第九章-第部分(彎矩分配法)

第九章-第部分(彎矩分配法)第一頁，共三十頁，2022年，8月28日Contents概述彎矩分配法剪力分配法超靜定結構受力狀態(tài)的概念分析超靜定結構的影響線及其應用2023/3/29第二頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29概述什么叫超靜定結構的實用計算方法？超靜定結構的計算以20世紀50年代（計算機的出現(xiàn)）作為分水嶺劃分為兩個階段。

第一類（漸近法）：利用相關物理量之間內在的數(shù)學關系，運用逐次計算逼近的方法求解。

該方法屬于數(shù)學簡化方法，如彎矩分配法、疊代法等。結構分析技術手段：手算技術要求：計算盡可能簡化結構分析技術手段：電算技術要求：結果盡可能精確1940s~1950s計算機的發(fā)明超靜定結構實用計算方法主要是指用于手算的超靜定結構分析方法。

其簡化的主要目的是避免求解大型聯(lián)立方程組。根據簡化方法的不同，超靜定結構實用計算方法主要有以下兩類：

第二類（近似法）：通過忽略影響結構內力的某些次要因素，對計算模型采取近似處理，從而達到簡化

分析的目的。

該方法屬于物理簡化方法，如剪力分配法、分層法等。關于超靜定結構的實用計算方法，本章主要介紹彎矩分配法和剪力分配法兩種。在計算機應用日益廣泛的今天，實用計算方法對理解和強化結構概念仍然具有非常重要的價值和作用。第三頁，共三十頁，2022年，8月28日教材中所謂的“概念分析”2023/3/29概述什么叫概念分析？結構“概念設計”和“概念分析”是現(xiàn)代結構設計思想的一個重要理念，一代宗師林同炎先生的《結構概念與體系》是這一理念的代表作，該書既不教你如何使用計算機，也不教你如何畫圖，更不教你怎樣做配筋計算，但可以告訴你做結構工程師的最基本知識—結構概念，所以該書被尊稱為結構界的“紅寶書”?，F(xiàn)行的結構設計理論與計算理論存在許多缺陷或不可計算性，比如混凝土結構設計中，內力計算是基于彈性理論的計算方法，而截面設計卻是基于塑性理論的極限狀態(tài)設計方法，這一矛盾使計算結果與結構的實際受力狀態(tài)不盡一致，為了彌補這類設計計算理論的缺陷，或者實現(xiàn)對實際存在的大量無法計算的結構構件的設計，這就需要通過優(yōu)秀的概念設計與結構措施來滿足結構設計的目的。結構概念的重要性主要體現(xiàn)在以下三個方面：電算結果的高精度特點，往往給結構工程技術人員帶來對結構工作性能的誤解，結構工程師只有加強結構概念的培養(yǎng)，才能比較客觀、真實地理解結構的整體工作性能。

結構方案設計階段，設計過程通常是不能借助于計算機來實現(xiàn)的。這就需要結構工程師必須熟練而準確地綜合運用結構概念，選擇最優(yōu)的的結構方案?；靖拍钆c方法內力和變形定量分析內力和變形定性分析第四頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法彎矩分配法的歷史背景求解超靜定結構的力法是19世紀末建立的，之后到20世紀初，本笛克森（AxelBendixen）在1914年提出了位移法。由于人工求解大型線性聯(lián)立方程組困難，通常其人工求解時間與未知量的數(shù)目成三次方的比例遞增，故早期超靜定結構分析僅限于簡單的桁架和剛架，或跨數(shù)不多的連續(xù)梁。1930年美國伊利諾大學的HardyCross教授發(fā)明了彎矩分配法，一時突破了求解高階聯(lián)立方程組的瓶頸。由于其收斂速度快，運算量少，頓時成為當時結構分析的不二法寶，結構分析進入了一個斬新而實用的階段，從此，彎矩分配法獨領結構分析風騷五十年。在建筑工程英文專用詞匯中，彎矩分配法又稱為hardycrossmethod。彎矩分配法后來引出了應用較廣的松弛法，最后導致了有限元法的建立。

對彎矩分配法作出重要貢獻的學者還有：

林同炎（T.Y.LIN）：1933年，以《直接彎矩分配法》發(fā)表論文獲得美國加州大學伯克利分校土木工程碩士學位，該論文引起學術界及工程界熱烈的討論，他所闡述的方法被命名為“林氏法”而廣泛應用。其方法對H.Cross的逐次漸近法進行了改進。德列斯（CharlesDerleth）：最早以彎矩分配法分析橋塔大型結構，代替原設計需數(shù)千人時的分析工作。（林同炎就讀伯克利期間，

德氏是伯克利分校工學院院長，時任金門大橋顧問）第五頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法彎矩分配法的本質及其適用范圍彎矩分配法屬于位移法的范疇，是基于位移法的逐次逼近精確解的近似方法。彎矩分配法的適用范圍：

單獨使用時，只能用于只有結點角位移而無結點線位移的結構。彎矩分配法與位移法聯(lián)合應用，可求解有結點線位移的結構。彎矩分配法的基本概念以圖示結構為例說明，所有桿件的線剛度均為，桿長均為，不計桿件軸向變形。根據位移法原理，原結構分解為(a)(b)兩種受力狀態(tài)。只有一個位移法未知量—A結點的角位移。彎矩分配法中，把具有待求角位移的結點稱為分配單元。ABCD原結構ABCD(a)狀態(tài)ABCD(b)狀態(tài)(a)狀態(tài)：只承受外荷載，不發(fā)生節(jié)結點位移——固定狀態(tài)(b)狀態(tài)：只發(fā)生結點位移，無外荷載——放松狀態(tài)相當于原結構“先固定、后放松”第六頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法固定狀態(tài)下，由荷載引起的桿端彎矩稱為固端彎矩。正負號規(guī)定：繞桿端順時針為正。ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)固定狀態(tài)內力分析彎矩分配法是一種數(shù)值算法，正負號規(guī)定非常重要！固端彎矩根據第7章位移法表7-1計算，其本質就是位移法Mp圖的計算。

結點附加剛臂上的約束力矩稱為結點不平衡力矩。正負號規(guī)定：順時針為正。結點不平衡力矩的計算：根據固端彎矩，利用結點力矩平衡條件計算。在上述正負號規(guī)定條件下，結點不平衡力矩就是與該結點相連的所有桿件該端固端彎矩的代數(shù)和。

第七頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法放松狀態(tài)就是原結構承受結點不平衡力矩的反向力矩（相當于解除約束）。ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內力分析放松狀態(tài)的內力可借助轉動剛度、分配系數(shù)、傳遞系數(shù)等概念計算。轉動剛度：AB桿件A端（又稱近端）發(fā)生單位轉角時，A端產生的彎矩值，稱為AB桿A端的轉動剛度，

記為。轉動剛度不僅與桿件的彎曲線剛度有關，而且與桿件另一端（又稱遠端）的支承條件有關。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：第八頁，共三十頁，2022年，8月28日彎矩分配法中，結點轉動在遠端產生的彎矩可通過近端彎矩乘以傳遞系數(shù)得到。2023/3/29彎矩分配法ABCD(b)放松狀態(tài)放松狀態(tài)內力分析傳遞系數(shù)：AB桿件僅A端發(fā)生轉角時，B端彎矩與A端彎矩之比，稱為從A到B的彎矩傳遞系數(shù)，記為。遠端為固定支座：遠端為鉸支座：遠端為定向滑動支座：放松狀態(tài)內力（分配系數(shù)）AA結點力矩A結點力矩平衡方程：而，所以，得，從而，稱為力矩分配系數(shù)，表示桿件剛度在結點剛度中占的比例。每個分配單元上，力矩分配系數(shù)之和恒等于1，即。Why?物理含義：結點力矩平衡第九頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法ABCD原結構ABCD(a)固定狀態(tài)ABCD(b)放松狀態(tài)計算過程小結固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。固端彎矩結點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩第十頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法ABCD原結構計算過程小結固定狀態(tài)，計算固端彎矩和結點不平衡力矩。固端彎矩結點不平衡力彎矩放松狀態(tài)，計算分配力矩和傳遞力矩。桿件轉動剛度：分配系數(shù)：近端分配力矩：

遠端傳遞力矩：

桿端最終彎矩＝固端彎矩＋分配力矩＋傳遞力矩彎矩分配法通常列表計算結點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注分配力矩下劃線，以示與傳遞力矩區(qū)分第十一頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法ABCD原結構彎矩分配法的物理含義：彎矩分配法實質，是在原結構上施加約束、再解除約束的過程。結點桿端BACDBAABADACCADA分配傳遞備注ABCDM圖(xql2)施加約束(固定)解除約束(放松)注意問題：彎矩分配法是數(shù)值計算方法，彎矩的方向用正負號表示，故，必須牢記正負號規(guī)定，計算過程中切勿混淆和遺漏正負號。結點不平衡力矩必須反號后才能進行分配和傳遞。彎矩分配法計算步驟：計算各桿的分配系數(shù)和傳遞系數(shù)。計算荷載作用下的固端彎矩。將結點不平衡力矩反號后，進行力矩分配和傳遞。按疊加原理計算最終桿端彎矩。第十二頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示剛架的彎矩圖?！窘狻竣庞嬎惴峙湎禂?shù)：ABDC桿端BAABADACCADA結點BACD分配傳遞⑵計算固端彎矩：ABDCM圖(kNm)第十三頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。分配傳遞【解】ABC只有B結點1個分配單元。ABCM圖(kNm)⑴單結點彎矩分配法計算結果是近似解嗎？答：是精確解。⑵如何通過彎矩分配過程計算B截面的轉角？答：只有放松狀態(tài)，即分配過程產生結點角位移。第十四頁，共三十頁，2022年，8月28日C端既無線位移又無角位移，相當于固定端，故。2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例3】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。DA結點桿端BACDBAABADACCA分配傳遞⑴AD桿件的處理：ABCDD端的鏈桿只產生軸力，故。⑵AC桿件的處理：（M圖略）第十五頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例4】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。⑴幾個分配單元？2個或1個。法一：B結點和C結點2個分配單元。(多結點彎矩分配法后續(xù)介紹)法二：B結點1個分配單元。（CD彎矩靜定，原結構可簡化）ABCDABC彎矩分配法的分配單元數(shù)量與位移法的基本未知量數(shù)量是統(tǒng)一的。理論上講，彎矩分配法即適用于超靜定結構，也適用于靜定結構，但具體應用中，如結構含有內力靜定部分，應盡可能先簡化結構，以減少計算工作量。分配傳遞⑵B結點的集中外力矩如何處理？可見，固端彎矩需改變符號后參與分配，而作用在結點上的集中力矩無需改變符號直接參與分配。ABCB點增加附加剛臂后，剛臂上的約束力矩，即結點不平衡力矩為

。反號后，即作為結點分配力矩。B結點分配力矩為41－20＝21（M圖略）第十六頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例5】試用彎矩分配法作圖示結構的彎矩圖。ABCDCB結點桿端ABDCABBABCBDDB分配傳遞B分配單元的分配系數(shù)如何計算？（M圖略）第十七頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結點連續(xù)梁的彎矩圖。如何計算轉動剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)？分配傳遞（M圖略）ABC根據轉動剛度的定義，和分別表示B發(fā)生單位轉角時BA和BC的桿端彎矩。ABC時變形ABC時彎矩第十八頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法單結點彎矩分配法【例6】試用彎矩分配法作圖示帶剛域結點連續(xù)梁的彎矩圖。錯誤。因為MDA+MEC≠M(D、E截面剪力對B點也產生矩)，故結點力矩M不能向D、E兩點分配。ABC時變形ABC時彎矩思考題：將結點力矩M向剛域兩側D和E點分配，計算過程如下，是否正確？為什么？ABCDE第十九頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法多結點彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB固定狀態(tài)固端彎矩結點不平衡力彎矩ACDB放松狀態(tài)兩個分配單元B和C結點轉角是耦合的，如同時放松，需建立并求解聯(lián)立方程組。為了避免求解聯(lián)立方程，將各分配單元依次逐個放松。①放松C(B保持鎖定狀態(tài))此時，C結點力矩平衡，B結點不平衡力矩為-5kNm②鎖住C，放松B此時，B結點力矩平衡，C結點不平衡力矩為1.25kNm完成一輪分配由于分配系數(shù)和傳遞系數(shù)不大于1且不可能全為1，故，經過彎矩分配和傳遞后，結點不平衡力矩逐漸減小。依次經過多輪分配，可使結構受力和變形逐步接近實際狀態(tài)。第二十頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法多結點彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB上述計算過程一般通過列表進行（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）第1輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第2輪分配（鎖B放C）（鎖C放B）第3輪分配多結點彎矩分配法是一種漸近法，計算結果為近似解。為了使計算收斂速度快，通常先從不平衡力矩較大的分配單元開始分配。終止彎矩分配的條件一般有兩種：a）明確分配輪次。如：要求完成兩輪分配，則不管計算誤差多大，兩輪分配完成后即可終止計算。b）明確計算精度。如：計算要求保留到小數(shù)點后兩位，則應計算至分配彎矩或傳遞彎矩小于0.01。注意最后一個輪次分配與傳遞需同時完成，不可以只分配不傳遞。ACDBM圖(kNm)第二十一頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法多結點彎矩分配法【例1】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。ACDB（固定狀態(tài)）分配與傳遞（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）（鎖B放C）（鎖C放B）思考題一：如何通過計算過程求C結點轉角？ACDBM圖(kNm)思考題二：B支座反力為多少？B第二十二頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法多結點彎矩分配法【例2】試用彎矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。(只分配兩輪)分配與傳遞（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）ACBDE本結構三個分配單元：B、C、D鎖C后，B、D相互之間無影響，故，可同時放松第1輪（鎖C放B、D）（鎖B、D放C）第2輪ACBDEM圖(kNm)第二十三頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法多結點彎矩分配法

【例3】試用彎矩分配法作算圖示剛架的彎矩圖。已知材料彈模

，

梁，柱，A支座下沉2cm，D支座下沉8cm。要求計算結果保留到小數(shù)點后兩位。BEACD分配與傳遞結點桿端ABCABBACBBCCDCEDEDCEC【解】（M圖略）彎矩分配法只適用于結點無線位移的結構。當支座移動時，結點是有線位移的，為什么還可以直接用彎矩分配法計算？第二十四頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法彎矩分配法應用拓展彎矩分配法主要適用于無結點線位移的超靜定結構，因為有結點線位移時，桿件的轉動剛度和傳遞系數(shù)一般難以確定。對于有結點線位移的超靜定結構，彎矩分配法可以從以下兩個方面修正或拓展應用。無剪力分配法有結點線位移，而且結點線位移必須作為位移法基本未知量，此時，彎矩分配法可以而且必須與位移法聯(lián)合應用。有結點線位移，但有桿端相對側移的桿件均為剪力靜定桿，則結點線位移可以不作為位移法的基本未知量，此時，可以利用有側移桿件剪力靜定的特點，求得有線位移情況下的轉動剛度和傳遞系數(shù)，所以彎矩分配法仍然可以適用。

該方法是錢令希院士（1916.7.16—）1951年在《超靜定結構學》一書中提出的，因為該法需要對有側移剪力靜定桿的轉動剛度和傳遞系數(shù)在常規(guī)彎矩分配法的基礎上進行調整，所以時稱為“調整分配法”。后人稱該法為“無剪力分配法”。適用條件：有相對側移的桿件剪力靜定；

剪力靜不定的桿件無相對側移。例：柱子：有相對側移，但剪力靜定；橫梁：

剪力未知，但兩端無相對側移。第二十五頁，共三十頁，2022年，8月28日2023/3/29彎矩分配法彎矩分配法應用拓展無剪力分配法剪力靜定桿考慮兩端相對側移后的轉動剛度、傳遞系數(shù)和固端彎矩：對mn柱，由位移法知：根據靜