20192020學(xué)年新素養(yǎng)同步人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)學(xué)案621向量加法運(yùn)算Word版含答案

6．2平面向量的運(yùn)算6．2.1向量的加法運(yùn)算考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)平面向量加法的幾何意義理解向量加法的觀點(diǎn)以及向量數(shù)學(xué)抽象、直觀想象加法的幾何意義平行四邊形法例掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法例，數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和三角形法例會(huì)用它們解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題平面向量加法的運(yùn)算律掌握向量加法的互換律和聯(lián)合數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算律，會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P7－P10的內(nèi)容，思慮以下問(wèn)題：1．在求兩向量和的運(yùn)算時(shí)，往常使用哪兩個(gè)法例？2．向量加法的運(yùn)算律有哪兩個(gè)？1．向量加法的定義及運(yùn)算法例定義求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法前提已知非零向量a，b作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)→→→A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC三角→結(jié)論向量AC叫做a與b的和，記作a＋b，法例形法→→→則即a＋b＝AB＋BC＝AC圖形平行前提已知不共線的兩個(gè)向量a，b四邊作法在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，法例b為鄰邊作?OACB形法則結(jié)論→對(duì)角線OC就是a與b的和圖形規(guī)定關(guān)于零向量與任一直量a，我們規(guī)定a＋0＝＋0a＝a■名師點(diǎn)撥(1)兩個(gè)法例的使用條件不一樣．三角形法例合用于隨意兩個(gè)非零向量乞降，平行四邊形法例只合用于兩個(gè)不共線的向量乞降．(2)在使用三角形法例時(shí)，應(yīng)注意“首尾連結(jié)”；在使用平行四邊形法例時(shí)應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量起點(diǎn)同樣．(3)位移的合成能夠看作向量加法三角形法例的物理模型．力的合成能夠看作向量加法平行四邊形法例的物理模型．2．|a＋b|，|a|，|b|之間的關(guān)系一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b方向同樣時(shí)等號(hào)建立．3．向量加法的運(yùn)算律互換律a＋b＝b＋a聯(lián)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)隨意兩個(gè)向量的和仍舊是一個(gè)向量．( )(2)兩個(gè)向量相加實(shí)質(zhì)上就是兩個(gè)向量的模相加．( )(3)隨意兩個(gè)向量的和向量不行能與這兩個(gè)向量共線．( )答案：(1)√(2)×(3)×已知非零向量a，b，c，則向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，與向量a＋b＋c相等的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．4D．5答案：D如下圖，在平行四邊形→→→→ABCD中，AB＝a，AD＝b，則AC＋BA＝( )A．a(chǎn)B．bC．0D．a(chǎn)＋b答案：B→→

→在正方形ABCD中，|AB|＝1，則|AB＋AD|＝________．答案：2平面向量的加法及其幾何意義如圖，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.【解】法一：可先作a＋c，再作(a＋c)＋b，即a＋b＋c.如圖，第一在平面內(nèi)任取一點(diǎn)→→＝c，O，作向量OA＝a，接著作向量AB→→則得向量OB＝a＋c，而后作向量BC＝b，→則向量OC＝a＋b＋c為所求．→法二：三個(gè)向量不共線，用平行四邊形法例來(lái)作．如圖，(1)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝→a，OB＝b；→(2)作平行四邊形AOBC，則OC＝a＋b；→(3)再作向量OD＝c；(4)作平行四邊形CODE，→→→則OE＝OC＋c＝a＋b＋c.OE即為所求．(1)應(yīng)用三角形法例求向量和的基本步驟①平移向量使之“首尾相接”，即第一個(gè)向量的終點(diǎn)與第二個(gè)向量的起點(diǎn)重合；②以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，并以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，即為兩個(gè)向量的和．(2)應(yīng)用平行四邊形法例求向量和的基本步驟①平移兩個(gè)不共線的向量使之共起點(diǎn)；②以這兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形；③平行四邊形中，與兩向量共起點(diǎn)的對(duì)角線表示的向量為兩個(gè)向量的和．如圖，已知向量a，b，求作向量a＋b.→→→解：(1)作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，如圖(1)．→→→(2)作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，如圖→→→(3)作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，如圖平面向量的加法運(yùn)算化簡(jiǎn)：→→(1)BC＋AB；→→→(2)DB＋CD＋BC；→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.→→→→→【解】(1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.→→→(2)DB＋CD＋BC→→→＝BC＋CD＋DB→→→＝(BC＋CD)＋DB→→＝BD＋DB＝0.→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA→→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA→→→→＝AC＋CD＋DF＋FA→→→→→＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.

．．向量加法運(yùn)算中化簡(jiǎn)的兩種方法(1)代數(shù)法：借助向量加法的互換律和聯(lián)合律，將向量轉(zhuǎn)變?yōu)椤笆孜蚕嘟印?，向量的和即為第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量．(2)幾何法：經(jīng)過(guò)作圖，依據(jù)三角形法例或平行四邊形法例化簡(jiǎn)．1．以下等式不正確的選項(xiàng)是( )a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；→→②AB＋BA＝0；→→→→③AC＝DC＋AB＋BD.A．②③B．②C．①D．③分析：選B.由向量的加法運(yùn)算律知→→→→→①正確；由于AB＋BA＝0，故②不正確；DC＋AB＋BD→→→→＝AB＋BD＋DC＝AC建立，故③正確．2.如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)以下各式：→→→(1)DG＋EA＋CB；→→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB.→→→→→→→→→→→→解：(1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE.→→→→→→→→→→→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.向量加法的實(shí)質(zhì)應(yīng)用某人在靜水中游泳，速度為43千米/小時(shí)，他在水流速度為4千米/小時(shí)的河中游泳．若他垂直游向河對(duì)岸，則他實(shí)質(zhì)沿什么方向行進(jìn)？實(shí)質(zhì)行進(jìn)的速度大小為多少？【解】如圖，設(shè)這人游泳的速度為→→→→OB，水流的速度為OA，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OACB，則這人的實(shí)質(zhì)速度為→→→OA＋OB＝OC.→由勾股定理知|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故這人沿與河岸成60°的夾角順著水流的方向行進(jìn)，速度大小為8千米/小時(shí)．應(yīng)用向量解決平面幾何和物理學(xué)識(shí)題的基本步驟(1)表示：用向量表示有關(guān)量，將所要解答的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄繂?wèn)題．(2)運(yùn)算：應(yīng)用向量加法的平行四邊形法例和三角形法例，將有關(guān)向量進(jìn)行運(yùn)算，解答向量問(wèn)題．(3)復(fù)原：依據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)果，聯(lián)合向量共線、相等等觀點(diǎn)回答原問(wèn)題．如下圖，在某次抗震救災(zāi)中，一架飛機(jī)從

A地按北偏東

35°的方向飛翔

800km

抵達(dá)

B地接到受傷人員，而后又從

B地按南偏東55°的方向飛翔800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛翔的行程及兩次位移的和．→→800km，從B地按南偏東解：設(shè)AB，BC分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35°的方向飛翔55°的方向飛翔800km，則飛機(jī)飛翔的行程指的是→→|AB|＋|BC|；兩次飛翔的位移的和指的是→→→AB＋BC＝AC.→→依題意有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，→→→所以|AC|＝|AB|2＋|BC|2＝8002＋8002＝8002(km)，此中∠BAC＝45°，所以方向?yàn)楸逼珫|35°＋45°＝80°，進(jìn)而飛機(jī)飛翔的行程是1600km，兩次飛翔的位移和的大小為8002km，方向?yàn)楸逼珫|80°.→→→→1．化簡(jiǎn)OP＋PQ＋PS＋SP的結(jié)果等于( )→→A.QPB.OQ→→C.SPD.SQ→→→→→→分析：選B.OP＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ.→→→，則必定有( )2．在四邊形ABCD中，AC＝AB＋ADA．四邊形ABCD是矩形B．四邊形ABCD是菱形C．四邊形ABCD是正方形D．四邊形ABCD是平行四邊形→→→→→ABCD的分析：選D.由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四邊形一組對(duì)邊平行且相等，故為平行四邊形．3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為______．分析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13.答案：134.已知?ABCD，O是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，E是CD的一個(gè)三平分點(diǎn)(湊近D點(diǎn))，求作：→(1)AO＋AC；→(2)DE＋BA.解：(1)延伸AC，在延伸線上截取CF＝AO，→則向量AF為所求．1(2)在AB上取點(diǎn)G，使AG＝3AB，→則向量BG為所求．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則→→→)AO＋OC＋CB等于(→→A.ABB.BC→→C.CDD.DA分析：選A.由于點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，→→→→則AO＋OC＋CB＝AC＋→→CB＝AB.應(yīng)選A.→→→2．如圖，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，對(duì)角線AC與BD訂交于點(diǎn)O，則OA＋BC＋AB→＋DO＝( )→A.CD

→B.DC→C.DA

→D.DO分析：選

→→→→→→→→→→→→→→B.OA＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋AB＋BC＝DB＋BC＝DC.3．若向量

a表示“向東航行

1km”，向量

b表示“向北航行

3km

”，則向量

a＋b表示( )A．向東北方向航行2kmB．向北偏東30°方向航行2kmC．向北偏東60°方向航行2kmD．向東北方向航行

(1＋

3)km分析：選

B.如圖，易知

tan

α＝

1

，所以α＝30°.故

a＋b的方向是北偏東

30°.又|a＋3b|＝2km，應(yīng)選B.→→→4.如下圖，在正六邊形ABCDEF中，若AB＝1，則|AB＋FE＋CD|等于( )A．1B．2C．3D．23分析：選B.由正六邊形知→→FE＝BC，→→→→→→→所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，→→→→所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.應(yīng)選B.5．(2019云·南曲靖一中檢測(cè))已知向量a，b皆為非零向量，以下說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是( )A．若a與b反向，且|a|>|b|，則a＋b與a同向B．若a與b反向，且|a|>|b|，則a＋b與b同向C．若a與b同向，則a＋b與a同向D．若a與b同向，則a＋b與b同向分析：選B.a與b反向，且|a|>|b|，則a＋b與a同向，所以B錯(cuò)；a與b同向，則a＋b與a同向，也與b同向．6．化簡(jiǎn)→→→→→(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．→→→→→→→→→→→分析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝AB＋BC＝AC.→答案：AC→→→7．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝1，則|BC＋CD|＝________．分析：在菱形ABCD中，連結(jié)BD，由于∠DAB＝60°，所以△BAD為等邊三角形，→→又由于|AB|＝1，所以|BD|＝1，→→→所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.答案：1→→→→8．已知平行四邊形ABCD，設(shè)AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，給出以下結(jié)論：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.此中正確的選項(xiàng)是________．分析：由于在平行四邊形→→→→ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a為零向量，由于零向量和隨意愿量都平行，零向量和隨意愿量的和等于這個(gè)向量自己，所以①③正確，②④錯(cuò)誤．答案：①③9．依據(jù)以下條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀：→→(1)AD＝BC；→→→→(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.→→解：(1)由于AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形．→→→→(2)由于AB＝DC且|AB|＝|AD|，所以四邊形ABCD是有一組鄰邊相等的平行四邊形，即四邊形ABCD是菱形．→→10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.→→解：如圖，由于|OA|＝|OB|＝3，所以四邊形OACB為菱形，連結(jié)OC，AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D.由于∠AOB＝60°，→所以AB＝|OA|＝3.所以在Rt△BDC中，CD＝332.→333.所以|OC|＝|a＋b|＝2×2＝3[B能力提高]→→)11．已知有向線段AB，CD不平行，則(→→→A．|AB＋CD|>|AB|→→→B．|AB＋CD|≥|CD|→→→→C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|→→→→D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|分析：選D.由向量加法的幾何意義得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a，b共線的時(shí)候取到，所以此題中，→→→→|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.→→→12．若P為△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，則∠ACB＝______.→→→分析：由于PA＋PB＝PC，則四邊形APBC是平行四邊形．又P為△ABC的外心，→→所以|PA|＝|PB|＝|PC|.所以∠ACB＝120°.答案：120°13．如圖，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是________．→→→①|(zhì)AB＋AC|＝|BC|；→→→②|AB＋CA|＝|BC|；|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→|2.分析：①正確．以AB，AC為鄰邊作?ABDC，又∠A＝90°，所以?ABDC為矩形，所以AD＝BC，→→→→所