，將Ｎ個粒子加以交換，不管是否在同一能級上，總的交換數(shù)為（全排列）。在這些交換數(shù)中應(yīng)除去在同一能級上個粒子的交換數(shù)。因?yàn)檫@已在中考慮了，這種交換是不產(chǎn)生新的分布的。因此不同能級間粒子的交換數(shù)為，所以對于玻爾茲曼系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)是前例=4波色系統(tǒng)對于波色系統(tǒng)，粒子不可分辨，每個單粒子量子態(tài)能夠容納的粒子數(shù)不受限制，先計(jì)算個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)有多少種可能的方式，為了計(jì)算這個數(shù)目，以表示量子態(tài)1，2。。。。。，以0表示粒子，將它們排成一行，每個量子態(tài)后面0的數(shù)目表示在該量子態(tài)上的粒子數(shù)，所以最左方為量子態(tài)1，如對于5個量子態(tài)和10個粒子的一種排列表示量子態(tài)1上有2個粒子，量子態(tài)2上有1個粒子，量子態(tài)3上無粒子，量子態(tài)4上有3個粒子，量子態(tài)5上有4個粒子。也是一種占據(jù)方式由于規(guī)定了最左方總是量子態(tài)1，余下的量子態(tài)和粒子的總數(shù)為，它們共有種排列方式。因?yàn)榱Ｗ邮遣豢煞直娴?，交換粒子不產(chǎn)生新的狀態(tài)，所以應(yīng)除去粒子之間的相互交換數(shù)，量子態(tài)之間也不應(yīng)交換，因此也應(yīng)除去量子態(tài)之間的相互交換數(shù)，所以個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)的可能方式有種，相當(dāng)于空位中用個捧（代表量子態(tài)）去填，或用個粒子去填，每個空位只能填一個捧或粒子，用捧（粒子）填時，共有，剩余的空位就是粒子（捧）。將各能級結(jié)果相乘，就得波色系統(tǒng)中任意一個分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：前例，費(fèi)米系統(tǒng)對于費(fèi)米系統(tǒng)，粒子不可分辨，且由于泡利不相容與原理，每個單粒子量子態(tài)最多只能容納一個粒子，個粒子占據(jù)能級上的個量子態(tài)，相當(dāng)于從個量子態(tài)中挑出個來為粒子所占據(jù)，種可能方式，將各能級結(jié)果相乘，就得到費(fèi)米系統(tǒng)中任意一個分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：前例，若在波色系統(tǒng)或費(fèi)米系統(tǒng)中，任一能級上的粒子數(shù)均遠(yuǎn)小于該能級的量子態(tài)數(shù)（簡并度），即（對所有的）則波色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)可近似為費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)可近似為稱為經(jīng)典極限條件，也稱非簡并條件。這個非簡并條件表示在每個單粒子量子態(tài)上平均粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1，這就是說絕大多數(shù)單粒子量子態(tài)是沒有被粒子占據(jù)的，因此，泡利原理的限制不起作用，故波色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)在非簡并條件下趨于相同的量。是在玻爾茲曼粒子分布對應(yīng)的系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)可區(qū)分情況下得出的，而波色子和費(fèi)米子是滿足全同性原理的，交換粒子不產(chǎn)生新的狀態(tài)，故要除去由于交換粒子而產(chǎn)生的狀態(tài)數(shù)，除以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中的分布和微觀狀態(tài)數(shù)在經(jīng)典力學(xué)中，一個個自由度的粒子在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)由他的廣義坐標(biāo)和廣義動量確定，相應(yīng)于空間中的一點(diǎn)，系統(tǒng)在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)由系統(tǒng)的N個粒子的坐標(biāo)和動量，確定。相應(yīng)于空間的N個點(diǎn)，由于和是連續(xù)變量，粒子和系統(tǒng)的微觀運(yùn)動狀態(tài)都是不可數(shù)的，為了計(jì)算微觀狀態(tài)數(shù)，我們將和分為大小相等的小間隔，使，是一個小量，，這樣就將空間分成一個個的相格，對于具有個自由度的粒子，其空間的相格體積為，假設(shè)足夠小，就可以由粒子運(yùn)動狀態(tài)代表點(diǎn)所在的相格確定粒子的運(yùn)動狀態(tài)，處于同一相格的代表點(diǎn)，代表相同的運(yùn)動狀態(tài)，顯然，愈小描述就愈精確，在經(jīng)典力學(xué)，可以取任意小的數(shù)值。在量子力學(xué)，由不確定關(guān)系限制不能小于。當(dāng)取，我們稱為半經(jīng)典描述。將空間化為許多體積元以表示運(yùn)動狀態(tài)處于內(nèi)的粒子的能量（越小越精確），由于粒子的微觀運(yùn)動狀態(tài)由大小為的相格確定，所以內(nèi)粒子的運(yùn)動狀態(tài)數(shù)為，它與量子統(tǒng)計(jì)中（量子描述）的簡并度相當(dāng)。N個粒子處于各的分布可以描述如下：體積元“簡并度”（中的態(tài)數(shù)）能量粒子數(shù)表示有個粒子的運(yùn)動狀態(tài)代表處于中，經(jīng)典粒子可以分辨，處于一個相格內(nèi)的經(jīng)典粒子數(shù)沒有限制，因此在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中與分布對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)可以按得到玻爾茲曼系統(tǒng)的的方法，求得為6.玻爾茲曼分布前面求得了不同系統(tǒng)得一個粒子分布所相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)，不同的分布對應(yīng)不同的微觀狀態(tài)數(shù)，由等概率原理知，對于平衡態(tài)的系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，所以相應(yīng)于微觀狀態(tài)數(shù)最多的粒子分布出現(xiàn)的概率最大，這種分布稱為最概然分布，對于玻爾茲曼粒子系統(tǒng)最概然分布，稱為玻爾茲曼分布?，F(xiàn)推導(dǎo)玻爾茲曼分布斯特林公式：當(dāng)時，對于玻爾茲曼粒子系統(tǒng)，分布所對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為:，玻爾茲曼分布是對應(yīng)于最大的分布，由于隨的變化是單調(diào)的，它們的極值位置相同，可以等價地討論使為極大的分布設(shè)所有的均很大，利用斯特林公式，得為求得使為極大的分布，必須有:由于不是獨(dú)立變量，而是要滿足約束條件（確定的粒子數(shù)和能量）對于有確定的粒子數(shù)N和能量E的系統(tǒng)，有，所以要求的極值，是條件極值，應(yīng)用拉格朗日待定乘子法來求，引入拉格朗日乘子和乘上面二個式子，并從中減去，得根據(jù)拉氏乘子法原理，每個前得系數(shù)均對于零，這是選和的要求，所以,簡并度為的能級上的粒子數(shù)。這就是玻爾茲曼粒子系統(tǒng)中粒子的最概然分布，稱為玻爾茲曼分布，拉氏乘子和由及對能級求和能級有個量子態(tài)，處于其中如何一個量子態(tài)的平均粒子數(shù)應(yīng)該是一樣的，因此，處在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)為單個量子態(tài)上的平均粒子數(shù)而，對量子態(tài)求和。說明：（1）、上面只證明了玻爾茲曼分布使的一階微分等于零，即取極值，但要證明這個極值是極大值，還需證明玻爾茲曼分布使的二階微分小于零由于，故，因此玻爾茲曼分布是使為極大的分布。（2）玻爾茲曼分布是出現(xiàn)概率最大的分布，對于宏觀系統(tǒng)，于最概然分布相應(yīng)的的極大值非常陡，使其它分布的微觀狀態(tài)數(shù)于最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比幾乎接近于零，為說明這一點(diǎn)，我們將玻爾茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)與對玻爾茲曼分布有偏差的一個分布的微觀狀態(tài)數(shù)加以比較，將展開，得：將，代入上式，得假如對玻爾茲曼分布的相對偏離為（很?。?，則對于的宏觀系統(tǒng)，有幾乎接近0這說明即使與最概然分布僅有極小偏離的分布，它的微觀狀態(tài)數(shù)與最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)相比也是幾乎接近于零的，這就是說最概然分布的微觀狀態(tài)數(shù)非常接近于全部可能的微觀狀態(tài)數(shù)，根據(jù)等概率原理，處于平衡態(tài)下的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等，因此平衡態(tài)下的孤立系統(tǒng)絕大部分時間將處于最概然分布，玻爾茲曼分布，如果我們忽略其他分布而以為平衡態(tài)下粒子實(shí)質(zhì)處于玻爾茲曼分布，所引起的誤差應(yīng)當(dāng)是可以忽略的，其它分布所相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)雖很小，但還是有一定概率出現(xiàn)，這就導(dǎo)致處于平衡態(tài)的系統(tǒng)存在著偏離平衡態(tài)的漲落現(xiàn)象以可得經(jīng)典玻爾茲曼分布的公式:其中滿足,7.波色分布和費(fèi)米分布考慮處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，具有確定的粒子數(shù)N，體積V和能量E。表示粒子的能級，表示能級的簡并度，以表示各能級上的粒子數(shù)，分布必須滿足條件對于波色系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為對于費(fèi)米系統(tǒng)，與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為由等概率原理，對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，每一個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的，因此，使從而極大的分布，出現(xiàn)的概率最大，只最概然分布對于波色系統(tǒng)假定因而，并用斯特林公式，于是的變化將引起有變化，使從而有極大值的分布必使，于是但各不獨(dú)立，必須滿足二個約束條件：,用拉氏乘子和乘這兩個式子，并從中減去，得根據(jù)拉氏乘子法原理，各的系數(shù)為0（這是選的要求）即波色系統(tǒng)中粒子的最概然分布，稱為波色——愛因斯坦分布，簡稱波色分布，拉氏乘子由下式確定對能級求和＋費(fèi)米——狄拉克－波色——愛因斯坦這是處于能級上的個量子態(tài)的粒子數(shù)。每個量子態(tài)的平均量子數(shù)應(yīng)該一樣，所以在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù)為＋費(fèi)米——狄拉克－波色——愛因斯坦,對量子態(tài)求和。在前面三種分布