導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中地位解題中應(yīng)用11

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位及解題中的應(yīng)用11————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:?導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位及解題中的應(yīng)用重慶師范大學(xué)涉外商貿(mào)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范）201３級(jí)3班李錦華指導(dǎo)老師袁南橋中文綱要:在近幾年的高考取，對(duì)導(dǎo)數(shù)的觀察愈來(lái)愈多,與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的知識(shí)也成為高考觀察的重要內(nèi)容.導(dǎo)數(shù)作為選修課進(jìn)入新課程,為高中階段研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)供給了有力工具,本文試圖以導(dǎo)數(shù)在函數(shù)、不等式以及切線(xiàn)中的應(yīng)用為例，說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用剖析要點(diǎn)詞：高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題應(yīng)用一.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位1.1有益于學(xué)生更好地掌握函數(shù)思想導(dǎo)數(shù)在現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中處于一種特別的地位,在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí),為了理解函數(shù)的性態(tài),學(xué)生主要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單一性、奇偶性、周期性、有界性等。我們知道,函數(shù)的這些性質(zhì)都能夠經(jīng)過(guò)函數(shù)的圖像來(lái)反應(yīng)，因此，假如能正確地作出函數(shù)的圖像,函數(shù)的性質(zhì)就了如指掌，函數(shù)的性態(tài)也簡(jiǎn)單掌握了。假如所波及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點(diǎn)法就能夠作出函數(shù)的圖像?？墒?，假如所波及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，比方y(tǒng)x32x2x1，yexx1等函數(shù)，僅用描點(diǎn)法就很難較為正確地作出圖像。可是,掌握了導(dǎo)數(shù)的知識(shí)以后，學(xué)生就能夠利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單一區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn);利用極限的思想找出其水平漸近線(xiàn)和垂直漸近線(xiàn),而后再聯(lián)合描點(diǎn)法，就能較為正確地作出函數(shù)的圖像。這樣就有益于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，同時(shí)也拓寬了學(xué)生的知識(shí)。數(shù)學(xué)上的很多問(wèn)題，用初等數(shù)學(xué)方法是不可以解決的，或許難以解決,而經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)模型成立函數(shù)關(guān)系,利用函數(shù)思想，而后用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究其性質(zhì),充散發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用，能夠輕松簡(jiǎn)捷地獲取問(wèn)題的解決．其實(shí)我們不難發(fā)現(xiàn),函數(shù)是成立在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)之間的一座橋梁，不論是在證明不等式，解決數(shù)列乞降的有關(guān)問(wèn)題,以及解決一些實(shí)質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題,我們都能夠結(jié)構(gòu)函數(shù)模型，而且利用導(dǎo)數(shù),來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題.１.２有益于學(xué)生學(xué)好其余學(xué)科高中的物理、化學(xué)等課程都與數(shù)學(xué)密切有關(guān)，我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心觀點(diǎn),它在物理、化學(xué)、生物、天文、工程以及地質(zhì)學(xué)等中都有著寬泛的應(yīng)用.比如：依據(jù)做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)方程：s＝ｓ（t),算出物體的剎時(shí)速度:v（ｔ)=ds／dｔ、剎時(shí)加快度:ａ（t）=d2s/ｄｔ2;對(duì)化學(xué)中的反響速度、冷卻速度等也都能夠經(jīng)過(guò)微積分的方法來(lái)解決了.1.3有益于發(fā)展學(xué)生的思想能力經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)把中學(xué)所學(xué)的知識(shí)所有串連起來(lái)，讓學(xué)生成為知識(shí)的“”發(fā)現(xiàn)者”“研究者”和“運(yùn)用者”，一真實(shí)發(fā)展學(xué)生的各項(xiàng)科學(xué)素質(zhì),培育學(xué)生的各項(xiàng)能力,為學(xué)生的終生發(fā)展和個(gè)性發(fā)展,科學(xué)世界觀和科學(xué)價(jià)值的形成打下基礎(chǔ).二.導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用２.１導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的極值和最值的應(yīng)用１.函數(shù)的最值與極值?求函數(shù)的最值是高中數(shù)學(xué)的要點(diǎn)，也是難點(diǎn),是高考常常要觀察的內(nèi)容之一,它波及函數(shù)知識(shí)的好多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這種問(wèn)題能夠使解題過(guò)程簡(jiǎn)單化，步驟清楚，也簡(jiǎn)單掌握,進(jìn)而進(jìn)一步明確了函數(shù)的性質(zhì).一般的,求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值和最值的步驟（1)確立函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f'(x)(２)求方程f'(x)0的根,計(jì)算f(x)在根和端點(diǎn)的函數(shù)值(3）比較f(x)在根和端點(diǎn)的函數(shù)值,最大的是最大值，最小的是最小值若x0知足f'(x)0,且在ｘ0的雙側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x０是f(x)的極值點(diǎn)，f'(x0)是極值.２.鑒別f'(x0)是極大、極小值的方法若x0知足

f(x0)

0,且在x0的雙側(cè)

f(x)

的導(dǎo)數(shù)異號(hào)

,則x0是

f(x)

的極值點(diǎn)，f'(x0)是極值，而且假如

f'(x)在x0雙側(cè)知足“左正右負(fù)”，則

x0是

f(x)

的極大值點(diǎn)，

f'(x0)是極大值；假如

f'(x)在x0雙側(cè)知足“左負(fù)右正”

,則

x0是f(x)

的極小值點(diǎn)

,

f'(x0)

是極小值.例1.

求函數(shù)

f(x)

x3

3x在[3,3]上的最大值和最小值2

.剖析：先求出f(x)的極值點(diǎn),而后比較極值點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得該函數(shù)在區(qū)間[3,3],上的最大值和最小值．2解:因?yàn)閒'(x)3x233(x21)3(x1)(x1),則當(dāng)x[3,1]或x(1,3]時(shí)，f'(x)02所以[3,1][1,，3]為函數(shù)f(x)的單一區(qū)間2當(dāng)x(1,1)，f'(x)0，所以[1,1]為函數(shù)f(x)的單一區(qū)間又因?yàn)閒(3)18,f(1)2,f(1)2,f(3)9,所以28當(dāng)x3時(shí)，f(x)獲得最小值18;當(dāng)x1時(shí),f(x)獲得最大值2.例2求函數(shù)f(x)(x1)2(x2)2的極值．解：f(x)(x1)2(x2)2f'(x)(x1)(5x7)(x2)2令f'(x)0,得駐點(diǎn)x11,x272,x35x(,1)1(1,7)7(7,2)2(2,)555f(x)+0-0+０+f(x)極極大小f(1)0是函數(shù)的極大值；f(7)108是函數(shù)的極小值?531252.2利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義過(guò)曲線(xiàn)yf(x)上隨意一點(diǎn)(x,y)的切線(xiàn)的斜率就是f(x)在x處的導(dǎo)數(shù),即()??()也就是說(shuō)曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn).,k=f??=lim=lim??????→0?????→0P(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的斜率是f(x)，切線(xiàn)方程為yy0f'(x0)(xx0)．2．導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用的三個(gè)方面導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，應(yīng)用時(shí)主要表此刻以下幾個(gè)方面:已知切點(diǎn)A(x0,f(x0))求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f'(x0)(2）已知斜率k,求切點(diǎn)A(x0,f(x0))，即解方程f'(x0)k（３)已知過(guò)某點(diǎn)M(x1,f(x1))(不是切點(diǎn))的切線(xiàn)斜率為k時(shí)，常需設(shè)出f(x1)f(x0)求解．切點(diǎn)A(x0,f(x0))，利用kx0x1例３求曲線(xiàn)yx33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線(xiàn)方程.剖析:本題較為簡(jiǎn)單，只須求出曲線(xiàn)的導(dǎo)數(shù)f(x)，并代入點(diǎn)斜式方程即可.解:由f(x)3x26x則在點(diǎn)(1，1)處斜率kf(1)3,故所求的切線(xiàn)方程為y(1)3(x1),即y3x2例4求與直線(xiàn)2xy40的平行的拋物線(xiàn)yx2的切線(xiàn)方程.剖析：本題可利用斜率求出切點(diǎn),再用點(diǎn)斜式方程加以解決.解:設(shè)P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切點(diǎn)的斜率為y|xx02x02.x01.獲取切點(diǎn)(11)，．故切線(xiàn)方程為y12(x1).即2xy10.例5求過(guò)曲線(xiàn)yx32x上的點(diǎn)(1，1)的切線(xiàn)方程．剖析:過(guò)曲線(xiàn)上一點(diǎn)的切線(xiàn),該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法.解:假想P(x0，y0)為切點(diǎn)，則切線(xiàn)的斜率為y|xx03x022．∴切線(xiàn)方程為yy0(3x022)(xx0).y(x032x0)(3x022)(xx0).又知切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，1),把它代入上述方程,得1(x032x0)(3x022)(1x0)．解得x01,或x01.2故所求切線(xiàn)方程為y(12)(32)(x1)，或y1132x1.842即xy20,或5x4y10．２.3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性1、函數(shù)的單一性函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)①函數(shù)的單一性的充分條件若f'(x)>0,則f(x)為增函數(shù);若f'(x)0,則f(x)為減函數(shù).②函數(shù)的單一性的必需條件若f(x)為增函數(shù),則f'(x)0;若f(x)為減函數(shù),則f'(x)0．例６已知函數(shù)f(x)exax1（1）求f(x)的單一增區(qū)間；能否存在a，使f(x)在(-2,3)上為減函數(shù),若存在，求出a的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明原因.思想點(diǎn)撥:函數(shù)的單一性和函數(shù)中的參數(shù)有關(guān)，要注意對(duì)參數(shù)的議論．解f'(x)exa(1)若a0,則f'(x)exa0即f(x)在R上單一遞加若a0,令exa0，則exa,xlna所以當(dāng)a0時(shí),f(x)的單一增區(qū)間為R當(dāng)a0時(shí),f(x)的單一增區(qū)間為[lna,).（2)f'(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立e2exe3,只要ae3當(dāng)ae3時(shí),f'(x)exe30在x(2,3)上恒成立即f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，ae3?故存在實(shí)數(shù)ae3,使f(x)在(2,3)上為減函數(shù).2．4利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，聯(lián)合不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)相應(yīng)的函數(shù).經(jīng)過(guò)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單一性,將不等式的證明轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問(wèn)題．對(duì)質(zhì)明形如f（ｘ）≧g(x)(a≦x≦ｂ)的不等式結(jié)構(gòu)形如F(x)f(x)g(x)的函數(shù)型并經(jīng)過(guò)一階或二階、三階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。作協(xié)助函數(shù)型:對(duì)含有兩個(gè)變量的不等式，可結(jié)構(gòu)出以此中一個(gè)變量為自變量的函數(shù)，再采納上述方法證明不等式.例：:求證：不等式x2x2)上成立.xln(1x)x2(1在x(0,2x)剖析:經(jīng)過(guò)作差，結(jié)構(gòu)函數(shù)f1(x)ln(1x)(xx2)和f2(x)xx2ln(1x)22(1x)在經(jīng)過(guò)對(duì)f1(x)和f2(x)求導(dǎo)來(lái)判斷.證明：結(jié)構(gòu)函數(shù)f1(x)ln(1x)(xx2)則：2f1'(x)11xx20知f1(x)在(0,)上單一遞加，x1x1又因?yàn)閤0,所以f1(x)f1(0)0即xx2ln(1x)成立2又結(jié)構(gòu)函數(shù)f2(x)xx2ln(1x)則:2(1x)f2'(x)14x24x2x212x20知f2(x)在上(0,)單一遞加4(1x)21x4(1x)2又因?yàn)閤0，所以f2(x)f2(0)0即ln(1x)xx22(1x)綜上所述,原命題成立．.總結(jié)導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)向來(lái)是高考命題的要點(diǎn)與熱門(mén).將導(dǎo)數(shù)這一觀點(diǎn)引入到高中數(shù)學(xué)教課中,不單使高中數(shù)學(xué)的教課更顯活力,同時(shí)也為函數(shù)的求解過(guò)程供給了更簡(jiǎn)單更靈巧的解題工具.利用導(dǎo)數(shù)能夠更便利的解決高中數(shù)學(xué)中一些用傳統(tǒng)方法難以解決的問(wèn)題,而且能夠提升解題的正確率與速度,在實(shí)質(zhì)問(wèn)題的解決中也能發(fā)揮作用.本文經(jīng)過(guò)論述導(dǎo)數(shù)在求最值與極值,切線(xiàn)方程，不等式等的求解方式，對(duì)其在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用進(jìn)行探討.事實(shí)上，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不只這么多.比如在向量中的應(yīng)用,在分析幾何與立體幾何中都擁有重要的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)