7.3.1離散型隨機變量的均值教案-2021-2022學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

7.3.1離散型隨機變量的均值教學設(shè)計一、教學目標1.通過實例理解離散型隨機變量的均值的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值；2.理解離散型隨機變量的均值的性質(zhì)；3.會利用離散型隨機變量的均值解決簡單的實際問題.二、教學重難點1.教學重點理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì)，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值.2.教學難點會利用離散型隨機變量的均值解決一些相關(guān)的實際問題.三、教學過程（一）新課導入復習：離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì).分布列：一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為，我們稱X取每一個值的概率，為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)：（1），；（2）.（二）探索新知思考：甲、乙兩名射箭運動員射中目標箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表所示.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢？類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為.甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為.當n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于.即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值）為9，這個平均值的大小可以反映甲運動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為.從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，X…P…則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學期望，數(shù)學期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機變量的取值和取值的概率，反映了隨機變量取值的平均水平.例1在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？解：因為，所以.即該運動員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么.例2拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)為X，求X的均值.解：X的分布列為.因此，.事實上，隨機變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機性，它圍繞隨機變量的均值波動.隨著重復試驗次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小.因此，我們常用隨機變量的觀測值的均值去估計隨機變量的均值.思考：如果X是一個離散型隨機變量，將X進行平移或伸縮后，其均值會怎樣變化？即和（其中a，b為常數(shù)）分別與有怎樣的關(guān)系？設(shè)X的分布列為.根據(jù)隨機變量均值的定義，類似地，可以證明.一般地，有.例3根據(jù)天氣預報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護設(shè)備，有以下3種方案：方案1運走設(shè)備，搬運費為3800元；方案2建保護圍墻，建設(shè)費為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3不采取措施.工地的領(lǐng)導該如何決策呢？解：設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為.采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元.因此，.采用方案2，遇到大洪水時，總損失為元；沒有大洪水時，總損失為2000元.因此，.采用方案3，.于是，，，.因此，從期望損失最小的角度，應采取方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因為洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.（三）課堂練習1.若離散型隨機變量X的分布列如下表，則()X012345PA. B. C. D.答案：D解析：.故選D.2.隨機變量X的分布列如下表，則()X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.3答案：A解析：由題意得，

故，

故選A.3.甲、乙兩工人在同樣的條件下生產(chǎn)某產(chǎn)品，兩人的日產(chǎn)量相等，每天出廢品的情況如表所示：工人甲乙廢品數(shù)01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20則下列結(jié)論正確的是()A.甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些B.乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些C.兩人的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好D.無法判斷誰的產(chǎn)品質(zhì)量好一些答案：B解析：由題知，甲生產(chǎn)廢品的期望是，

乙生產(chǎn)廢品的期望是，

所以甲生產(chǎn)廢品的期望大于乙生產(chǎn)廢品的期望，故乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些.

故選B.4.隨機變量X的分布列如表所示.X-202Pac若數(shù)學期望，則___________.答案：解析：由已知得

解得5.某種大型醫(yī)療檢查機器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案，方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次后每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次后每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準備一次性購買2臺這種機器，現(xiàn)需決策在購買機器時應購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得到下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機器維修次數(shù)的頻率作為1臺機器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記表示這2臺機器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù).（1）求的分布列；（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更劃算?答案：（1）的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，的分布列為0123456（2）若選擇方案一，則所需費用的分布列為70009000110001300015000(元).若選擇方案二，則所需費用的分布列為100001100012000(元).，該醫(yī)院選擇延保方案二更劃算.（四）小結(jié)作業(yè)小結(jié)：1.離散型隨機變量均值的概念及性質(zhì)；2.利用離散型隨機變量的均值解決簡單