第一章 矢量分析 比賽 試講

第一章矢量分析比賽試講1第一頁，共三十頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容1.1矢量代數(shù)1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系1.3

標(biāo)量場(chǎng)的梯度1.4

矢量場(chǎng)的通量與散度1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度1.6

無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)1.7

拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8

亥姆霍茲定理2第二頁，共三十頁，2022年，8月28日1.4矢量場(chǎng)的通量與散度

1.矢量線

意義：形象直觀地描述了矢量場(chǎng)的空間分布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場(chǎng)的方向。矢量線OM

3第三頁，共三十頁，2022年，8月28日2.矢量場(chǎng)的通量

問題：如何定量描述矢量場(chǎng)的大?。恳胪康母拍?。

通量的概念其中：——面積元矢量；——面積元的法向單位矢量；——穿過面積元的通量。

如果曲面S是閉合的，則規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場(chǎng)對(duì)閉合曲面的通量是面積元矢量4第四頁，共三十頁，2022年，8月28日通過閉合曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場(chǎng)通過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果

閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場(chǎng)通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場(chǎng)的源的關(guān)系。通量的物理意義5第五頁，共三十頁，2022年，8月28日3.矢量場(chǎng)的散度為了定量研究場(chǎng)與源之間的關(guān)系，需建立場(chǎng)空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場(chǎng)（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場(chǎng)的散度。

散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。6第六頁，共三十頁，2022年，8月28日?qǐng)A柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：7第七頁，共三十頁，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo)

由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為

不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V為一直平行六面體，如圖所示。則oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算zzDxDyDP8第八頁，共三十頁，2022年，8月28日根據(jù)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度表達(dá)式為

同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P穿出該六面體的凈通量為9第九頁，共三十頁，2022年，8月28日4.散度定理體積的剖分VS1S2en2en1S從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場(chǎng)的散度的體積分，即散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。10第十頁，共三十頁，2022年，8月28日1.5矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋度

矢量場(chǎng)的環(huán)流與旋渦源

例如：流速場(chǎng)。不是所有的矢量場(chǎng)都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場(chǎng)的力線是閉合的，它對(duì)于任何閉合曲面的通量為零。但在場(chǎng)所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。11第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日

如磁場(chǎng)沿任意閉合曲線的積分與通過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即上式建立了磁場(chǎng)的環(huán)流與電流的關(guān)系。

磁感應(yīng)線要么穿過曲面磁感應(yīng)線要么同時(shí)穿入和穿出曲面磁感應(yīng)線12第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日如果矢量場(chǎng)的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場(chǎng)為無旋場(chǎng)，又稱為保守場(chǎng)。環(huán)流的概念矢量場(chǎng)對(duì)于閉合曲線C的環(huán)流定義為該矢量對(duì)閉合曲線C的線積分，即如果矢量場(chǎng)對(duì)于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場(chǎng)為有旋矢量場(chǎng)，能夠激發(fā)有旋矢量場(chǎng)的源稱為旋渦源。電流是磁場(chǎng)的旋渦源。13第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日

矢量場(chǎng)的環(huán)流給出了矢量場(chǎng)與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場(chǎng)的旋度。

2.矢量場(chǎng)的旋度（）

（1）環(huán)流面密度稱為矢量場(chǎng)在點(diǎn)M處沿方向

的環(huán)流面密度。特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M處的方向

有關(guān)。過點(diǎn)M作一微小曲面S，它的邊界曲線記為C，曲面的法線方向與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限14第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日而

推導(dǎo)

的示意圖如圖所示。oyDz

DyCMzx1234計(jì)算的示意圖

直角坐標(biāo)系中、、的表達(dá)式15第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日于是

同理可得故得概念：矢量場(chǎng)在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面密度最大值，其方向?yàn)槿〉铆h(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法線方向，即物理意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場(chǎng)的旋度16第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系17第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日旋度的有關(guān)公式：矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒為零18第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日3.斯托克斯定理斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消

從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場(chǎng)沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場(chǎng)的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即19第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日4.散度和旋度的區(qū)別

20第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日1.矢量場(chǎng)的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；

旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。1.6無旋場(chǎng)與無散場(chǎng)21第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日2.矢量場(chǎng)按源的分類（1）無旋場(chǎng)性質(zhì)：

，線積分與路徑無關(guān)，是保守場(chǎng)。僅有散度源而無旋度源的矢量場(chǎng)，無旋場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示為例如：靜電場(chǎng)22第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日（2）無散場(chǎng)僅有旋度源而無散度源的矢量場(chǎng)，即性質(zhì)：無散場(chǎng)可以表示為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度例如，恒定磁場(chǎng)23第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日（3）無旋、無散場(chǎng)（源在所討論的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場(chǎng)這樣的場(chǎng)可分解為兩部分：無旋場(chǎng)部分和無散場(chǎng)部分無旋場(chǎng)部分無散場(chǎng)部分24第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理

1.拉普拉斯運(yùn)算標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念：——拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系25第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日矢量拉普拉斯運(yùn)算概念：即注意：對(duì)于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：26第二十六頁，共三十頁，2022年，8月28日2.格林定理

設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及，若在區(qū)域V中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以證明該兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)

及

滿足下列等式：

根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,式中S

為包圍V的閉合曲面，為標(biāo)量場(chǎng)

在S表面的外法線

方向上的偏導(dǎo)數(shù)。27第二十七頁，共三十頁，2022年，8月28日基于上式還可獲得下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量第二格林定理。

格林定理說明了區(qū)域V中的場(chǎng)與邊界S上的場(chǎng)之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場(chǎng)的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄?chǎng)的求解問題。

此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場(chǎng)之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場(chǎng)的分布，即可利用格林定理求解另一種場(chǎng)的分布。格林定理廣泛地用于電磁理論。28第二十八頁，共三十頁，2022年，8月28日亥姆霍茲定理:

若矢量場(chǎng)在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有