直線與平面垂直的判定的教學(xué)設(shè)計(jì)

人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》必修2《直線與平面垂直的判定（一）》的教學(xué)設(shè)計(jì)鹽池高級(jí)中學(xué)孫延麗一、設(shè)計(jì)思想本設(shè)計(jì)力圖貫徹“以人的發(fā)展為本”的教育理念,以情境認(rèn)知理論和建構(gòu)主義作為理論依據(jù)，體現(xiàn)“以學(xué)生為主體，教師是課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教學(xué)思想。不僅要關(guān)注學(xué)生“學(xué)會(huì)”知識(shí)，而且更要關(guān)注學(xué)生“會(huì)學(xué)”知識(shí)，讓學(xué)生通過觀察、思考、實(shí)驗(yàn)、分析、合作、反思等過程建構(gòu)新知識(shí)，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物和思考問題。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—?dú)w納總結(jié)—初步應(yīng)用”的認(rèn)知過程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直覺，注重知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程，將合情推理與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在自主探索的過程中理解概念，掌握定理，感悟蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法。二、教材分析《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面垂直的判定定理；能運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。本節(jié)課的主要內(nèi)容是直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。課本通過讓學(xué)生觀察旗桿與它在地面上影子的位置關(guān)系引出直線和平面垂直的概念：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，就稱這條直線與這個(gè)平面互相垂直。而直線與平面垂直的判定定理是讓學(xué)生通過折紙?jiān)囼?yàn)來感悟的：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。該定理把原來定義中要求與任意一條（無限）直線垂直轉(zhuǎn)化為只要與兩條（有限）相交直線垂直就行了，使直線與平面垂直的判定具有可操作性。課本中例1給出了判定直線與平面垂直的一個(gè)間接方法：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面。直線與平面垂直是直線和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線與直線垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是直線和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一。直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直直線與直線垂直通過該內(nèi)容的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生空間想象能力、合情推理能力、一定的推理論證能力以及運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力，體驗(yàn)和感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，即“空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題”，“無限問題轉(zhuǎn)化為有限問題”，“直線與直線垂直和直線與平面垂直的相互轉(zhuǎn)化”。三、學(xué)情分析 前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩直線（共面或異面）互相垂直的位置關(guān)系，學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定和性質(zhì)，有了“通過觀察、操作并抽象概括等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)結(jié)論”的體會(huì)，有了一定的空間想象能力、幾何直觀能力、推理論證能力以及運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力，參與意識(shí)、自主探究能力有所提高，具備學(xué)習(xí)本節(jié)課所需的知識(shí)。在探究直線與平面垂直的判定定理過程中，學(xué)生對為什么要且只要兩條相交直線的理解有一定的困難，因?yàn)槎x中“任一條直線”指的是“所有直線”，這種用“有限”代替“無限”的過程導(dǎo)致學(xué)生形成理解上的思維障礙。同時(shí)，在直線與平面垂直判定定理的運(yùn)用中，不知如何選擇已知平面內(nèi)的兩條相交直線證明直線與平面垂直，導(dǎo)致證明過程中無從著手或發(fā)生錯(cuò)誤。教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、實(shí)驗(yàn)、討論、說理等活動(dòng)，領(lǐng)悟定義與判定定理的本質(zhì)內(nèi)涵，通過對例題和練習(xí)的思考、板演、交流與說理，體驗(yàn)思路的形成過程，感悟蘊(yùn)涵其中的數(shù)學(xué)思想方法。四、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)目標(biāo)：從熟知的生活事物中提煉、概括出直線與平面垂直的定義和判定定理，進(jìn)而結(jié)合圖形用抽象化的數(shù)學(xué)語言總結(jié)、表述出這些內(nèi)容；2.能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括、思辯論證的理性精神和迅速認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的直觀能力；3.情感目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與實(shí)際應(yīng)用使學(xué)生認(rèn)識(shí)到真理來源于實(shí)踐，并應(yīng)用于實(shí)踐的這一哲學(xué)理念；同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念，能自覺地運(yùn)用“數(shù)學(xué)的”思維方式觀察世界、分析事物、解決問題，并在此過程中提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)目標(biāo)是教師預(yù)期的，在教學(xué)過程中自然實(shí)現(xiàn)的內(nèi)容.掩蓋教育意圖是實(shí)現(xiàn)教育意圖最好的途徑，也是科學(xué)加藝術(shù)的教育技藝的體現(xiàn)，所以我一向不采用在進(jìn)行新課前將這些內(nèi)容展示給學(xué)生的做法，而是在教學(xué)過程中于不知不覺間實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo).五、重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：直觀感知、操作確認(rèn)，概括出直線與平面垂直的定義和判定定理。難點(diǎn)：操作確認(rèn)并概括出直線與平面垂直的判定定理及其初步運(yùn)用。教學(xué)策略與手段：本課采用“引導(dǎo)—探究式”教學(xué)方法，通過精心設(shè)計(jì)一個(gè)個(gè)問題串，激發(fā)學(xué)生的求知欲。同時(shí)借助教具演示教學(xué)，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性，提高課堂效率。六、課前準(zhǔn)備教具：三角板，教鞭（表直線）。學(xué)生自備學(xué)具：三角形紙片、筆（表直線）、課本（表平面）。七、教學(xué)過程（一）直觀感知直線與平面垂直的形象 在直線與平面的位置關(guān)系中，直線在平面內(nèi)、直線與平面平行已研究過，接下來我們研究直線與平面相交的位置關(guān)系。問題1：在日常生活中你見到最多的直線與平面相交的情形是什么？請舉例說明。設(shè)計(jì)意圖：基于學(xué)生的客觀現(xiàn)實(shí)，通過對生活事例的觀察，讓學(xué)生直觀感知直線與平面相交中的特例直線與平面垂直的初步形象，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的欲望。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見的直線與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線和地面的位置關(guān)系等，由此引出課題。問題2：從前面已學(xué)過的空間幾何體的直觀圖中，說說你們心目中哪些直線是與平面垂直的？設(shè)計(jì)意圖：基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，在已學(xué)的幾何模型中去感知直線與平面垂直的位置關(guān)系，有利于學(xué)生進(jìn)行幾何的抽象概括，有利于揭示問題的本質(zhì)。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生從已學(xué)的幾何模型中尋找直線與平面垂直的位置關(guān)系，如長方體的側(cè)棱與底面，圓柱、圓錐的軸與底面等。（二）抽象概括直線與平面垂直的定義問題3：一條直線與一個(gè)平面垂直的意義是什么？（1）我們知道，對直線與平面平行的位置關(guān)系的研究，是將其轉(zhuǎn)化為考察直線和平面內(nèi)直線的位置關(guān)系來進(jìn)行的，它體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想方法？（2）類比上述數(shù)學(xué)思想方法，我們該如何刻畫一條直線與一個(gè)平面垂直呢？設(shè)計(jì)意圖：通過對已學(xué)知識(shí)與思想方法的回憶，尋找新知識(shí)的“生長點(diǎn)”，不僅引導(dǎo)研究方法，而且滲透類比、平面化、降維等數(shù)學(xué)思想方法。師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧直線與平面平行的位置關(guān)系研究中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，并將其遷移到研究直線與平面垂直的位置關(guān)系上來。問題4：結(jié)合對下列問題的思考，試著給出直線和平面垂直的定義。（1）如圖1，陽光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽的移動(dòng)，旗桿AB與影子BC所成的角度會(huì)發(fā)生改變嗎?圖1ABCB’C’（2）旗桿AB與地面上任意一條不過旗桿底部B的直線圖1ABCB’C’設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用“平面化”與“降維”的思想來思考問題，通過觀察思考，感知直線與平面垂直的內(nèi)涵。師生活動(dòng)：學(xué)生思考作答,教師利用現(xiàn)有條件演示旗桿在地面上的影子隨著時(shí)間的變化而移動(dòng)的過程，再引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的概念得出旗桿所在直線與地面內(nèi)的任意一條直線都垂直。問題5：如圖2，當(dāng)旗桿AB傾斜時(shí)，還能保證AB與地面上的任一直線都垂直嗎？圖2A圖2AB師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例（如表示直線的筆與表示平面的桌面的位置關(guān)系）和幾何模型（如棱錐、棱臺(tái)的側(cè)棱與底面的位置關(guān)系等），從中感知：只要平面外的直線不垂直于這個(gè)平面，平面內(nèi)就有直線與平面外的這條直線不垂直。問題6：通過上述分析，你認(rèn)為應(yīng)該如何定義一條直線與一個(gè)平面垂直？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納、概括出直線與平面垂直的定義。師生活動(dòng)：學(xué)生作答，教師補(bǔ)充完善，同時(shí)給出直線與平面垂直的記法與畫法。定義：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作：l⊥α.直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足。αlP圖3畫法：αlP圖3辨析1：下列命題是否正確？為什么？（1）如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直。（2）如果一條直線垂直一個(gè)平面，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線。設(shè)計(jì)意圖：通過問題辨析，加深概念的理解。由（1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線”是“所有直線”的意思。而（2）給出了直線與直線垂直的一種判定方法。BαA圖4CEF師生活動(dòng)：命題（1）判斷中引導(dǎo)學(xué)生用筆表示直線，用書本表示平面舉出反例。教師利用三角板和教鞭進(jìn)行演示，將一塊直角三角板的一條直角邊AC放在黑板面上，再在黑板面上放一根和AC平行的教鞭EF并平行移動(dòng)，那么BC始終和EF垂直，但BC不一定和黑板面垂直（圖4）BαA圖4CEF（三）探究發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理 問題7：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線與平面垂直是否方便？為什么？設(shè)計(jì)意圖：感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學(xué)生探索判定定理的需要，體會(huì)有限與無限的辨證關(guān)系。DCBADCBA圖5實(shí)驗(yàn)：如圖5，請同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來做一個(gè)試驗(yàn)：過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸）。問題8：（1）折痕AD與桌面垂直嗎？（2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？設(shè)計(jì)意圖：通過折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高，即AD⊥BC時(shí)翻折后的折痕AD與桌面垂直。DBAC圖6師生活動(dòng)：在折紙?jiān)囼?yàn)中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“垂直”與“不垂直”兩種情況，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直線與平面垂直的定義分析“不垂直”的原因。當(dāng)AD⊥BC時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)進(jìn)行折紙?jiān)囼?yàn)，如圖6，固定BD，并保持BD與DC緊貼桌面，讓折紙的CAD部分撓著AD旋轉(zhuǎn)，觀察可知DBAC圖6問題9:當(dāng)折痕AD⊥BC時(shí)，上述沿AD的各種折法中，能使AD始終與桌面所在的平面垂直的共同的特征是什么？由此你能得到什么結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征：AD⊥BD，AD⊥CD，且BD、CD是桌面內(nèi)兩條相交直線。師生活動(dòng)：學(xué)生觀察并討論，師生共同分析折痕AD是BC邊上的高的實(shí)質(zhì)：AD是BC邊上的高時(shí)，無論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即AD⊥CD，AD⊥BD，同時(shí)CD、BD是兩相交直線不變，這就是說，當(dāng)AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線CD、BD時(shí)，它就垂直于桌面所在的平面。問題10：（1）如圖7，把AD、BD、CD抽象為直線l、m、n,把桌面抽象為平面α，直線l與平面α垂直的條件是什么？o圖7圖8o（2）如圖8,若α內(nèi)兩條相交直線m、n與l無公共點(diǎn)且l⊥m、l⊥n，直線l還垂直平面αo圖7圖8o設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生歸納出直線與平面垂直的判定定理，使學(xué)生明白要判斷一條直線與一個(gè)平面是否垂直,取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直，至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點(diǎn)是無關(guān)緊要的。師生活動(dòng)：學(xué)生敘述結(jié)論，不完善的地方教師引導(dǎo)、補(bǔ)充，并結(jié)合“兩條相交直線確定一個(gè)平面”的事實(shí)作簡要說明，然后讓學(xué)生用圖形語言與符號(hào)語言來表示定理。定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。用符號(hào)語言表示為：辨析2：下列命題是否正確？為什么？如果一條直線與一個(gè)梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面。設(shè)計(jì)意圖：通過辨析，強(qiáng)化定理中“兩條相交直線”的條件。師生活動(dòng)：學(xué)生思考作答，教師再次強(qiáng)調(diào)“相交”條件。（四）初步應(yīng)用思考題1：如圖,觀察跨欄、跳高架，你認(rèn)為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么?設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)習(xí)到的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問題，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，深化對直線與平面垂直判定定理的理解。ab\b圖9α師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，師生共同分析支架或立竿ab\b圖9α思考題2：如圖9，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α。設(shè)計(jì)意圖：初步感受如何運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理與定義解決問題，明確運(yùn)用判定定理的條件，體會(huì)空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化與聯(lián)系。圖10CDAB1圖10CDAB1BD1A1C1EF思考題3：如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，判斷下列結(jié)論是否正確：①AC⊥面CDD1C1②AC⊥面BDD1B1③EF⊥面BDD1B1④AC⊥BD1設(shè)計(jì)意圖：利用所學(xué)知識(shí)解決直線與平面垂直的有關(guān)問題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決問題中的作用。其中①是定義的應(yīng)用，②是判定定理的應(yīng)用，③是思考題2結(jié)論的應(yīng)用，④是判定定理與定義的綜合應(yīng)用。師生活動(dòng)：學(xué)生思考回答，教師參與討論。（五）總結(jié)反思（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？（3）關(guān)于直線與平面垂直你還有什么問題？設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，鼓勵(lì)學(xué)生對研究的問題進(jìn)行質(zhì)疑和概括。師生活動(dòng)：學(xué)生發(fā)言，教師點(diǎn)評(píng)完善，歸納出判斷直線與平面垂直的三種方法：利用定義，利用判定定理，利用思考題2的結(jié)論。這些方法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)強(qiáng)調(diào)“平面化”是解決立體幾何問題的一般思路。八、板書設(shè)計(jì)1．定義直線與平面垂直的判定（一）1．定義直線與平面垂直的判定（一）圖示圖示例題與練習(xí)例題與練習(xí)2．判定定理2．判定定理3．3．題1A題1APDCBO1、如圖，點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對角線AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD.求證：PO⊥平面ABCD。2、課本P68練習(xí)1題3ADCBA’B’C’D’3、課本P67探究題：如圖，直四棱柱A′B′C′D′-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形滿足什么條件時(shí)，A