第九節(jié)常系數(shù)非齊次方程

第九節(jié)常系數(shù)非齊次方程第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日二階常系數(shù)線性非齊次微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日一、

為實數(shù),設(shè)特解為其中為待定多項式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,則取從而得到特解形式為為m

次多項式.Q(x)為

m次待定系數(shù)多項式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日(2)若是特征方程的單根

,為m

次多項式,故特解形式為(3)若是特征方程的重根,是m

次多項式,故特解形式為小結(jié)對方程①,此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程.即即當(dāng)是特征方程的k重根時,可設(shè)特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1.的一個特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2.

的通解.

解:本題特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3.

求解定解問題解:本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日于是所求解為解得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日二、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日第一步利用歐拉公式將f(x)變形機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日

第二步求如下兩方程的特解

是特征方程的

k

重根(k=0,1),故等式兩邊取共軛:為方程③的特解.②③設(shè)則②有特解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日第三步求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

均為

m

次多項式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日第四步分析因均為

m

次實多項式.本質(zhì)上為實函數(shù),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日小結(jié):對非齊次方程則可設(shè)特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例4.

的一個特解

.解:本題特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個特解機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例5.

的通解.

解:特征方程為其根為對應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例6.解:(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日例7.求物體的運動規(guī)律.解:問題歸結(jié)為求解無阻尼強迫振動方程

當(dāng)p≠k

時,齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第七節(jié)例1(P294)中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日當(dāng)干擾力的角頻率p≈固有頻率k

時,自由振動強迫振動

當(dāng)

p=k

時,非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強迫振動的振幅這時產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

遠離固有頻率k;p

=k.自由振動強迫振動對機械來說,共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機機座被破壞等,但對電磁振蕩來說,共振可能起有利作用,如收音機的調(diào)頻放大即是利用共振原理.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為3.上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)時可設(shè)特解為時可設(shè)特解為提示:1.

(填空)

設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日2.

求微分方程的通解(其中為實數(shù)).解:

特征方程特征根:對應(yīng)齊次方程通解:時,代入原方程得故原方程通解為時,代入原方程得故原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日3.已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束